Hausdorff 空間

2.11節で注意したように, 一般の位相空間において点列の極限は必ずしも一意に定まる わけではない. 一意に定まるための一つの条件を与える.

定義 3.4.1. 位相空間X がHausdorff（ハウスドルフ）空間 である⇔

def任意の相異なる ２点x, y ∈X^に対し, x^の近傍U ^とy^の近傍V ^で, U ∩V =∅ ^{となるものが存在する}.

問 167. ^位相空間X ^がHausdorff^{空間である}⇔^{任意の相異なる２点}x, y ∈X^に対し,x

を含む開集合Oとyを含む開集合O⁰ で, O∩O⁰ =∅ ^{となるものが存在する}.

注意 . Hausdorffであるというのは位相的性質である. すなわち

問 168. X, Y を同相な位相空間とする. X がHausdorffであればY もそうである. 例 3.4.2. 距離空間はHausdorff空間である. 実際X を距離空間, x, y ∈X, x 6=yとす ると, ε=d(x, y)/2>0で, Uε(x)∩Uε(y) =∅.

例 3.4.3. 離散空間はHausdorff空間である. 実際X を離散空間, x, y ∈X, x 6=yとす ると, {x},{y}^{は開集合で}, {x} ∩ {y}=∅. （もちろん離散距離空間と思ってもよい.） 例 3.4.4. 元を二つ以上含む密着空間はHausdorffでない.

定理 3.4.5. Hausdorff空間においては, 点列の極限は, 存在すれば, 一意的である. 証明. 証明は定理 2.11.3 のものと同じ. （実際, 証明のポイントは距離空間がHausdorff であることを示すことであった. ^{というより}, ^もちろん, Hausdorff^{空間というのはこの証} 明がうまくいくような空間として考えられたもの.）

定理 3.4.6. Hausdorff空間において, １点は閉集合である.

証明. X をHausdorff空間, x ∈X とする. 任意のy∈ X\ {x}^に対し, x6= yであるか ら, xの近傍U と, yの近傍V でU ∩V =∅^{となるものがある}. とくにx6∈ V であるか らV ⊂X\ {x}^となり, yはX \ {x}^の内点.

定理 3.4.7. Hausdorff空間の部分空間もHausdorff.

証明. X をHausdorff空間, A⊂X を部分空間とする. a, b∈A, a6=bとすると, a ∈O, b ∈O⁰, O∩O⁰ = ∅^となるX ^の開集合O, O^{0 がある}. U =A∩O, V = A∩O^0とおく と, U, V はAの開集合で, a∈U, b∈V,U ∩V =∅. よってAは Hausdorff.

定理 3.4.8. X, Y を空でない位相空間とする. このときX×Y がHausdorff ⇔X, Y と もにHausdorff.

証明. ⇒)問159より, X,Y はX×Y の部分空間と同相であるから, 定理3.4.7と問 168 よりどちらもHausdorff.

⇐) (x₁, y₁)6= (x₂, y₂)∈ X×Y とする. x₁ 6=x₂ としてよい. X はHausdorffだから x_i を含む開集合O_i でO₁∩O₂ =∅^{となるものが存在する}. O_i×Y は(x_i, y_i)を含む開 集合で, (O1×Y)∩(O2 ×Y) =∅^である.

注意 . 無限個の直積に対しても同様なことが成り立つ. 証明もほぼ同じ.

定理 3.4.9. X を位相空間とする. このとき, X が Hausdorff ⇔ ^{対角線集合} ∆ = {(x, x) x ∈X}^がX×X の閉集合.

証明. x, y ∈ X に対し, x 6= y ⇔ (x, y) 6∈ ∆ ⇔ (x, y) ∈ ∆^c である. より一般に, A, B ⊂X に対し, A∩B=∅ ⇔(A×B)∩∆ =∅ ⇔A×B⊂∆^c である. よって

X がHausdorff⇔ ∀(x, y)∈∆^c,∃U ∈ U(x),∃V ∈ U(y) :U ×V ⊂∆^c

⇔ ∀(x, y)∈∆^c : (x, y)は∆^cの内点

⇔∆^cは開集合.

問 169. （この exerceise は位相とは直接は関係ない.）X, Y, Z を集合, f: Z → X,

g: Z →Y を写像とする. 写像(f, g) : Z → X×Y を(f, g)(z) = (f(z), g(z))により定 める. またA ⊂ X, B ⊂ Y を部分集合とする. このとき, (A×B)∩Im(f, g) = ∅ ⇔ f⁻¹(A)∩g⁻¹(B) =∅ ^{であることを示せ}.

系 3.4.10. X を位相空間, Y をHausdorff空間, A⊂ X とし, f, g: X →Y を連続写像 とする. このとき次が成り立つ.

1. X の部分集合

C :={x∈X f(x) =g(x)} は閉集合である.

2. f とgが部分集合A上一致すれば, A^a上一致する.

証明. 1. Y が Hausdorff なので対角線集合 ∆Y は Y ×Y の閉集合である．写像

(f, g) : X →Y ×Y ^{は連続だから}C = (f, g)⁻¹(∆Y)^は閉集合. 2. f とgがA上一致すればA⊂C である. Cは閉集合だからA^a ⊂C.

例 3.4.11. R^を1次元ユークリッド空間とする. 連続関数f, g: R→R^がQ^{上一致する} ならばf =gである.

系 3.4.12. X を位相空間, Y をHausdorff空間とする. 写像f: X → Y が連続ならばグ ラフ

Γ_f :={(x, y)∈X×Y y=f(x)} はX ×Y の閉集合. （cf. 問題集91）

証明. f ×1_Y : X ×Y → Y ×Y は連続であり (問 160), Y がHausdorff のとき ∆ = {(y, y) y∈Y}^はY ×Y の閉集合である. よってΓf = (f ×1Y)⁻¹(∆)は閉集合.

問 170. ^系3.4.12はもう少し精密化できる. X^{を位相空間}, Y ^をHausdorff^{空間とする}.

写像f: X →Y が点a∈ X で連続ならば, 任意のb∈ Y (b6=f(a))に対し, (a, b)はΓ_f の外点である.

問 171. Y が密着空間のとき, f: X → Y は連続だがΓf は閉ではない例を挙げよ. （ち なみにこのとき, ^任意のf ^は連続.^）Γf が閉集合になることはあるか？

問 172. (X,O)をHausdorff空間とし, O^{0 を}O ^より強いX の位相とする. このとき,

(X,O⁰)もHausdorff.

問 173. Rにザリスキ位相をいれるとHausdorffではない.