Zorn の補題

定義 1.9.5. X を順序集合とする.

1. Aが（X の）　

さ

鎖

　(chain)である

⇔defA^はXの全順序部分集合である.^（X^{の部分集合であり}, ^{全順序部分集合になっ} ている.）

2. Xの任意の鎖が上に有界であるとき,Xを帰納的順序集合(inductively ordered set) という

例 1.9.6. 1. Qに数の大小関係で順序をいれる. 明らかにQ^{は帰納的順序集合では}

ない.

Q≤0 ={r ∈Q r ≤0}^とおくと, 明らかにQ≤0 は帰納的順序集合である. 2. P(X)は帰納的順序集合である.

問 62. 上の例の主張を確かめよ.

選択公理を仮定すると（ZFのもと）次が成り立つことが知られている. この講義では 証明は省略する.

定理 1.9.7 (Zornの補題, Zorn’s lemma). 帰納的順序集合は少なくとも一つの極大元を 持つ.

Zornの補題を使う際, 次のことに注意しておくとよい.

補題 1.9.8. X を空でない順序集合とする. このとき次は同値である. 1. X は帰納的順序集合である.

2. X の任意の空でない全順序部分集合は上界を持つ.

証明. 1⇒2は明らか. 逆を示すには∅ ⊂X が上に有界であることを示せばよい（∅^は全順 序部分集合である.）が例1.7.19で見たように,X 6=∅^であれば∅ ⊂Xは有界である.

逆にZornの補題を仮定すると, 選択公理を示すことができる. Zornの補題の使い方の よい例であるので証明してみよう.

定理 1.9.9. Zornの補題を仮定する. このとき, 任意の全射f: X →Y は切断を持つ. 証明. f: X →Y を写像とする.

S ={(B, g) B⊂Y, g: B→X, f ◦g=i_B}

とおく. ただしi_B: B→Y は包含写像.

X

f

B

g >>



iB

//Y

1. (B, g),(B⁰, g⁰)∈ S ^に対して

(B, g)≤(B⁰, g⁰)⇔

defB⊂B⁰ かつ g⁰|B =g と定めると, 明らかに≤^はS ^{に順序を定める}.

2. この順序に関してS は帰納的順序集合である. 実際, T ⊂ S ^{を全順序部分集合と} する.

T = [

(B,g)∈T

B ⊂Y とおく.

写像 t: T → X を以下のように定める. y ∈ T とすると, ある(B, g) ∈ T ^が存 在し, y ∈ B である. このとき, t(y) = g(y) と定める. tはwell-defined である. 実際, 別の(B⁰, g⁰) ∈ T ^に対し y ∈ B⁰ であるとすると, T ^{は全順序集合なので} (B, g)≤(B⁰, g⁰)または(B⁰, g⁰)≤(B, g)のいずれかが成り立つ. (B, g)≤(B⁰, g⁰) としてよい. このときy∈B ⊂B⁰ であり, g⁰|B=gなのでg⁰(y) =g(y).

作り方から任意のy ∈T に対しf◦t(y) = yなのでf ◦t =i_T. よって(T, t)∈ S である. （T =∅の場合を別に議論する必要は論理的には無いが気になる人のため に注意しておくと, T =∅^の場合, T =∅, t: ∅ → X は一意に存在する写像となり (T, t)∈ S ^である.）

また任意の(B, g)∈ T ^に対しB ⊂ T かつt|B =gであるから(T, t)はT ^の上界 である. ^（T の上限であることもすぐ分かる.^）

3. Zornの補題より, S ^{には極大元が存在する}. (Y⁰, s) ∈ S ^{を極大元とする}. f が全

射であればY⁰ = Y である. 実際, Y⁰ 6= Y であるとすると, Y \Y⁰ 6= ∅^である. y0 ∈ Y \Y⁰ を一つとるとf が全射なのでf(x) = y0 となるx ∈ X が存在する.

˜

s:Y⁰∪ {y₀} →Xを

˜ s(y) =

(

s(y), y∈Y⁰ x, y=y0

とおけば(Y⁰, s)<(Y⁰∪ {y0},˜s)∈ S ^{となり極大性に反する}.

注意 . 帰納的順序集合を「任意の全順序部分集合が上限を持つ順序集合」と定義する流 儀もある. 区別するため, この定義をみたすものを「きのうてき順序集合」と書くことに する.

明らかに「きのうてき順序集合」は帰納的順序集合であるが, 逆は成り立たない. 例え

ば例 1.9.6のQ≤0 は「きのうてき」ではない. しかし, Zornの補題はどちらの定義を用

いても成り立ち, 以下は同値である.

1. 選択公理.

2. 帰納的順序集合は少なくとも一つの極大元を持つ.

3.「きのうてき順序集合」は少なくとも一つの極大元を持つ.

実際, 2⇒3は「きのうてき」ならば帰納的であることから明らかであり, 定理 1.9.9の証 明は, Sが途中注意したことから「きのうてき順序集合」となっているので, 3⇒1 の証明 になっている.

Zornの補題の典型的使用例. 定理 1.9.10. 選択公理を仮定する.

Rを（乗法に関する単位元を持つ）可換環とする. 任意のイデアルI ⊊ Rに対し, I を 含む極大イデアルが存在する.

とくにR6={0}^の場合, Rには極大イデアルが存在する.

注意 . ^{代数で学んだと思うが}, R^{の部分集合}I ^{がイデアルであるとは}I ^がR^のR^部分加 群であるということ, つまり

1. x, y ∈I ⇒x+y∈I 2. a∈R, x∈I ⇒ax∈I

をみたすということ. またmが極大イデアルであるとは, 包含関係に関して極大であるよ うな真部分イデアルであるということ, つまり

1. m⊊R

2. m⊊I ⊊RとなるようなイデアルI は存在しない ということ.

証明. I ⊊Rをイデアルとする. I を含む真部分イデアル全体 S =

J I ⊂J ⊊R, J はイデアル

に包含関係で順序をいれる. S が帰納的順序集合であることを示そう.

明らかにI ∈ S ^だからS 6=∅^である. よって, ∅ 6=T ⊂ S を全順序部分集合とすると きT が上界を持つことを示せばよい.

K = [

J∈T

J とおく. K ∈ S^を示す.

• T 6=∅^だからI ⊂K である.

• x, y ∈ K とする. ある J, J⁰ ∈ T ^が存在し, x ∈ J, y ∈ J⁰ である. T ^{は全順序集} 合なのでJ ⊂ J⁰ かJ⁰ ⊂J のいずれかが成り立つ. J⁰ ⊂ J としてよい. このとき x, y ∈J であり, J はイデアルなのでx+y∈J ⊂K. a∈R, x∈K とする. ある J ∈ T ^が存在しx ∈ J である. J はイデアルであるからax∈ J ⊂ K. よってK はイデアルである.

• 任意の J ∈ T ^に対し, J ⊊ Rであるから 1 6∈ J である. よって1 6∈ K となり K ⊊R.

以上からK ∈ S^であり, 明らかにK はT ^の上界, ゆえS は帰納的順序集合である. Zorn^{の補題より}S^{には極大元}m^{が存在するが}, これが求めるものである.

証明はしないが, 同様な議論で次が示せる. 定理 1.9.11. 選択公理を仮定する.

kを体とする. k 上のベクトル空間は基底を持つ. 問題集 . 66