連結性

1’ X は非連結.

6’ X から{0,1}への連続な全射が存在する.

6’ ⇒ 1’) f: X → {0,1}^{を連続な全射とする}. Oi =f⁻¹(i), i = 0,1とおけば, f は全 射なのでOi 6=∅^であり, f が連続で{i}^は{0,1}^{の開集合だから}Oi は開集合である. 明 らかに, O₀∩O₁ =∅^かつX =O₀∪O₁ であるから, X は非連結.

1’ ⇒ 6’) Xを非連結とし, O₀, O₁ をX の分割とする. 写像f: X → {0,1}^を f(x) =

(

0, x∈O₀ 1, x∈O1

に よ り 定 め る. O_i 6= ∅ ^{で あ る か ら} f は 全 射 で あ る. ま た {0,1} ^{の 開 集 合 は}

∅,{0},{1},{0,1}^で, それぞれの逆像は∅, O₀, O₁, X だから開集合である. よってf は連 続.

問 174. 上の 1⇔2⇔3 ⇔4 ⇔5 を示せ. 問 175. A ⊂X とする. 次は同値.

1. Aは非連結.

2. A ⊂O0∪O1, A∩Oi 6=∅, A∩O0 ∩O1 =∅^{となるような}X ^の開集合Oi が存在 する.

3. A ⊂ F0∪F1, A∩Fi 6= ∅, A∩F0∩F1 = ∅^{となるような}X の閉集合Fi が存在 する.

問 176. A ⊂X とする. 次は同値. 1. Aは連結.

2. X の開集合O_i がA⊂O₀∪O₁, A∩O_i 6=∅^{をみたせば}A∩O₀∩O₁ 6=∅^となる. 3. X の閉集合F_i がA⊂F₀∪F₁, A∩F_i 6=∅^{をみたせば}A∩F₀∩F₁ 6=∅^となる. 定理 3.5.3. 連結空間の連続写像による像は連結.

証明. f: X →Y を連続写像とする. 対偶, すなわちf(X)が非連結ならばX は非連結で あることを示そう. f(X)が非連結だとする. f をX からf(X)への写像と見ると全射か つ連続である(^命題 2.13.12). f(X)^{は非連結だから} f(X)^から {0,1}^{への連続な全射が} 存在する. これとf との合成を考えると, Xから{0,1}への連続な全射が得られる. よっ てX は非連結である.

あるいは,次のように示してもよい. Y の開集合Uiで,f(X)⊂U0∪U1,f(X)∩Ui 6=∅, f(X)∩U₀ ∩U₁ =∅^{となるものがある}.

• U_i はY の開集合でf は連続だからf⁻¹(U_i)はX の開集合.

• f(X)∩Ui 6=∅^だからf⁻¹(Ui)6=∅.

• f(X)⊂U0∪U1 だからX =f⁻¹(U0∪U1) =f⁻¹(U0)∪f⁻¹(U1).

• f(X)∩U₀∩U₁ =∅^だからf⁻¹(U₀)∩f⁻¹(U₁) =f⁻¹(U₀∩U₁) =∅. よってf⁻¹(U₀), f⁻¹(U₁)はX の分割を与え, Xは非連結である.

系 3.5.4. 連結性は位相的性質である.

定理 3.5.5. X を位相空間, A, B をX の部分集合で∅ 6= A ⊂B ⊂A^aであるものとす る. このときAが連結ならばBも連結.

証明. f: B → {0,1} ^{を連続写像とする}. f が全射ではないことを示そう. A が連結な のでf|A は全射ではない, すなわちf はA 上定数である. f(A) = 0としてよい. 写像 g: B → {0,1}^をg(b) = 0により定めると明らかに g^{は連続であり}, f|A =g|Aである. {0,1}^はHausdorff空間であり,AはBで稠密（問 135）なので系 3.4.10よりf =g, す なわちf は全射ではない.

あるいは

OがX の開集合であるとき, A∩O =∅ ⇔ A^a∩O =∅^{であることに注意する}. 実際, O^c が閉集合であることに注意すれば

A∩O=∅ ⇔A⊂O^c ⇔A^a ⊂O^c ⇔A^a∩O=∅.

O_i をX の開集合でB ⊂O₀∪O₁, B∩O_i 6=∅ ^{となるものとする}. B∩O₀∩O₁ 6=∅^で あることを示せばよい.

• A⊂BかつB⊂O0∪O1だからA ⊂O0∪O1 である.

• B⊂A^aかつB∩Oi 6=∅^だからA^a∩Oi 6=∅^であり,^{上の注意から}A∩Oi 6=∅^と なる.

Aは連結なのでA∩O₀∩O₁ 6=∅^となり, A⊂BなのでB∩O₀∩O₁ 6=∅. 1次元ユークリッド空間Rの連結部分集合について調べよう.

定義 3.5.6. R^{の部分集合}Cは,任意のa, b∈C (a≤b)に対し, [a, b]⊂Cとなるとき凸 集合(convex set)であるという.

（R^{n の部分集合}C は, その任意の２点に対し, それらを結ぶ線分もC に含まれるとき 凸集合であるという.）

定理 3.5.7. 1次元ユークリッド空間R^{の有界閉区間は連結}.