波動

30

31

縦波では，媒質の密度に変化が生じる。上の規則にしたが って縦波を横波で表すとき，波の変位の傾きが負でその絶対 値が最も大きいところは，媒質の密度は最大になり，逆に，

傾きが正でその絶対値が最も大きなところは，媒質の密度は 最小になる。前者の位置を密（compression）な位置，後者 の位置を疎（rarefaction）な位置という。これら疎密の位置 が波の速度で伝わる縦波は，疎密波（density wave）とも呼 ばれる。

自然界における縦波と横波

自然界に存在する波の中で，弦を伝わる波は横波であるが，物 質中を伝わる波は縦波が多い。

図1.3のように，固体中は縦波と横波の両方が伝わるが，図1.4 のように，気体中および液体中は，縦波だけが伝わる。したがっ て，空気中を伝わる音波は縦波であることがわかる。ただし，真 空中も伝わる光波は横波であることに注意しておこう。

1.3 正弦波

波動の中で，特に媒質が単振動する波を正弦波（sinusoidal wave）という。

例題 1.1 正弦波の式

波動が存在しないとき，原点 O にある媒質は，O を中心に振幅A，周期T で単振動し，

時刻tにおける変位は，

T t A t

y 2



0) sin ,

( 

と表される。この振動がx軸正方向に速さvで伝わるとき，波がないとき位置xにある媒 質の時刻t における変位を求めよ。

【解答】

縦波の進行方向：

密 疎 密

y

x

図1.2

縦波の変位

縦波

横波

図1.3

A B

C

縦波

A 横波 B

C

図1.4

32 原点での変位が位置xまで伝わるのにかか る時間はx/vであるから，時刻tにおける位置 xの媒質の変位y(t,x)は，時刻tx/vにおけ る原点の変位に等しい（図 1.5）。したがって

) , (t x

y は，



/ ,0



) ,

(t x yt x v

y  



 

 

 v

t x Asin2T



 



 

 

 

^x T

Asin2 t (1.2)

と書ける。ここで，vT 



を用いた。 ■

波数と位相速度

正弦波の式(1.2)において，正弦関数の角度部分 



 

 

 

^x T

2 t を位相（phase）という。こ こで，(1.2)式をもう少し便利な形に書き直すために，波数（wave number）





 2

k (1.3) を導入する。また，波の角振動数（angular frequency）



2



/T を定義し，これらを波 の基本式(1.1)に用いると，

vk



(1.4) を得る。こうして正弦波の式(1.2)は，

) sin(

) ,

(t x A t kx

y 



 (1.5) と書き直される。正弦波の式(1.5)は，これからの考察で便利なものとなる。

例題 1.2 x方向への進行波と位相速度

原点Oにある媒質の時刻tにおける変位が一定の振幅Aと一定の角振動数



により，

t A t

y( ,0) sin



と表されるとする。この振動が，x方向へ波数kで進行する正弦波の式を求めよ。また，

この波の同位相の点が動く速度（これを位相速度（phase velocity）という）v_kの表式を求 めよ。

【解答】

位置xでの媒質の変位は，時間x/vだけ後の時刻の原点x 0での変位に等しい。した がって，時刻tにおける位置xの媒質の変位は，波の速さをvとして(1.5)式を用いて，





 ( / , ) )

,

(t x yt x v 0

y 



 

  v t x

Asin



Asin(



tkx) (1.6) v

時刻 



 

  v

t x ^の波形

時刻tの波形

x x

y

y O

図1.5

33 を得る。波の式(1.6)において，同位相の点は，



kx



t 一定

で与えられるから，この式の両辺を時間tで微分して位相速度

dt v_k dx は，

0

 dt kdx



∴  

dt v_k dx

k





v ■

弦を伝わる横波の速さ

弦を伝わる横波の速さは，次の例題1.3で示すように，



u  S (1.7) で与えられる。

例題 1.3 横波の速さ

張力Sで張られた線密度



の弦を水平右向きに伝わる横波を考える。横波とともに速さ uで動く観測者が見ると，波形は静止し，弦は波形に沿って左向きに速さuで動いている。

図1.6のように，波形の頂点で重なる半径rの円（これを波形の頂点での曲率円（osculating

circle）といい，rを曲率半径（radius of curvature）という）を考えると，頂点部分の弦

は，速さuで半径r の円運動をしている。このことを用いて，弦を伝わる横波の速さ(1.7) 式を導け。

【解答】

図1.7に示されている弦の頂点部分（半径rの 扇形の微小な弧の部分）ABに，円運動の方程 式を適用する。扇形の微小な中心角を2



（1） とすると，AB部分の質量は



r2



2



r



，円 の中心方向（鉛直下方）の加速度はu²/r，両 側からAB 部分に作用する張力の鉛直下方成分 の和は2Ssin



2S



となるから，円運動の方 程式より，

r u

図1.6

 

 

r

S S

A B

u

O

図1.7

34







S

r r u 2 2

2  ∴



u  S ■

1.4 波の反射と透過

波が異なる媒質の境界面に垂直に入射する場合，一部はそのまま透過するが，一部は反 射する。波が反射するとき，反射端に，どのような力が作用するかで，反射波の位相がず れる場合とずれない場合がある。反射端で，力が全く作用しない反射を自由端反射

（reflection of a free end），強い力が作用して反射端の媒質が全く動くことのできない反射 を固定端反射（reflection of a fixed end）という。

入射波が境界面に入射し，透過波が存在する場合，一般に，境界面の透過側の方が振動 しやすい場合は自由端反射になり，逆に振動しにくい場合は固定端反射になる。その中間 的な反射は起こらない。

自由端での反射では，反射波の変位は入射波の変位に等しく，固定端では，反射波の変 位は入射波の変位の逆符号となる。変位が等しいとき，「位相のずれは 0」であり，変位が 逆符号になるとき，「位相は



ずれる」。一方，透過波の位相はずれない。

すべての波が端点ですべて反射する全反射（total reflection）では，0と



の中間の位相 変化が起こり得る。

波の重ね合わせ

２ つ の 波 が 重 な る と き ， 媒 質 の 変 位 に 関 し て重 ね 合 わ せ の 原 理（principle of superposition）が成り立つ。

正弦波の干渉と定在波

２つの波が重ね合わさり，強め合ったり弱め合ったりする現象を波の干渉（interference）

という。２つの波が同位相で重なると強め合い，逆位相で重なると弱め合う。また，媒質 の振動の振幅が位置x で決まり，各点の媒質がすべて同位相で振動する波を定在波

（standing wave）という。定在波において，振幅が最大となる位置を腹（loop or antinode）， 振幅が最小となる位置を節（node）という。

例題 1.4 正弦波による定在波の形成 図 1.8 のように，振幅A，角 振動数



，波数kの進行波

) sin(

) ,

(t x A t kx

y₁ 





がx軸正方向に向かって進み，

0

x にある壁で反射するとき，

領域x≦0に定在波が生じる。

壁での反射が自由端反射である 場合と固定端反射である場合の

y

0 x

0 t

図1.8

A

A

35

それぞれについて，領域x≦0での定在波の式を求め，波長



を用いて腹の位置と節の位置 の座標を定めよ。また，自由端反射と固定端反射のそれぞれの場合について，T 2



/



を 周期として，時刻t 0,T/4,T/2における定在波の波形を作図により描け。ただし，反射 による振幅の減衰はないものとする。

【解答】

自由端反射と固定端反射の場合，反射波の式は，

) sin(

) ,

(t x A t kx

y₂ 



 （+符号は自由端反射，符号は固定端反射）(1.8) と書けるから，三角関数の和積公式

2

2



2

  





sin sin cos ^

sin 



 (1.9)

を用いて，入射波と反射波の合成波は，





 (, ) ( , ) )

,

(t x y t x y t x

y _{1 2}











：固定端反射

：自由端反射 t

kx A

t kx

A





cos sin

sin cos

2

2 (1.10)

と書ける。

(1.10)式の最右辺において，sin



t（cos



t ）は振動を表す項であり，2Acoskx

（2Asinkx^{）は，位置}xにおける振幅を表している。したがって，n 0,1,2,として，

(i) 自由端反射の場合

腹の位置：kxn



⇒ x  2 n



 ， 節の位置： 





 

 



 2

n 1

kx ⇒ x 

2 2 1





 

 

 n

(ii) 固定端反射の場合

腹の位置： 





 

 



 2

n 1

kx ⇒ x 

2 2 1





 

 

 n ， 節の位置：kxn



⇒ x  2 n





となる。

上の結果より，反射端x0が腹になるか節になるかを見ると，次のことがわかる。自由 端反射と固定端反射では，腹の位置と節の位置が逆転し，自由端反射では，反射壁の位置 が腹に，固定端反射では，反射壁の位置が節になる。また，隣り合う腹どうし，隣り合う 節どうしの間隔はともに



/2であり，隣り合う腹と節の間隔は



/4である。

自由端反射では，壁での位相変化がないので，反射波は，入射波を領域x 0まで延長し，

延長した波をそのままy軸に関して折り返せばよい。固定端反射では，壁で変位の符号が 反転するので，反射波は，入射波を領域x 0まで延長し，延長した波をx軸に関して反転 し，その上でy軸に関して折り返せばよい。こうして，定在波の波形を図1.9のように得る。

ここで，入射波は細い実線で，反射波は点線で，合成波である定在波は太い実線で描かれ ている。

36

■ 1.5 弦の共振

両端を固定した弦を弾くと，両端を節とした定常波が生じ，共振した状態になって音を 発する。これがバイオリンなどの弦楽器である。こ

の場合，弦に入射した振動は，固定された一端 P で反射して，入射波と反射波が重なり端Pを節とす る定常波を生じる。一方，他端 Q に向かった反射 波は，端 Q でも固定端反射するため，そこでも Q を節とする定常波となる。したがって，両端 P, Q がともに節となる定常波のみが残る。

図1.10 のように，強く張られた弦の両側の固定 端間に，腹が１つの定在波が出来ているとき，その 振 動 を 基 本 振 動 （ fundamental harmonic oscillation），腹が２個のとき，２倍振動（second

harmonic oscillation），・・・，腹がn個のとき，n

入射波

反射波

入射波

合成波 反射波

合成波 y

x

y

x

x

y y

x

x

y y

x

0 0

0 0

0 0

0

t t0

/4 T

t tT/4

/2 T

t tT/2

自由端反射 固定端反射

図1.9

腹 節 腹 節 節 腹 節 腹

1/2



2/2



3/2



L

基本振動

２倍振動

３倍振動

図1.10

37

倍振動（n-th harmonic oscillation）といい，これらの振動を固有振動（proper oscillation）

という。

例題 1.5 弦の固有振動

張力Sで張られた線密度



^{の弦の長さを}Lとするとき，この弦にn 倍振動ができている とする。そのときの振動数f_nを求めよ。

【解答】

波長



_nは，隣り合う節間の距離が



_n/2であるから，

2 n n

L _{ }



_より，

n L

n

 2



となる。いま弦を伝わる横波の速さがv  S/



と書けるから，n倍振動の振動数は，





n n

f v

 

S L n

2 ■

1.6 ホイヘンスの原理と波の回折

ある時刻において，位相の等しい点をつないでできる面を波面（wave front），波面に垂 直な線を射線（ray）といい，波は射線に沿って伝播する。波面が平面の波を平面波（plane wave），波面が球面になる波を球面波（spherical wave）という。

ホイヘンスの原理

図 1.11 のように，ある瞬間の波面上の各点から，これらの点を波源とする素元波

（elementary wave）が無数に生じ，これらの波に共通する面（包絡面）が次の波面となる。

このようにして波が伝播するという考え方をホイヘンスの原理（principle of Huygens）と いう。











射線 波面

 波源 素元波の波源

図1.11

波面

図1.12

ドキュメント内 チャレンジ・ガイド II (ページ 34-47)