前期量子論 - チャレンジ・ガイド II

2.1 原子構造

19世紀末までに，物質は細かく分割していくと原子からできており，原子も内部構造をもっているのではないかと考えられるようになった。また，物質内には負電荷をもつ電子が存在することも分かってきて，原子内には多数の電子が存在するのではないかと思われるようなった。そのような状況下で，いろいろな人が原子構造のモデルを提案した。

いろいろな原子モデル

トムソン（J.J. Thomson）は，原子は半径 1Å程度の球であり，そこに正電荷が一様に分布し，電子がその中に散らばり，全体として中性になっているという，トムソン模型（Thomson model）を提出した（図2.1）。一方，

1904年，長岡半太郎は図2.2のように，原子の中心に正電荷があり，そのまわりを電子がリング状になって回転しているという長岡模型（Nagaoka model）を提案した。

マクスウェルによる電磁気学理論によれば，荷電粒子が加速度運動すると電磁波を放射することがわかる。電磁波はエネルギーをもち去るので，回転している電子はエネルギーを失い，中心に集まってしまう。これらの疑問があったため，長岡模型は，なかなか一般的に認められるものとはならなかった。

ラザフォードの実験

1909年，ラザフォード（E.Rutherford）の指導のもとに，ガイガーとマースデンは，金箔にα粒子を衝突させ

る実験を行った。その結果，照射したα粒子のほとんどは金箔を素通りしたが，極くまれに大きな散乱が起きるという結果を得た。この実験から，ラザフォードは，原子の中心にはその質量の大部分をもち，正電荷をもつ大きさが非常に小さい原子核が存在するという，ラザフォード模型（Rutherford model）を提案するに至った（1911 年，1913 年）。ラザフォード模型では，中心の原子核のまわりを質量の小さな電子が電気的引力を受けて回っていることになり，加速度運動している電子は電磁波を発生させてそのエネルギーを失い，原子は潰れる。その結果，原子は存在できないという，理論的な困難は残されたままであった。

2.2 ボーアの水素原子模型

一様な正電荷

図2.1

負電荷をもつ電子は等間隔で回転している

図2.2

正電荷球

100 水素原子のスペクトル

高温の気体や放電管内の気体は，その気体に特有な波長の光を放射すると同時に吸収する。そのときの波長の列をスペクトル（spectrum）という。この場合，その波長はいくつかの特定な値だけをもつ。そのようなスペクトルを線スペクトル（line spectrum）

といい，それに対して，連続した波長のスペクトルを連続スペクトル（continuous spectrum）という。

高温に熱せられた水素原子が放射・吸収する光の波長 ^{は，}n 1,2,3,^， ,

, 2

1 



n n

m として，



 



 

 1₂ 1₂ 1

m R n



(2.1) で与えられることが実験的に見出されていた。ここで，Rはリュードベリー定数（Rydberg constant）とよばれ，R 1.09710⁷1/mの値をもつ。

2

n の系列はバルマー系列（Balmer series）とよばれ，発せられる光は可視光の領域に入る。n 1の系列は紫外線領域に入り，ライマン系列（Lyman series），n 3^の系列は赤外線領域に入り，パッシェン系列（Paschen series）とよばれる。

ボーアの水素原子模型

1913年，ボーア（N. Bohr）は，次の仮定をおくことにより，水素原子の構造を考察し，水素原子の光のスペクトルの式(2.1)を導くことに成功した。

（仮定）

1) エネルギーが決まった値をもち安定した定常状態にある電子には，ニュートンの運動方程式が適用できる。

2) 電子の定常状態は，量子条件を満たす。

3) 定常状態にある電子は，加速度をもっているが，電磁波を放射しない。

図2.3のように，電荷



eをもつ原子核のまわりを，質量m，電荷



eをもつ電子が，原子核から静電気力を受けて，半径r，速さvで等速円運動をしている定常状態を考える。原子核の質量は，電子の質量より十分に大きいので，原子核は動かないとする。また，原子核と電子の間の万有引力は静電気力に比べて十分小さいの，これも無視する。

クーロンの法則の比例定数をkとすると，電子の円運動の式は，

2 2 2

r ke r

mv  (2.2) 電子に作用する静電気力は中心力であるから，電子の角運動量は保存される。そこでボーアは，角運動量mvrが，量子条件（quantum condition）

e

e r v

図2.3

101 2



n h

mvr  ^（n 1,2,3,） (2.3) を満たすとき，電磁波を放射しないと仮定した。このときのnを量子数（quantum number）という。

(2.2), (2.3)式よりvを消去して，

2 2 2

4 n

kme r h

r _n





 (2.4) となる。ここで，半径rは量子数n^{に依存するので，}r_nとおいた。

無限遠の位置エネルギーを0とおくと電子のエネルギーEは，(2.2)式を用いて，

r ke r

mv ke

E 2 2

1 2 ²  ²



これに(2.4)式を代入し，E^をE_nとおいて，

2 2

4 2

2 1

n h

E_n 



k  (2.5) を得る。

量子数nで定まった定常状態のエネルギーE_nを，エネルギー準位（energy level）という。E_nはつねに負である。n1^{の状態はエネルギ}

ーが最も低く安定であり，基底状態（ground state）

とよばれ，n2,3,^の状態は^{励起状態（}excited

state）とよばれる。水素原子の基底状態の半径a₀は

ボーア半径とよばれ，(2.4)式で各定数の数値⁶を代入しn 1^{とすると，}a₀ r₁5.310^¹¹mとなる。また，水素原子の基底状態のエネルギーE₁は，

J 10 602 . 1 J eV

1 e〔〕  ^¹⁹ であることを用いると，

eV 6 .

113

E となる。各エネルギー準位は，図 2.4 のようになる。量子数nが大きくなると，エネルギー準位の間隔が狭くなり，n でE_ 0となる。

振動数条件とスペクトル系列

ボーアは，エネルギーの高い定常状態から低い定常状態にへ電子が遷移するとき，そのエネルギー差に等しいエネルギーをもつ１つの光子を放射すると考えた。つまり，エネルギー準位E_mからE_n（n m）に遷移するとき放出する光の振動数^（波長）は，



^hc



h E

E_m  _n   (2.6) で与えられる。この条件を振動数条件（frequency condition）という。

6 h6.62610^³⁴Js，m9.10910^³¹kg，e1.60210^¹⁹J，k8.98810⁹Nm²/C²， m/s

10 998 . 2  ⁸

 c

5

10

15

E3 E2

〕

〔eV 6

113. E

〔eV〕

図2.4

102

(2.5)式を(2.6)式に代入し，水素原子から放射される光のスペクトルの式(2.1)と比較すると，

3 4 2

2 2

ch me R _



を得る。これに各定数の数値を代入すると，R 1.110⁷1/mとなり，実験的に得られたリュードベリー定数の値によく一致する。

こうして，ボーアの考えた水素原子模型に対する理論は広く認められるようになったが，原子核のまわりを２個以上の電子がまわる原子に対する光のスペクトルを説明することはできなかった。これらの原子に対する実験結果を説明するには，さらに発展した量子力学を必要とすることになった。

【発展】☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

ボーア‐ゾンマーフェルトの量子化条件

ボーアの量子条件(2.3)は，次のように一般化することができる。この一般化は，電磁気で，直線電流による磁場の式を，アンペールの法則に一般化する方法と類似している⁷。

(2.3)式は，

nh r p2





と書ける。この式は，電子の運動量の大きさp^{が一定の場合の} 表式である。そこで，pが変化する場合に一般化する。それには，運動量ベクトルp^{と電子の軌道}Cに沿った微小なベクトル

d ^{をとり，内積}pds^をCの一周について和をとればよい（図 2.5）。そうすると，上式は，

nh d 



Cp s ^（n1,2,） (2.7) となる。これをボーア ‐ ゾンマーフェルトの量子化条件

（Bohr-Sommerfeld quantum condition）という。

例題2.1 調和振動子のエネルギー準位

ボーア‐ゾンマーフェルトの量子化条件(2.7)を，単振動している質量mの粒子（これを１次元調和振動子（harmonic oscillator）という）に適用して，そのエネルギー準位を求めよ。ただし，振動数を とする。

【解答】

位置xで粒子に作用する力をkxとすると，その力学的エネルギーEは，運動量の大きさをpとして，

7 電磁気編4.2節(3)参照。

原子核 s

d p

図2.5

103

2 2

2 1 2 2

1 2

1 kx

m kx p mv

E     (2.8) となる。ここで，エネルギーEが一定に保たれている定常

状態を考え，横軸にx，縦軸にpをとってグラフを描くと，

図2.6のような楕円になる。いま，単振動の角振動数を用いてk m²と書けるから，楕円の長半径 A は，



A E となる。

調和振動子に対する量子化条件(2.7)は，

nh pdx pdx ^A

A A

A 







 ^

となり，この式の左辺は，図 2.6 に描かれた楕円の面積

 



A mE ^E

S 2

2  



 である。

よって，



 

 2 より，調和振動子のエネルギーEは，



E nh



(2.9) となる。ここで，電磁波を電場と磁場の調和振動子と考える（質量は0であるが）と，(2.9) 式は，プランクの量子仮説(1.1)に一致する。 ■

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆【発展終】

2.3 X 線回折

図2.7のように，陰極のフィラメントに電流を流すと，フィラメントは数千度という高温になり，フィラメントの中の電子が熱エネルギーを受け取って外部に飛び出してくる。

この電子を，光を吸収して飛び出す光電子と区別して，熱電子（thermoelectron）という。この熱電子を高電圧で加速し陽極の金属に衝突させると，X線が発生する。このとき発生するX線の強度分布は，陽極がモリブデン（Mo）の場合，図2.8のようになる。発生するX線は，強度が波長とともに連続的に変化する連続 X 線（continuous X-ray）と，

陽極に用いた金属に特有な位置に強いピークをもつ特性 X 線（あるいは固有 X 線とよばれる）（characteristic X-ray）からなる。

2mE

 2

A A x

図2.6

104 連続 X 線

古典電磁気学によると，荷電粒子が加速度運動すると電磁波を放射することが導かれる。したがって，電子を高速で金属に衝突させると，電子は衝突の際に大きな加速度をもつため電磁波を発生する。こうして発生する電磁波の放射を制動放射

（bremsstrahlung）という。

電子が陽極に衝突するとき，電子のもっていた運動エネルギーの多くは，陽極を構成

している原子に振動エネルギー（熱エネルギー）として与えられ，残りが制動放射で発生する電磁波（この場合，通常 X 線）のエネルギーとなる。電子の運動エネルギーのうち，どのくらいの割合のエネルギーが X 線に与えられるかは，衝突の仕方によりいろいろな場合がある。そのため，発生する X 線の強度は，X線の波長（すなわち，エネルギー）とともに連続的に変化する。

陰極と陽極の間の加速電圧をV とすると，熱電子のもつ初速度を無視すると，陽極に衝突する電子のもつ運動エネルギーはeV（e：電気素量）となる。いま，電圧V が一定のとき，電子の運動エネルギーがすべて１つの X 線光子に与えられると，X線のエネルギーは最大になる。こうして，連続X線の最短波長



₀は，



eV hc ∴

 hc



0 (2.10) となる。

特性 X 線

金属内の電子には量子力学が適用され，そのエネルギー準位は，水素原子の場合と同様に，とびとびの値しかとることができない。また，後に説明するように，電子は１つの量子力学的状態に１つしか入れない。そこで，温度が低いとき，図2.9のように，

電子はエネルギーの低い状態から順次詰まっている。

金属に高速で衝突した電子は，エネルギーの低い状態の電子をはじき飛ばし，そこに



陰極(フィラメント)

陽極(金属)

X線

図2.7

特性X線

連続X線 X

線の強さ

0 2 4 6 8 10 12

波長(10^¹¹m)

0

図2.8

〕 10〔V 5 3  ⁴

 . V

特性X線

図2.9

ドキュメント内チャレンジ・ガイド II (ページ 103-111)