Y X

Y^X という記法を使う場合, f_∗ をf^Z と, f^∗ をZ^f と書くこともある：

f^Z =f_∗: X^Z →Y^Z Z^f =f^∗: Z^Y →Z^X 注意! . 写像の向きに注意.

例 1.4.30. X を集合, A ⊂ X, i: A → X を包含写像とする. i^∗: Map(X, Y) → Map(A, Y)は写像f: X →Y に対し, そのAへの制限f|Aを対応させる写像である. 例 1.4.31. 1. 写像 f: N → N ^を f(n) = 2n で定めると, f^∗: R^N → R^{N は数列}

{a_n}n∈Nを{a_2n}n∈N （すなわち第n項がa_2nである数列）にうつす写像である. 2. 写像 g: R → R ^を g(x) = 2x で定めると, g_∗: R^N → R^{N は数列} {a_n}n∈N を

{2an}n∈N （すなわち第n項が2anである数列）にうつす写像である. 命題 1.4.32. f:X →Y, g: Y →Z を写像, W を集合とする.

1. (idX)_∗ = id : Map(W, X)→Map(W, X).

2. (g◦f)_∗ =g_∗◦f_∗: Map(W, X)→Map(W, Z).

3. (id_X)^∗ = id : Map(X, W)→Map(X, W).

4. (g◦f)^∗ =f^∗◦g^∗: Map(Z, W)→Map(X, W).

注意 . 2,4は別の書き方をすればそれぞれ(gf)^W =g^Wf^W, W^gf =W^fW^g： X^{W (gf)}

W //

f^W ""

Z^W W^{Z W}

gf //

W^g ""

W^X

Y^W

g^W

<<

W^Y

W^f

<<

. 証明. h ∈Map(W, X)に対し,

(idX)_∗(h) = idX ◦h=h, (g◦f)_∗(h) = (g◦f)◦h

=g◦(f ◦h)

=g_∗(f ◦h)

=g_∗(f_∗(h))

= (g_∗◦f_∗)(h).

問 21. 3, 4^を示せ.

系 1.4.33. f: X →Y が全単射であればf_∗, f^∗もそうである.

証明. g: Y → X を g◦f = id_X, f ◦g = id_Y をみたす写像（f の逆写像）とすると, g_∗◦f_∗ = (g◦f)_∗ = (idX)_∗ = id, f_∗◦g_∗ = (f◦g)_∗ = (idY)_∗ = idとなり, f_∗ は全単射 で, g_∗ がf_∗ の逆写像である. f^∗ も同様.

命題 1.4.34. X1, X2, Y を集合とする.

1. pi: X1 ×X2 → Xi (i = 1,2) を射影とすると, hp1∗, p2∗i: Map(Y, X1 ×X2) → Map(Y, X₁)×Map(Y, X₂)は全単射である：

Map(Y, X1×X2) ^∼=

hp1∗,p2∗i // Map(Y, X1)×Map(Y, X2)

h∈ //

(p1h, p2h)

∈

(X₁×X₂)^{Y ∼=}

hp^Y₁,p^Y₂i // X₁^Y ×X₂^Y

ま た, (f, g) ∈ Map(Y, X1) × Map(Y, X2) に 対 し hf, gi: Y → X1 × X2 ∈ Map(Y, X₁×X₂)を対応させる写像がhp_1∗, p_2∗i^{の逆写像を与える：}

Map(Y, X1×X2) oo ^∼= Map(Y, X1)×Map(Y, X2) hf, g∈ i

(f, g)

oo ∈

2. X1 ∩ X2 = ∅ ^{と し}, ik: Xk → X1 q X2 (k = 1,2) を 包 含 写 像 と す る と, hi^∗₁, i^∗₂i: Map (X₁qX₂, Y)→Map(X₁, Y)×Map(X₂, Y)は全単射である：

Map (X1qX2, Y) ^∼=

hi^∗₁,i^∗₂i //Map(X1, Y)×Map(X2, Y)

h∈ //

(hi1, hi2)

∈

Y^{(X1qX2) ∼=}

hYⁱ¹,Yⁱ²i //Y^X1 ×Y^X2

証明. 1. これは本質的には命題 1.4.23である. 実際, 命題 1.4.23.1よりhp1∗, p2∗i^が 全射であることがわかり, 系 1.4.24から単射であることが分かる.

少し丁寧に書いてみる. 写像ϕ: Map(Y, X₁)×Map(Y, X₂)→Map(Y, X₁×X₂) をϕ(f, g) =hf, gi^{により定める}.

(f, g)∈Map(Y, X1)×Map(Y, X2)^に対し,

(hp1∗, p2∗i ◦ϕ) (f, g) =hp1∗, p2∗i(ϕ(f, g))

=hp_1∗, p_2∗i(hf, gi)

= (p_1∗(hf, gi), p_2∗(hf, gi))

= (p₁◦ hf, gi, p₂◦ hf, gi)

= (f, g).

ただし最後の変形は命題 1.4.23.1による. よってhp_1∗, p_2∗i ◦ϕ= id.

h∈Map(Y, X1×X2)に対し

(ϕ◦ hp1∗, p2∗i) (h) =ϕ(hp1∗, p2∗i(h))

=ϕ(p1∗(h), p2∗(h))

=ϕ(p1◦h, p2◦h)

=hp1◦h, p2◦hi

=h.

ただし最後の変形は命題 1.4.23.2による. よってϕ◦ hp1∗, p2∗i= id.

よってhp_1∗, p_2∗i^{は全単射であり}ϕがその逆写像である. 2. 写像ψ: Map(X1, Y)×Map(X2, Y)→Map (X1qX2, Y) を

ψ(f, g) (x) =

(

f(x), x ∈X1

g(x), x ∈X₂

により定めると容易にψがhi^∗₁, i^∗₂iの逆写像を与えることが分かる.

注意 . 以降, hf, gi^を(f, g)と書く. 定理 1.4.35. X, Y, Zを集合とする.

写像Φ : Map(X×Y, Z)→Map(X, Z^Y)を

((Φ(ϕ)) (x)) (y) =ϕ(x, y) により定める.

また, 写像Ψ : Map(X, Z^Y)→Map(X ×Y, Z)を (Ψ(ψ)) (x, y) = (ψ(x))(y) により定める.

このとき, Φは全単射でありΨがその逆写像である：

Φ : Map(X ×Y, Z) ^∼= // Map(X, Z^Y).

別の記法で書けば

Φ : Z^X×Y −→^∼= Z^YX

.

証明の前に, この写像Φの感じをつかむため例を挙げよう.

例 1.4.36. 1. い く つ か の 場 所 X = {x₁, . . . , x_n} に お け る あ る 年 の ５ 月 D = {1,2, . . . ,30,31}^の天気W ={^☀,☁,☂}のデータがあるとする：

x1 . . . xn

1 ☀ . . . ☀ 2 ☀ . . . ☁ . . . . . . . . . . . . 30 ☂ . . . ☂ 31 ☀ . . . ☀ このデータは,

(i) 場所x∈X と日付d∈Dに対し, そこでのその時の天気を対応させる写像 f: X×D→W

と見ることができる. f(x, d)∈W は上の表のx列d行目の天気である. (ii) また, 各場所x ∈X に対し, その場所での天気の変化を表す写像f_x: D →W

が与えられている, すなわち写像

F: X →Map(D, W), F(x) =fx

と見ることもできる. もちろんfx は上の表のx列目を表している写像であり, fx(d)は上の表のx列d行目の天気である.

いずれの見方も別の表現をしているだけで, 内容は同じである. 明らかに, 定理 1.4.35の

Φ : Map(X×D, W)→Map(X,Map(D, W)) Ψ : Map(X,Map(D, W))→Map(X×D, W)

によりΦ(f) =F, Ψ(F) =f である. つまりΦは(i)の見方を(ii)の見方に, Ψは (ii)の見方を(i)の見方に書き換える写像である.

2. もう少し数学的（だけれど実質同じ）例として, m×n実行列全体Mm,n(R)を考 えてみよう. m={1, . . . , m},n ={1, . . . , n}^とする.

(i) m×n行列は各(i, j)成分を定めれば決まる. すなわち, 各(i, j)∈ m×nに 対しa_ij ∈R^{を定めれば}, 行列M = (a_ij)∈Mm,n(R)が定まるので, 写像

Map(m×n,R)→Mm,n(R) が得られ, 明らかに全単射である.

（これにより, Map(m×n,R)とMm,n(R)はほとんど同じものだと思うこと

ができるのであるが, この全単射は, m,nのどちらが行でどちらが列に対応す るかを指定することで定まることに注意.）

(ii) m×n行列はn次元行ベクトルをm個ならべることでも得られる. また, n次 元行ベクトルx = (x₁, . . . , x_n)∈R^nは,各j ∈nに対しx_j ∈R^{を定めること} で定まる,すなわちRⁿ の元だと思ってよい（例1.10.4参照, しかし問65も参

照のこと）. すなわち各i∈mに対し, ai ∈R^{nを定めれば行列}M =





 a₁ . . . am





 が定まるので, 写像

Map(m,Rⁿ)→Mm,n(R) が得られ, ^{明らかに全単射である}.

これら（とその逆写像）の合成がこの場合の定理 1.4.35の写像Φ, Ψである：

Map(m×n,R)∼= Mm,n(R)∼= Map(m,Rⁿ).

つまり, この全単射は, 行列を各(i, j)成分のあつまりと見る見方と, 行ベクトルが ならんだものと見る見方の間の対応を与えている.

この例が上の1と実質的に同じであるのは明らかであろう.

3. ２変数関数の偏微分（や累次積分）を思い出そう. R² で定義された２変数実数値 関数 f(x, y)の, 点(a, b) ∈ R^{2 における}y に関する偏微分係数fy(a, b)は, x = a を固定して, y の関数z = f(a, y) を考え, これをy = bで微分するのであった. この, 各a ∈ R^に対し f(a, y) ∈ Map(R,R)を対応させる, という写像が, 上の定 理 1.4.35のΦ(f)である：

Φ : Map(R²,R) ^∼= //Map(R,Map(R,R)) f(x, y)

∈ // a 7→f(a, y).

∈

定理 1.4.35の証明. f ∈Map(X×Y, Z)に対しΨ◦Φ(f)∈Map(X ×Y, Z)を考える. (Ψ◦Φ(f)) (x, y) = Ψ(Φ(f))

(x, y)

= (Φ(f)) (x) (y)

=f(x, y) ゆえΨ◦Φ(f) =f, すなわちΨ◦Φ = id.

F ∈Map(X, Z^Y)^に対しΦ◦Ψ(F)∈Map(X, Z^Y)^を考える. (Φ◦Ψ(F)) (x)

(y) = (Φ(Ψ(F)))(x) (y)

= Ψ(F) (x, y)

= F(x) (y)

ゆえ(Φ◦Ψ(F))(x) =F(x), ゆえΦ◦Ψ(F) =F, すなわちΦ◦Ψ = id.

注意 . Y^{X という記法について}.

Y^X という記法を使うのは数の冪乗の類似が成り立つことによる.

X^∅ ∼= [1] X^[1] ∼=X

∅^X =∅(X 6=∅) [1]^X ∼= [1]

(X×Y)^Z ∼=X^Z ×Y^Z Z^(XqY) ∼=Z^X ×Z^Y Z^X×Y ∼= (Z^Y)^X

（これらの全単射が「自然な」写像で与えられるということが大切なのであるがそれにつ いては時間その他の都合によりあまりふれないことにする.）

なお自然数の自然数乗との直接的関係についていずれ述べる.

ドキュメント内 PDF 幾何学序論講義ノート (ページ 37-43)