§
6.8定積分と不定積分
まず表記法を一つ約束します． 関数 F および F の定義域に属す実数 a と b と に対し，F(b)−F(a) を
F(x)x=b
x=a と書き表します：
F(x)x=b
x=a =F(b)−F(a) . 変数 x に代入することが明らかなときは，
F(x)x=b
x=a を単に F(x)b
a と略します：
F(x)b
a =
F(x)x=b
x=a = F(b)−F(a) . 例えば次のようになります．
cosx5 2=
cosxx=5
x=2= cos 5−cos2 . x2−3x−1
2 =
x2−3xx=−1
x=2 = (−1)2−3·(−1)−(22−3·2) = 6 . 例えば，
sinx+ 5x=7 x=3 と
sinxx=7
x=3 とは同じ値になります：
sinx+ 5x=7
x=3 = sin 7 + 5−(sin3 + 5) = sin 7−sin 3 =
sinxx=7 x=3 .
一般的に述べます： 関数 F の定義域に属す定数 a と b 及び，変数 x と無関係な定 数 C について，
F(x) +Cx=b
x=a =F(b) +C− {F(a) +C} = F(b)−F(a) =
F(x)x=b x=a .
6.4節で述べた微分積分の基本定理を再述します．
微分積分の基本定理 関数 f が実数 a から実数 b まで積分可能であると き，a と b とが属すある区間において関数 F が微分可能で d
dxF(x) =f(x) ならば，Rb
af(x)dx=F(b)−F(a) ．
実 数 a と b と が 属 す あ る 区 間 に お い て 関 数 f は 連 続 で あ る と し ま す． 定 理 6.1.3よ り f は a か ら b ま で 積 分 可 能 で す． ま た ， 定 理6.5.4よ り f の 不 定 積 分 R
f(x)dx が あ り ま す． F(x) = R
f(x)dx と お き ま す． 定 理 6.5.2よ り d
dxF(x) = d dx
Rf(x)dx =f(x) で す か ら ， 微 積 分 の 基 本 定 理 よ り Rb
af(x)dx=F(b)−F(a) ； 従って Rb
af(x)dx =F(b)−F(a) =
F(x)x=b x=a = hR
f(x)dxix=b
x=a .
定理6.8 実数 a と b とが属すある区間において関数 f が連続であるとき，
Rb
af(x)dx = hR
f(x)dxix=b x=a .
この定理は，不定積分から定積分を計算するために微分積分の基本定理を述べ直し ただけです．
例 定積分 R9
4cosx dx を計算します． R
cosx dx= sinx+C （C は積分定数） な ので，定理6.8より
R9
4cosx dx = h
Rcosx dxi9 4 =
sinx+C9 4 ; 先に述べたように
sinx+C9 4=
sinx9
4 ですから，
R9
4cosx dx=
sinx+C9 4=
sinx9
4= sin 9−sin 4 . 終 このように，定積分の計算において不定積分の積分定数 C は相殺されて消えてし まうので，積分定数は定積分の計算結果に影響しません9)． ですから，定積分の計算 において，不定積分の積分定数をしばしば省略します．
例題 定積分 R2
−1(y2−3y+ 2)dy を計算する．
積分定数を C とおくと，
R(y2−3y+ 2)dy = 1
3y3−31
2y2+ 2y+C = 1 3y3−3
2y2+ 2y+C . よって，
R2
−1(y2−3y+ 2)dy=h1 3y3−3
2y2+ 2yi2
−1=8
3−6 + 4−
−1 3−3
2−2
=9 2 . 終 問題6.8.1 定積分 R4
−2(2y2−5y+ 3)dy を計算しなさい．
例題 定積分 Z π
2 π
3 sint+ 4
7 dt を計算する．
積分定数を C とおくと，
Z 3 sint+ 4 7 dt = 1
7
R(3 sint+ 4)dt = 1
7(−3 cost+ 4t) +C = 1
7(4t−3 cost) +C . よって，
Z π
2 π
3 sint+ 4
7 dt=h1
7(4t−3 cost)i
π 2 π =1
7 4π
2−3 cosπ 2
−1
7(4π−3 cosπ)
=2π
7 −4π+ 3
7 =−2π+ 3
7 . 終
問題6.8.2 定積分
Z − π 3 π 2
4 cosθ−3
5 dθ を計算しなさい．
例題 定積分 Z 1
3 0
r 5
1−4x2dx を計算する．
積分定数を C とおくと，
Z r 5
1−4x2dx=
Z √ 5 r
41 4−x2
dx=
Z √ 5
√4 r1
4−x2 dx
=
√5 2
Z 1 r1
2 2
−x2 dx=
√5
2 sin−1 x 1 2
+C
=
√5
2 sin−1(2x) +C . よって，
Z 1
3 0
r 5
1−4x2dx= √
5
2 sin−1(2x) 13
0
=
√5 2
sin−12
3 −sin−10
=
√5 2 sin−12
3 . 終
問題6.8.3 以下の定積分を計算しなさい．
(1) Z 1
2
−1 3
√ 3
4−9x2 dx . (2)
Z 1
1 3
5t+ 4 t2 dt .
9) 定積分の定義は不定積分と無関係ですから，これは当然のことです．
