距離

定義 2.2.1. X^{を集合とする}. X×X 上定義された実数値関数

d: X×X →R

が次の三つの条件をみたすとき, dをX 上の距離関数(metric) という. D1 (i) 任意のx, y∈X についてd(x, y)≥0.

(ii) d(x, y) = 0⇔x=y.

D2 任意のx, y∈X についてd(x, y) =d(y, x).

D3 (三角不等式) 任意のx, y, z∈X についてd(x, y) +d(y, z)≥d(x, z).

定義 2.2.2. 集合 X とその上の距離関数 d が与えられたとき, 組 (X, d) を距離空間 (metric space) という.

またx, y∈X ^{に対し実数}d(x, y)^をx^とy^の距離(distance) ^という. 混乱のおそれがないときはdを省略して単に距離空間X ^{と書くことが多い}.

定義 2.2.3. (X, d)を距離空間, A ⊂ X を部分集合とする. 距離関数dをA に制限した もの, すなわち,

A×A3(a, b)7→d(a, b)∈R

を考えると, ^これはA^{上の距離関数になり}, ^{この距離により}A^{は距離空間になる}.

距離空間の部分集合をこのようにして距離空間と見たとき, 部分距離空間 (metric subspace) または単に部分空間(subspace) という.

定義 2.2.4. (X, dX), (Y, dY)を距離空間とする.

写像f: X →Y が距離を保つあるいは等長写像(isometry) ^である⇔

def

任意のx, x⁰ ∈ X に対し, d_Y(f(x), f(x⁰)) =d_X(x, x⁰)である.

X からY への全射等長写像が存在するとき, X とY は距離空間として等長(isomet- ric) , あるいは同型(isomorphic) であるという.

注意 . 全射であるもののみを等長写像という場合もある. 問 71. 等長写像の合成は等長写像である.

問 72. 部分距離空間の包含写像は等長写像である. 問 73. 1. 等長写像は単射である.

2. f: X →Y が全射等長写像ならば, f の逆写像も等長写像である.

3. X とY が距離空間として等長である⇔ ^等長写像f: X → Y とg: Y → X が存 在して, g◦f = 1X, f ◦g= 1Y が成り立つ.

問 74. 写像f: X →Y が距離を保てば, X とf(X)は距離空間として等長である. 定義 2.2.5. X を距離空間, x∈X, ε > 0とする.

1. X の部分集合

U_ε(x) ={y∈X d(x, y)< ε}

をxを中心とする半径εの開球(open ball), 開円盤(open disc) あるいはε近 傍 という.

2. X ^{の部分集合}

Bε(x) ={y ∈X d(x, y)≤ε}

を点xを中心とする半径ε の閉球(closed ball) または閉円盤(closed disc) と いう.

3. X の部分集合

Sε(x) ={y∈X d(x, y) =ε} をx^{を中心とする半径}ε^の球面(sphere) ^という. 問題集 . 85(1)(2), 86(1)(2), 88(1), 93, 98(1)(2)

例 2.2.6 (n次元ユークリッド空間, n-dimensional Euclidian space). R^のn個の直積 Rⁿ ={(x1, x2, . . . , xn)|xi ∈R}

の２点x = (x1, . . . , xn), y= (y1, . . . , yn)に対しxとyの距離d(x, y)を

d(x, y) = vu utXⁿ

i=1

(xi−yi)² で定めるとd^はR^{n 上の距離関数である}.

証明. D1 明らかにd(x, y)≥0であり, x=yならばd(x, y) = 0である. d(x, y) = 0とすると,

0≤(x_i−y_i)² ≤ Xn i=1

(x_i−y_i)² = 0 であるからxi−yi = 0. よってx=y.

D2 明らか.

D3R^nの３点x= (x1, . . . , xn),y = (y1, . . . , yn),z = (z1, . . . , zn)に対しai =xi−yi, bi =yi−ziとおく. xi−zi =xi−yi+yi−zi =ai+bi であるから

d(x, y) = vu utXⁿ

i=1

a²_i, d(y, z) = vu utXⁿ

i=1

b²_i, d(x, z) = vu utXⁿ

i=1

(ai+bi)² となる.

(d(x, y) +d(y, z))²−d(x, z)² = Xn i=1

a²_i + Xn i=1

b²_i + 2 vu utXⁿ

i=1

a²_i vu utXⁿ

i=1

b²_i − Xn

i=1

(ai+bi)²

= 2



 vu utXⁿ

i=1

a²_i vu utXⁿ

i=1

b²_i − Xn

i=1

a_ib_i



≥0.

ここで最後の不等号は次に示すSchwarz の不等式をもちいた. d(x, y), d(y, z)はとも に非負であるからd(x, y) +d(y, z)≥d(x, z)となる.

補題 2.2.7 (Schwarzの不等式). a_i, b_i (i = 1, . . . , n)を実数とすると次の不等式が成立 する.

Xn i=1

aibi

!2

≤ Xn i=1

a²_i

! _n X

i=1

b²_i

!

注意 . R^{n における}(標準的, ユークリッド)内積ha, bi^とノルムkak ha, bi=

Xn i=1

a_ib_i kak=p

ha, ai

を使うとSchwarzの不等式は

|ha, bi| ≤ kakkbk と同値である.

証明. P

b²_i = 0^{ならば全ての}i^についてbi= 0^{であるので両辺ともに}0^{となり成立する}. Pb²_i 6= 0とする. 任意の実数tに対して

0≤ Xn i=1

(ai+tbi)² = Xn

i=1

a²_i + 2t Xn i=1

aibi+t²( Xn

i=1

b²_i)

であり, P

b²_i >0であるから, 判別式を考えると Xn

i=1

aibi

!2

− Xn

i=1

a²_i

! _n X

i=1

b²_i

!

≤0 となる.

この距離をユークリッドの距離といい, Rⁿ にこの距離を与えて得られる距離空間をn 次元ユークリッド空間 という.

n= 1のとき

d(x, y) =p

(x−y)² =|x−y| Uε(x) = (x−ε, x+ε) Sε(x) ={x−ε, x+ε} n= 2のとき

Uε((x0, y0)) =

(x, y) (x−x0)²+ (y−y0)² < ε²

. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .....

......

......

......

...........

...............................................................

//

OO

x²+y²=1 max{|x|,|y|}=1

|x|+|y|=1

図2.1 U1((0,0)),例2.2.10, 2.2.11参照

問 75. 1次元ユークリッド空間Rからそれ自身への等長写像はどのようなものか？（ま ず0,1の像を調べてみよ.）

例 2.2.8. x, y ∈Q (あるいは Z) に対し, d(x, y) ∈R^をd(x, y) = |x−y|^{と定めると}, d はQ (あるいは Z) 上の距離関数であり, この距離によりQ (あるいはZ) は(1次元ユー クリッド空間R^の部分)距離空間である.

例 2.2.9.

R^∞ :=

(

(x₁, x₂, . . .)

x_i ∈R, X∞ i=1

x²_i <∞ )

とする. すなわちR^{∞ の元は実数列}{x_i}^{であって級数}P

x²_i が収束するもの. x= (x₁, x₂, . . .), y= (y₁, y₂, . . .)∈R^{∞ に対し}

d(x, y) = vu utX^∞

i=1

(xi−yi)² = vu ut lim

n→∞

Xn i=1

(xi−yi)² で定まる関数はR^{∞ 上の距離関数である}.

(R^{∞ を}l2 と書くことも多い. ^またR^∞ という記号は別の意味で使われることもあるの で注意.)

証明. まずd(x, y)がwell-definedすなわち級数P

(xi−yi)²が収束することを示そう. s_n = Pn

i=1(x_i−y_i)²とおく. {s_n}^{は単調増加である}. n次元ユークリッド空間R^nの ３点(x1, . . . , xn),(0, . . . ,0),(y1, . . . , yn) に対する三角不等式から

0≤s_n= (√

s_n)² ≤



 vu utXⁿ

i=1

x²_i + vu utXⁿ

i=1

y²_i





2

≤



 vu utX^∞

i=1

x²_i + vu utX^∞

i=1

y_i²





2

であるから{sn}^{は有界である}. よって収束する.

これがD1, D2をみたすことは明らかである. 三角不等式をみたすことは上と同様にn

次元ユークリッド空間における三角不等式を考えてその極限をとることで示すことができ る.

問 76. 上の三角不等式を示せ. 例 2.2.10. R^{nにおいて}

d(x, y) = max

1≤i≤n|xi−yi|

を考えると R^{n 上の距離関数である}. (この距離はチェビシェフ距離 (Chebyshev distance) とよばれることがある.)

証明. D1, D2は明らか.

任意の1≤i≤nについて|x_i−y_i| ≤d(x, y)が成り立つ. よって d(x, y) +d(y, z)≥ |xi−yi|+|yi−zi| ≥ |xi−zi|. したがって

d(x, y) +d(y, z)≥max

i |xi−zi|=d(x, z).

n= 2のときU_ε((0,0)) ={(x₁, x₂)|max|x_i|< ε}. 例 2.2.11. R^{nにおいて}

d(x, y) = Xn

i=1

|xi−yi|

は距離関数である. (この距離はマンハッタン距離(Manhattan distance) とよばれる ことがある.)

証明. D1, D2は明らか.

d(x, y) +d(y, z) = Xn

i=1

|xi−yi|+ Xn i=1

|yi−zi|

= Xn

i=1

(|xi−yi|+|yi−zi|)

≥ Xn

i=1

|x_i−z_i|=d(x, z).

n= 2のときUε((0,0)) ={(x1, x2)||x1|+|x2|< ε}

問 77. R^{∞ において例} 2.2.10, 2.2.11に相当することを考察せよ.

例 2.2.12(離散距離空間, discrete metric space). X を集合とする. 関数d: X×X →R を

d(x, y) = (

1, x6=y 0, x=y で定めるとdはX上の距離関数になる. (問題集88(1)参照.)

(X, d)を離散距離空間(discrete metric space) という. Uε(x) =

({x}, ε≤1 X, ε >1

Sε(x) =

(∅, ε6= 1 X− {x}, ε= 1

例 2.2.13 (p^進距離, p-adic metric). p^{を素数とする}. l∈Z^に対し vp(l) =

(

max{n∈Z n≥0, pⁿ|l}, l 6= 0

∞, l = 0

とおく. l 6= 0のときv_p(l)はpⁿ|l, pⁿ⁺¹ 6 |l となるようなn∈Z^である. すなわちlを素 因数分解したときのpの重複度.

dp: Z×Z→R^を

d_p(l, m) =p^−vp(l−m)

で定める. ただしp^−∞ = 0と約束する. d_p はZ^{上の距離関数である}. この距離をp進距 離という.

証明. D1, D2は明らか. D3を示そう. まず

vp(l+m)≥min{vp(l), vp(m)}

であることに注意する. なぜならlがpⁿで, mがp^k で割れればl+mはp^min{n,k}で割 れるから. p^−xはxに関して単調減少であることに注意すれば

d_p(k, l) +d_p(l, m)≥max{d_p(k, l), d_p(l, m)} (どちらも非負だから)

= max{p^−vp(k−l), p^−vp(l−m)}

=p^{−min{vp(k−l),vp(l−m)}}

≥p^{−vp(k−l+l−m)} =d_p(k, m).

問 78. 上のD1,D2を示せ.

問 79. 上の例でp= 2の場合を考える. n∈N^とする. 1. l = 0,1,2, . . . ,10に対しd₂(l,0)を求めよ. 2. d2(2ⁿ,0)およびd2(2n−1,0)を求めよ. 3. S1(0)およびU1(0)を求めよ.

4. S_1/2ⁿ(0)およびU_1/2ⁿ(0)を求めよ.

注意 . この距離は, 三角不等式よりも強い不等式(超距離三角不等式) max{d(x, y), d(y, z)} ≥d(x, z)

をみたしている. このような距離を非アルキメデス的距離 (non-Archimedean met- ric) という.

問 80. X を集合とする. 関数d: X ×X →R^が非負(∀x, y ∈ X, d(x, y)≥ 0) で, 超距 離三角不等式をみたせば, 三角不等式をみたすことを示せ.

注意 . この距離はQ^{に拡張できる}. 写像v_p:Q\{0} →Zを以下のように定義する. 任意 の0でない有理数rはr = pⁿs/t, (n, s, t∈ Z, s, tはpで割れない)と表せ, このnはr により一意に定まる. vp(r) =n とする. またvp(0) =∞^と定める (p進付値).

d_p: Q×Q→R^を

d_p(l, m) =p^−vp(l−m)

で定める. ただしp^−∞ = 0と約束する. dp はQ^{上の距離関数である}. この距離をp進距 離という.

証明.

v_p(l+m)≥min{v_p(l), v_p(m)}

であることを示せば, あとはZ^{のときと同様}. l = pⁿs/t, m=p^ku/v でs, t, u, v ∈ Z ^は pで割れないとする. n≤kとして一般性を失わない.

l+m=pⁿs

t +p^ku v

=pⁿ s

t +p^k−nu v

=pⁿvs+tp^k−nu tv

であるがvs+tp^k−nu∈Z^なのでvs+tp^k−nu =p^ew^と書ける, ^ただしe, w∈Z, e ≥0, wはpで割れない. したがってl+m=p^n+ew/tvとなり, tvはpで割れないことに注意 すればvp(l+m) =n+e ≥nであることが分かる.

例 2.2.14 (ハミング距離, Hamming distance). X を集合とする. x = (x1, . . . , xn), y = (y₁, . . . , y_n)∈Xⁿに対し,

d(x, y) =]{i x_i 6=y_i}

と定めるとdはXⁿ上の距離関数になる（問82）. この距離をハミング距離(Hamming distance) という.

例 2.2.15. (Xi, di) (i = 1, . . . , n) を距離空間とすると (x1, . . . , xn), (x⁰₁, . . . , x⁰_n) ∈ X1× · · · ×Xnに対して

1. pPn

i=1di(xi, x⁰_i)²

2. max{d₁(x₁, x⁰₁), . . . , d_n(x_n, x⁰_n)} 3. Pn

i=1di(xi, x⁰_i)

で定まる関数はいずれもX1× · · · ×Xn上の距離関数である.

問 81. 上の1,2,3が距離関数であることを示せ.

問 82. X を離散距離空間とする. 例2.2.15.3 で与えられるXⁿ上の距離関数とハミング

距離(例 2.2.14)との関係を調べ, ハミング距離が距離関数であることを示せ.

定義 2.2.16. (X, d)を距離空間, A⊂X をその空でない部分集合とする. このとき δ(A) := sup{d(x, y)|x, y ∈A}

をA^の直径(diameter)^という.

(空集合については必要ならδ(∅) =−∞^と考える.)

δ(A)<+∞^{であるとき}Aは有界(bounded)であるという. 問 83. A ⊂Bならばδ(A)≤δ(B).

例 2.2.17. ユークリッド空間の点 x = (x1, . . . , xn) を中心とする半径 r(> 0)の開球 Ur(x)の直径は2rである.

証明. 任意の２点y, z∈U_r(x)について

0≤d(y, z)≤d(y, x) +d(x, z)< r+r = 2r.

したがって0≤δ(Ur(x))≤2rである. 任意の正の数ε≤2rに対しR^{n の２点}

x_± = (x₁±(r− ε

4), x₂, . . . , x_n)

を考えると d(x_±, x) = r −ε/4だからx_± ∈ U_r(x). d(x₊, x₋) = 2r−ε/2 > 2r −ε.

よってδ(U_r(x)) = 2r.

注意 . 一般の距離空間においてδ(Ur(x)) ≤ 2rであることが上の証明の前半より分かる が, 等号は必ずしも成立するとはかぎらない.

問 84. 上で等号が成立しない, すなわちδ(U_r(x))<2rとなる例を挙げよ.

補題 2.2.18. (X, d)を距離空間, A ⊂X をその空でない部分集合とする. このときAが 有界 ⇔^任意の点x∈X に対し, あるr >0が存在してA⊂Ur(x)となる.

証明. ⇒) δ(A) =s, x ∈X とする. a ∈ Aを一つ固定する. r =s+d(x, a) + 1とする と, 任意のa⁰ ∈Aに対し

d(x, a⁰)≤d(x, a) +d(a, a⁰)≤d(x, a) +s < r だからa⁰ ∈U_r(x). よってA⊂U_r(x).

⇐) A⊂Ur(x)ならばδ(A)≤δ(Ur(x))≤2r.

問 85. Aが有界 ⇔ ^ある点x∈X と, あるr >0が存在してA ⊂U_r(x)となる.

問 86. (X, d)を距離空間, A ⊂X をその空でない有限部分集合とする. このときAは有 界であることを示せ.

定義 2.2.19. (X, d)を距離空間, A, B⊂X をその空でない部分集合とする. このとき d(A, B) := inf{d(a, b)|a ∈A, b ∈B}

をAとBの距離 という.

とくにA が１点x ∈ X からなる集合A = {x}^{であるときは}d({x}, B)をd(x, B)と 書いて, ({x}^とB^{の距離といわずに}) x^とB^{の距離 という}.

d(x, B) = inf{d(x, b)|b∈B} である.

明らかにA∩B6=∅^ならばd(A, B) = 0であるが,逆は一般には正しくない. 例 2.2.20. 2次元ユークリッド空間R^{2の部分集合}A, Bを次のように定義する.

A={(x,0)|x∈R}

B =

x, 1 x

|x >0

このとき任意の正の数x^に対し

d(A, B)≤d

(x,0),

x, 1 x

= 1 x であるからd(A, B) = 0であるが,A∩B=∅.

問 87. 1. r ∈ R^とする. 任意の正の数εに対しr ≤εであればr ≤0であることを 示せ.

2. 上の最後の部分, すなわち, 任意の正の数x に対し d(A, B) ≤ ¹_x ^{となるならば}, d(A, B) = 0であることを示せ.

問* 88. (X, d)を距離空間とし, P_f⁺(X)でX の空でない有限部分集合全体のなす集合を 表す:

Pf⁺(X) =

A ⊂X Aは有限集合 A, B ∈ P_f⁺(X)に対し,

d(A, B) = max˜

a∈Ad(a, B) と定める. ^ただしd(a, B) = inf

b∈Bd(a, b) (= min

b∈Bd(a, b))^である.

1. d(A, B)˜ ≥0であり, d(A, A) = 0.˜ 2. d(A, B) = 0˜ ⇔A ⊂B.

3. d(A, B) = ˜˜ d(B, A)は成り立つか? 4. d(A, B) + ˜˜ d(B, C)≥d(A, C˜ ).

5. dH(A, B) = max{d(A, B),˜ d(B, A)˜ } ^{と定めると} dH はP_f⁺(X) 上の距離関数で ある.

dH はHausdorff距離とよばれる(ものの特別な場合である).

ドキュメント内 PDF 幾何学序論講義ノート (ページ 130-141)