84
は，スリット数Nが十分大きいので，近似的に回折格子全体を１つの単スリットに対応さ せることによって定性的に説明することができる。
光の回折角を次第に大きくし，1 番目のスリットと 2
N 番目のスリットを通過する光の光
路差が波長の半整数倍になると，1 番目から 2
N 番目のスリットを通過する光と 2 N +1
番目 からN番目のスリットを通過する光は互いに打ち消し合い，スクリーン上の強度はゼロに なる。さらに回折角が大きくなると， 1番目と
3
N 番目のスリットを通過する光の光路差が
波長の半整数倍になり，1 番目から 3
N 番目のスリットを通過する光と 3
N +1 番目のスリッ
トと 3
2N 番目のスリットを通過する光が打ち消し合い，
3
2N +1番目からN番目のスリット
を通過する光が打ち消されずに残り，スクリーン上に光の強度の副極大が現れる。こうし て，単スリットの場合と同様に，回折角が大きくなるにしたがって強度の極大と極小（ゼ ロ）を繰り返す。
光波の合成
隣り合うスリットを通過する回折角
，波長
の光波のスクリーン上での位相差
2
dsinを用いて，下からi番目のスリットを通過する光波のスクリーン上での振動を，
( )
85
となり，合成ベクトルASの大きさすなわち合成振動の振幅ASは，
2 2
S
r N A sinとなる。これらよりrを消去して，
N A A sin( / )
) / sin(
2 2
S
を得る。１つのスリットを通過する振幅Aの光波による強度をI0，合成波の強度をI とす ると，
2 0 2
2 2 I I N
) / ( sin
) / ( sin
(2.26)となる。
光の強度が最大になるのは，(2.26)式の分母がゼロになるときであり，
n
2 ⇒ dsin
n
を得る。また光の強度がゼロになるのは，分母がゼロにならず，分子だけがゼロになると きであるから，p 1,2,,N1として，
(nN p)
N
2 ⇒
N
n p
dsin (2.27) となる。これより，隣り合う主極大の間にある副極大の数は，N 2であることがわかる。
2.12 分解能
望遠鏡や顕微鏡で，近くにある２つの物体をどこまで区別して観測できるか，また，ど の程度近い波長の光を区別して観測できるかなどの能力を分解能（resolving power）とい う。ここでは，いくつかの例について，それらの分解能を考えてみよう。
望遠鏡の分解能
望遠鏡で遠くの天体を観測するとき，どんなに性能をよくしても，ある程度以上近い物 体は識別できない。識別できる視角の最小値を望遠鏡の分解能という。分解能が存在する のは，光が回折現象を起こすためである。
幅Dのスリットに垂直に，波長
の平面波単色光を入射させると，スリット通過後のほ とんどの光は，角
をDsin
として，その回折角
が
を満たす範囲内に進む。そこで，非常に遠く離れた恒星Aから発せられた波長
の光が，焦点距離f ，口径（レン ズの直径）Dの凸レンズに，その光軸に平行に入射するときの分解能を考えるには，レン ズの直前に，直径Dの円孔があると思えばよい。円孔に垂直に入射する光の回折角
の回 折光は，凸レンズ通過後，光軸と角
をなすスクリーン上の点Pに集光する（図2.42）。し たがって，円孔に入射した光は，スクリーン上で，点 O を中心に半径f tan
の円形領域 内に広がる。円孔の有効スリット幅は0.82D程度になることが知られている。そこで，レ86
ンズの焦点の位置に置かれたスクリーン上にできるAの像は，
1を用いてほぼ半径 Df D
f f
f
122
82
0 .
sin .
tan (2.28) の円になる。
一方，別の恒星Bから発せられた光が光軸から角
だけずれてレンズに入射すると，ス クリーン上にできるB の像の中心は，点O からf tan
だけ離れた点Oになる。いま，点Oが，恒星Aの像すなわち点Oを中心とした半径1.22f
/Dの円の外側になれば，恒 星BはAと識別できるとする。そのとき，この凸レンズの分解能
は，D
sin 1.22 (2.29) と表される。例題 2.14 回折格子の分解能
スリット間隔dでN 本のスリットからなる回折格子を用いて，波長
の光と波長
（
0）の光を区別することを考える。ただし，入射光の空間的コヒーレンス（平面波 と見なすことのできる入射光の幅）の大きさは，回折格子の幅Ndより大きいものとする。(a) m次の回折光で２つの光を区別できるための，
/
の上限値はいくらか。この上限 値を回折格子の分解能という。ただし，２つの光を区別できるためには，波長
の 光波による明線の位置が，波長
の光波による同じ次数の明線から最初に強度がゼロにな る点より遠く離れていればよい。(b) ２つの光を適当な次数の回折光を用いて区別することができるための条件を求めよ。
(c) 全体の幅5cmの回折格子を用いると，波長5107 mの光に対する分解能はいくらに
なるか。また，2次の回折光で同じ分解能を得るための，回折格子のスリット数の上限値 を求めよ。
【解答】
(a) 波長
のn（0）次の回折光の回折角を
（0），波長
のn次の回折光の回
f D
図2.42
P O
87 折角を
とすると，
ndsin (2.30) )
( )
sin(
n
d (2.31) が成り立つ。また，波長
のn次の回折光の位置が，波長
の同じ次数の回折光の すぐ隣で，はじめて波長
の回折光の強度がゼロになる位置より遠く離れる条件は，(2.27)式より，
n N
dsin( ) 1 (2.32) となる。
(2.31), (2.32)式より，
n N
n( ) 1 ∴
nNこれより，分解能を大きくするには，回折格子のスリット数をできるだけ増やし，２ つの光を区別する回折次数をできるだけ大きくすればよいことがわかる。
(b) 回折次数を無闇に大きくすることはできない。なぜなら，(2.30)式より，
1
d n
sin ∴
n dとなるからである。これより，適当な次数の回折光を用いて区別することができるため の条件は，
Nd
となる。ここで，Ndは，回折格子全体の幅を表すから，適当な次数を用いて波長
の光 に対する分解能を大きくするには，入射光の空間的コヒーレンスの大きさに合わせて，できるだけ大きな回折格子を用いる必要のあることがわかる。
(c) 回折格子全体の幅がl Nd5102 mであるから，波長
5107 mの光に対する分解能は，
Nd 5
110
となる。2次の回折光で分解能1105を得るためのスリット数Nの上限値は，
N ln d ∴
nN l 5104 ■
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆【発展終】
88
現代物理入門
89