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論 文1
” ・ 日本 建 築 学 会構 造系 論 文 報 告 集 UDO ：624．014．2 ：S24．．042 ：53g．384 第 389 号・昭 和 63年 7月平
行
弦
ラ
チ
ス構 造
物
の個 材
の曲 げ座 屈
で
定
ま
る
座 屈 荷 重 に及
ぼ
す
境 界 部
材
の効 果
につ いて
正 会 員 正 会 員 正 会員 ＊ 耡 躍 准 准 郎 美 介 一 ： 興 益 祐 ， 置 上 田 臥 村 高 「 1．序 同一の構 造 単 位が繰 り返 す 平行弦 剛節ラ チス柱の弾 性 座 屈 荷重辷関し て， 有 効 剛性と有効強 度を用いた連 続 体 的 取り扱いに よる算 定 法 が提案さ．れ，そ の方 法に よ る値 と幾 何 学的非線形 性を考 慮し た離 散 的 取り扱い にょる数 値 解の比 較が行わ れ， 両 者は か な り良 く一致して いる。 そこ で の有 効 強 度に は全 体 的な変 形な しに個材の弾 性 座 屈で定ま る強 度を用い ており，その座屈モ ードは，2構 造 単 位ごとの繰 り返 し形になっ てい る。し か し ラ チス柱 が比較 的短く，個 材の 曲げ座屈で座 屈 荷 重が決ま る 場合 に，’境 界 部 材の境 界節点回転拘 束 や 変 位の支 持 条 件に よっ て は， 連続体的 取り扱い で使 われ る個 材の弾 性 座屈 で定ま る有 効 強度は，離 散 的 取り扱い による解 を上 回る 場 合の ある ことが示さ れて い る1〕。 繰り返し形 構 造 物の 境界条件の影響を考 慮 し た座 屈 荷 重の算 定 法k
は， 座 屈 モードの周期性を仮定する方 法Z｝La ） ，差 分方 程 式の 同次 解の 特定の形を用い る適 用 域 限られ た方 法5〕等が あ る。 本 論で は， 平行弦 剛 節ラチス構 造 を対 象と しで，繰 り 返し形 構 造 物の個材の 曲げ 座屈で定ま る弾 性 座屈に及 ぼ す境界部材の効 果を，特にその 境 界 節 点 回転 拘 束 効 果 を 論 じ る。 こ こ で， 境 界 部 材と は，境 界に接 続す る構 造 材 で あ り，本 論の場 合に は，図一1 （a）．に示す ように平 行 弦ラチス の端 部の束材を意味・し， ’境界 部 材の境界節 点 回 転 拘 束どは，図一1 （b）に示す よ’う にt） t 境 界 部 材が境 界での節点回 転 変 位 を 境 界の外か ら拘 束す る作 用で あ り，その作 用がラチス搆 造の座屈荷重に及ぼ す効 果を境 界 部 材の境 界 節 点 回転 拘 束 効果と呼ぶ。 その ために先 ず，節 点 移 勤 を拘束し た 近似モ デル を用 い，境 界 部 材の境 界節 点回 転 拘 束 を 考 慮し・，・節 点の回 転 変 位に対 ずる弾性 座 屈 方程式を導き，その方法の結 果 と， 原 形 状か らの線形 分岐 座屈の 厳 密 解とし て の節 点 移 動と 節 点 回転 変 位を考慮し た方法によ る数 値 解 析 結 果 を比 較 1 大 阪 市 立 大 学 教 授・工 博 “ 大 阪 市 立 大 学 助 手 1＃ 日立 造 船 （株） （昭 和62年10月29日原 稿 受 理 ） し て，前 者の精 度を検 討 する。次に節点移動 を拘 束 し た 方 法 を用い て；個 材の曲げ座屈で定まる弾 性 座 屈に及ぼ す，境界 部 材の境 界 節 点 回転拘 束 効 果 を定量的に検討す る。さ らに連続 体 的 取り扱い で使わ れる個材の弾 性 座 屈 で定ま る有 効 強 度の適 用 性の検 討 と， 適用で き ない場合 に対す る解析方 法を提案ずる。 ．’tttt 上記の検 討セ使用 す る方法の特徴は，1シ土ルの 自由振 動に関し微分方 程式の特性 値の性 質か ら固有ベク トル の 性 状 を検 討す る方 法G） を差 分方程 式に拡襃し，差 分 方 程 式の同 次 解 を用 い， 式の形で その座屈毛一ドを検 討す ’z るこ とである。 ． 2．解 析 方 法 2，1 解 析 仮 定 ’．』 1 本 論 文で は，源 形状か らの分岐座屈に対して，節 点の 移動 と回 転 を考 慮する厳 密解法と，』以 下に提 案 する 節 点 の移 勤を無 視 し，回転を 考 慮 し た 近似 解法 を用い る。 本 提 案 手 法は， 厳 密 解 法に よ る 座屈モニ ドが節 点 移 動の な い形であれ ば座 屈 荷 重の正解を，そうでなけれ ば，節 点 移 動 を拘 束 して い る の で解の 上界を与え’る。文 献 1）に 示 す有 効 強 度は，節 点が移 勤せず， 2 構造 単 位
t
’ とに繰 り返すモードの 回転 変 位 が境 界 条 件 を 満た す 場合に厳密 解と な．る。 こ こ で本 論で提 案する モデル と その解 法の仮 定 を 以卞に示 す。 1） 部材は一様断 面 直 線 材で ある。 2） ラ チス構 造の応力 状 態は，．材 軸 方 向に一様である。 こ こ で，繰 り返 し 形 構 造物におい て応 ガ 状 態が一様と は， 各構 造単位の応 力状態 が すべ て等 しく繰り返されてい る こ と をい 「 う。 3 ）”部材のせん 断 変 形は無 視 するQ 』 4 ）微小変 形 弾 性 論ξ 5 ）座 屈 時の節 点 移 動が軸 力と 釣 合 条件に与 え る影響 を 無 視 す る。 2．2 基礎方程 式図一1 （a）に示す平行弦 剛 節ラチス構造の差分方 程 式 は，
［K（E）］ヨθ，
1
＝lm
丿レ…1
…・…・…・…・∴…・・…・∵・（1） こ こ で，［K （E）］は要素に ずら し演 算 子 E を含む剛 性 一21
一←
IhlL
図一1（a） 平 行 弦 剛 節ラチス構造 行 列で あり．式 （2 ）で示される。［K （E）］＝
［
KnKne（E（E） Kn） K，， ｛（EE｝＞］
， 特性 方 程 式は， λ のべ き の符 号を変え て も方 程 式が変わ1
ら ない形の 定 数 係 数 を 持つ λ の 軟 代 数 方 程 式で ある から，特 性 根の 2根の積が 1で ある2組の解を持つ 。特 性 根の絶 対 値が 1であ る共 役 複 素 根の 場 合，解は繰り返 し形であ り， 特 性 根の絶 対 値が 1 でない共 役 複素根の場 合，解は減衰と発散す る形と な る。発散は，座標の符号 図一1（b） 境 界 部 材の を変え る と 減衰であ り，その意 昧で境 界か ら減 衰す る状 境 界 節 点 回転 拘 束 態を表す。 解がいか なる形， つ ま り座 屈モードに な る か は，方 程 式の係 数の関 係で定 まる。 2．3．1 β，β2十β轟 の場合 特性方 程式は， ξに関して 2 次方程 式であり， 特性根 は，式 （9）の根の判別 式に当た る v； u2− tの符号に Kll（E）＝h。H 十ん11（E）， Kl2（E）＝hcn
十hn（E）， κ22（E）＝kcz：十醍2｛E｝， leCll＝2ai＋α 3＋α 4＋α 5，hc
且t＝β， ， iSc22；＝2at十 as 十 al 十 crst ktl（E｝＝β1（E＋E − t ）， h ［，（E）＝＝fisE
一匚 ＋βsE ， hn（E）＝ β2（E十E−1）・・・・・・… 9・・・・… 一・・… 一・… （2） ずら し演算子 E は， 次 式で定 義す る。 Ef （ノ）ニ ∫（ゴ十1）……・…・・……・……・………（3） 上添宇＊ は． E とE“i と を置換し た式 を表す。・・一
学
扁考
瓦……・・…・一 ・………（・｝ EI，は，個 材の 曲 げ剛 性， 1‘は， 個 材の長さを 示す。 a‘，β‘は，断 面 力に応 じて定ま る個 材 軸 力の関 数 L）で， い わゆる安 定 関 数7 ｝を表 し， α t，β，は本 論 文に限り剛 度 と弾性 係 数をい わ ゆ る安 定関数に掛け た もので あ．る。1
θ，1
は回転変位ベ ク トル，lmA
は対応す る外 力モーメ ン トベ ク トルで ある。1
θ／＝［θ細，θBJ］ τ・・・・・・・・・・… 一・・・・・・・・・・・・・・・・… −t・・（5 ）lml
＝＝［MA 丿， mal ］τ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （6 ＞ 2．3 差 分方 程 式の同 次 解 式 （1 ）の同 次方程 式につ い て の 日置 ・羽 原の ポテン シャ ル 関数H （j
）s）は ， 演 算 子 行 列の 行 列 式をdet［κ （E＞］と お く と， det［K（E）］H（ノ）＝ O …・………「・…t’trt”「’囓’（7） 和 分定 数をC‘（‘＝ 1，…，4）， 特性 根をN
（i＝1，…，4） と して式 （8）を式 （7｝に代入 す る と，特性方 程 式（9） を得る。 H（ノ）＝C‘λ‘ J・・・・・・・・・・・… t・・一一・・・・・・・・・・・… 一一・・… （8） ξi−2u ξ十 t＝o・・・・・・・・… tt… 一・・・・・・・・・・・・・・・… （9） ここで， λ十 λ’i ………・……・…・…・・……・…・…・・（10＞ ξ＝ 2u− 一臨
去
離
…論静
＋E
’）2t
）1
・・…t…… （11） ［heiikcn一腱．匿 ＋（β菖一β5）『亅 ……・…・・……（12） t＝ 4（β1β2一β≠B5
） 応じて， 図 一2の v− u 平面 上に示 す よ うに分 類 さ れる。 例え ば， v〈0で あ れ ば， 特性 根は， 共 役な2組の複 素 根に な る。v， U の値に応じ て形の定ま る得ら れ た特性 根 蝋 ‘＝ 1。…4，）と ポ テン シャ ル関数 H（ガ を 以下に 示す。 （1） v〈0の場 合 λ1＝A （COS θce十 isinθco）， λz＝A（cos e．。− isinθco），h ＝p「1（COS ece− isin eco）、
λ4＝ρli（COS eco十isinθco）・………… ……・（13 ）
H （ノ）＝P｛（C、cosjeeo 十Cisinjeco）
十ρiJ（Cコcos
j
θ‘o十C4 sinj
eco＞… ？・・・・・・・・・・・… 『（14 ） こ こ で， A＝vXR［
F
ア， e．。＝tan’ 2 （〃R）， R＝＝u十 r， 1＝ff
十 sign （u＞s ， r ＝lw
十（w： 十et）1／ 1｝／2， s＝i
− w 十（ω！十 e2）1ノ！レ2， w ＝＝u2 十 v−1， eニ2uV 「ff
… 一… r・・9・髄・・… （15 ） （2） v＝ Oの場 合 （イ） lul＞1の場 合 λ1＝u＋ザ『＝丁 （2重 根）， λs； λ1：； u −Vlii
＝i
− （2重 根 〉…・……・・…（16） H （∫）＝（Ci十C2ノ｝λ｛十（Cs十C4ノ）λ「’・・・・・・・… （17 ） （ロ ＞ lul＝1の場 合 λ1＝u （4重 根 ）……・・…………・……・・……（18） H （ノ）＝ 〔Ci十C2j十CsJ”十C ，jS
）λ｛…・・・・……（19） （ハ ） lul＜1の場 合 λ，＝ （cos 砺十 ‘sin 砺〕（2重 根） λ3；（cos θn − isin eo）（2重根 ）・…・・……（20）H 〔ブ）＝〔CI十C2ノ）cos
jene
十（C3十CJ）sin ノ偽…・…………・…・・……・……・（21） こ こで， ゐ＝tan−1（
Vi
’ ＝’Eii
／u）・・…・・・・……・…・・……（22） （3） v＞0の場 合 2組の根の組み 合わ せ， λ， ＝・ Xli，λ，；λi −L で ある特 性 一22
一表一1 特性 根
’
IPI I＞工 IPL I・1Ip 聖1（正 え1P1 ＋樋 P1． COS θ 1 ÷isinθ量 竃2．qL −1P1 一倆 （2重 根） COS θ 1−isinθ 1 FF 唱 Ip21＞1lp21 ・1 亅P21 ＜1 λ 3P2 ＋伍 − P2cOS θ 3＋isi員θ3 λ4＝λ3−LP2 一研 ．（2重 根） COS θ 3−isinθ 3 ，． 表一2 ポテン シ ャ ル関数H （ゴ）1， H （ノ）t H（1）1 H（」）2 IPI l ＞1 Clλ1，十C2 λ1一丿 「P21 ）1 C3λ3」十C4 A 3−」 1PtI＝1 （C1十C2．j）λ1丿 lP2「・1 （C3｝C4 j） R 3 J 亅PgI 〈1 ：F 」 Clcosj θ畳＋C2sinj，θ1 lp？1〈1 Cscosjθ3十C4sinjθ3 表一3 特性根． Ibl＞1lp 卜1 Ip卜 （1 λ： P号倆 PCO5 θ 2＋isinθ 2 λ2・λ 1’1P 一倆 （2重 根 ）COS θ 2−isin．θ 2 根 λ1，λ，，λ3，N を， p、＝u ＋而 ， p2＝ u−
va
と おい て，p；， p2の絶 対 値に対 応し て表一1に示す。 こ こ で， ．’ ・ ． ．．． ．’． e，− tan一 聖 （嗣 ／ρ、｝， ．a
−tan
−1 （碗 ／P，） …∴ ∴…・…・…………・…・…・ （23 ） 1p，）＝1， 1p21＝1の場 合に特 性 根は λ1≡1 （2重 根 ）， 愚＝− 1 （2重 根）と な る。 ’ ρ1， ρ：に対 応す る 部 分 を H（ノ）匸，H （j
），とすると， ポ テン シ ャ ル関 数H （j
）lk 「 式 （24）’と な る。 ’ H （j
）； H 〔ノ） 且十H （ノ）2t．／．・一・・1… t−・・… 一一・ ∵・・∴・・（24） ρ、，Ptに対 応す・る部分 H（」）1， H （JO，を表一2に示す。 lPl1＝1， 1p，1 ． ＝1の場 合にば， ポテンシャル関 数H （ノ） は，式 （25）と な る。 H （ブ）＝ （C ，十C2j）十（Cs十C4ノ》（− 1〕 i’． 〔P、Pt＝−1） ．． 一・9・・・・・・… 一・… t・・・・・・… t−・・・… （25） 2．．3．2 β1β2＝β3β5の場 合 特 性 方 程 式は， 式 （8 ｝を 用いると式 （26 ）と なる。 ξ一p＝0・・・・… 一・・・・・・… ∴・・・・・・・・… 喞・・・・… 一・… （26） こ こ で，’「・一一 、
撫
1
織
鷺覊
）｝ …・……… ） Aa；λi’ である特 性 根 λi
， λ、を， p の絶 対 値に対応 し， 表一3に示す。 こ こ で・ ． ． ． ’ ． a −fan
−’ （五＝ヲ／P ）…・…・……・…・………（28）： lpl＝ 1の場合に， 特性 根 は λ1＝P
．（2重根 ）と な る。 ρ の 絶対 値 に対応す るポ テン シャ ル関 数 H （JO を表 一4に示．す。 2．．4 ・回転 変 位の同 次 解 1 ポテ ン シ ャ ル．関 数 H （j
）が定まる と， 回転変位の同 表一4 ．ポテンシャ ル関 数∫f（の 『 Ipl＞1 Ipl・1． ．lpl．く1 H（j）C1 λ 1 井．C2石 冒」．（ C1 ＋． C2 」 ） ．λ ． 亅’ C聖．cosj θ2十C2sinjθ2 U3・L・） と2実 根 図一2 u−v平面上の特性 根 次解 eAJ， 砺 は，式 （29）．で与え ら れ る6 ・ eb＝ −lken
十h ，2（E）｝H （ノ｝； ． 『 θ』，＝ikc
”十h，且（E）｝H （j
）・・・・・・・・・・・・・・・・・・… ：一一・・（29） 和 分 定 数 C‘〈i＝1，…，4）に関し て回 転 変 位の 同次解 を式 （30）で表す。1
θ，1
＝［T （ゴ）］IC
｝……・・一 …1
…s・……・・…・：…（30） こ こで・ ． ．． ／1［T （」）］＝
［
1
：
lll
l
：
：
1
；
1
：
［
」
，l
l
：
ll
；
］
…∴
（，、）iCl
−［Ci C・C3 CJ7 − ・、・…・…∵・…r− ……・（32）特性 根の性 質に応じ て ［7 ω ］の斉
琴
素 には， 境界か ら減衰す る項あ るい は繰り返し項が現れ る。 2．4．117，β，≠β轟 の場合 （1） v＜0の場 合 ． A ≠1よ り， ［T（j
）】の各要素は，境 界か ら減 衰す る 項であり，式 （33） とな る。． 嚇「
li
欝
iiiii
繋］
T …：……一’t……・・…・・…・……t・ （33） こ こで， ・ ． ．・ 「 ・ PCI； R ， C，十∬cl， e．Si＝ edl十jeCO
， P，2＝ v ！ 蔽 ，e． ，丿＝e。 ，＋ゴ傷。， P，s＝嘛 ， e．3J≡ e，i＋ゴ暖。， ・． ． ， e，り ＝ − e．3十プ砺oteCl ＝＝ tan−1（ICi／Rei）， Ici＝〔一βaρTi十βsA ）sin e． 。， ． e。、＝tah− ’ 〔− 1，、／R。 、）， 1。，＝（βiA −
fi
、pr ’ ）．sin・ec。， −23
一ecs；tan一鹽
（1．／Rc3）， Ics ：
fii
｛凸 一ρ1 i｝ sin eco，RCi＝β4＋（βsPli ＋β，A｝COS e．。，
Rc2＝ β4十（β3A 十βsρ「t＞COS eco， Rc3＝hc、1＋β、（A ＋ ρi ’ ）COS e．。・…・……・・…・（34） （2） v＝ Oの場 合 u の絶対 値に対 応し て， ［T（
j
）］の各 要 素には， 境 界 か ら減 衰する項 ある い は繰り返し項が現れ る。 （イ） lul＞1の場 合 ［Tω］＝ 一κ T ［2（λ1）λI
Kn （λ匚）λ｛ −lk
｛ 2（λ1）十jK
，，（λ，）｝λ｛1h1
，（λ，）→ 一 ノK，，（λ［）｝λ｛ 一K轟（λi）λ「’ −lhrr
〔λ 1） 十ノκ麗〔λ置）i
λ1 ’ κ嶺（λ1）λ「’lh
霊’（λ，） 十ゴK嵩（λ，）1
λIf ・… t・・・・・・・・・・・・・… 一一一一・・・・・・・… ‘（35＞ こ こ で，κ‘丿（λ），h‘、（λ）は，式 （2）の E に λを代 入 し たもの で あり，上添 字’は，一λ一i とλ’iを 置 換し た式 を表す。 （ロ ） Iul＝1の場 合 ［T （jn
； 一KL2 丁 （λ1｝λt
K11（λ，）λ｛ −lh
｛，（λ1）一｝一ゴK，2（λ】）｝λ｛ ノκu （λ，）λ｛ −lh
，，（λ1＞十 2ノん12
（λ1）lk
． （λ［）十ゴ tK ，、（λ 1｝｝λ｛ 十ノ2K12 （λi）｝λ｛ −ik
： ，（λ，｝→−3ノな轟（λ，）13
ゴhtt（λ1）十ノ 3 κ嶺（λ1）｝λ｛ 十 3j：h ｛2（λ，）十ノ 9Kl2 （λ麕）1
λf
・一一一・・・・・・・・・・・・・・・・・… 一・・・・・・… （36｝ （ハ ） lu［〈1の場合 ［T（ノ）］＝1
蒙
轍
獻
鯲
撫
離
］
r ・…・……・…・…・・………（37） こ こで， Pm＝》蹶 ，偽ノ＝etl＋ノ亀。， Pn ＝》鷹 ，娠∫盡妬 十ノθ己。， ρ凶r 幅 ，娠尸 傷 十ノe． 。， 傷．＝幅 ， θz‘，＝佐4十ノ醪。， e．1≡ tan−i（ltl／R2】）， e2＝tan、i（ln／Rn ）， en＝ tan，［（ln／Rz3）軍 0 ， 磁＝tan一旦（1．／R。、）＝π／2， RZi＝ β、＋（β，＋β，｝COS e、 。， R．＝〔一β，＋βs）cos e． 。， Res＝iCCH十 2βl cos 亀ひ ， R創 ＝O， 1． ＝（一β，十β5）sin 亀o， In＝（β3十β5）sil ez。， − 24 一 表一う T（j
）］の各 要 素 lp11＞1lp1i
・1 ip麁i〈1 a1（j） 一K12（ λ麁〉λ1」 一Kl2（λ 1》λ 1j 一ρ。lcos θ，1」 a2 （」）一Kl2’（λ1＞石 冒j 一｛k12 ’ （為 ） ＋jK匸2 （λ 1 》｝λ竃j 一ρ 91sin θ，1j b！（j） Kl1（ λ麕》えl」 K且1 （λ麕》λ1」 ρ33COS θ53 」 b2（」） K11’（11 ）λ1疊j ｛k11’（λ1） ＋jK11（為 ）｝λ 1j ρ93sin θ。3j 1P21＞1 lP21・1 lp21く1 a3 （」） 一KL2（ユ3）λ3」 一Kl2（孟3）ユ3j 一 ρ。2COS θ32j a4 （j）一K12幽（λ3）λ3−j 一 ｛k12 ■（λ3 ） ÷jK12（べ3）｝λ3」 一ρs2sin θ。2j b3（j＞ Kl1（ λ3 ）λ3」 x11（λ3）λ3」 ρs4cos θ。4j b4（」） Kガ （λ3）λ 3曹j ｛k11’（λ3） ＋jK11（之3 ）｝λ3」 ρ。4sin θ。4」ln；O，1．＝2β， sin e20…………・・・… ………（38 ）
（3 ）v ＞0の場 合 ρ1，Pzの絶 対値に対応 して，［T （
j
）］の各要 素には， 境 界か ら減衰す る項あるい は繰り返 し項 が 現れ る．［T （ノ）］の各要素を表一5に示す， こ こ で， ρ81＝》7
研 ，esv＝＝ esl十∫θ匚， PSt＝ R8z十lk ，島2，＝仇2十j
砧， 伽 ＝ v7蔽 ， e．3j＝ ess十ja
， PSI； R34十134， e．4J＝ es4十ノ6も，eSl ＝ tan−1（ISi／RSi）
， es2＝tan− 1 ｛IS2／Rs2）， e。、＝ tan ” （1．／R。、）・＝O， e．，＝ tan −’ ｛1』、／R。、）；O， RSi＝＝β ‘＋（β，＋β5）cos e，， RSi＝
fi
．＋（β，＋β5）COS ＆， Rs3＝＝hcn十 2βl cos 易， Rs4＝kc” 十 2β匸cos 砧， ISi＝ （一β3十βs）S血 e ，，1』2ニ（−Bs
十βs）sin 砧， Iss＝0， 亅』，；0・・・・… 一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （39） 2．4．2 β，fl
，＝β3β5 の場 合 ポ テンシャ ル関 数H （の が定ま る と，回 転 変 位の 同 次 解 砺， 砺 は，式 （29）で与え ら れ る。 和 分 定 数 C‘ （i＝ 1，＿，4）に関して回転 変 位の 同次 解 を式 （40）に 示 す。1
θ丿i
＝ ［T（j
）］IC
卜・一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （40） こ こで， ［Tω ］＝［
α壼
ノ’ αゴ
ノ％
誤
、、］
．…．．（、、、 表一6 ［T（j）］の各要素 lpD1 lp卜 1 lpl（1 al （j＞ 一Kl2（λ1 ）λ】」 一K12（λ1 ）λ1」 一ρslcos θ51 」 a2 （j）一K1ゼ （ λ1）λ屆 一」 一｛k12’（λ 1） ＋jK12（λ：）μ l」 一ρs1sin θsu b1（j） Ku（孟匸）λ l」 Zu （λ 1）滝1」 ρ。3COS θ。3j 加 （j） Ku’G ！）λ1’」 ｛kll’（λ1） ＋ゴK11（λ1 ）｝λ1j ρ，3sin θ。3j特 性根の性 質に応 じ て ［T （
j
）］の各 要 素に は，境 界か ら減 衰す る項あ るい は繰り返 し項 炉現れ る。ρ の絶 対 値 に対 応す る ［T（j
）］の各要素を表一4 に示す。 こ こで， 「 ！・ tt 層・ ρSI＝ R｝，十lg， ， e．11； e．i十ja
， 』1 ρ53＝ 》「jtig
F
，十了喜『， e． ，，ニe．3十ノ醜， e．1 ＝ tan −1 （1。i／R。i）， e。 、； tan −’・ （1。s／Rs、）＝ 0， RSi＝β ．＋（β3＋β5｝（三〇S 6ら， Rs3ニhc、t十2fi、・cos θ』，． ．1 ． ’Isl；（一βs＋βs）sin e，， Is3＝ O∴…・…………・（42 ）
2，5 境 界 部 材の境 界 節 点 回 転 拘束効 果を考慮し た座 屈 荷 重の算 定 法 1 2．5．1 構造単位数が有限個の場 合 ． 図一3に示す有 限 個 （n 個 ）の構 造単位か ら なる平行 弦剛節ラ チス構造の境 界条件式は， 境 界節点にモー−tメ ン ト荷 重が ない こと か ら1 ［K1β ヨθドllmド＝
lo
ト・・・・・・・・・・・・・・… 一・・・・・・・・・… （43） こ こで， ： 1 ［K］s＝［
［K。。 ［0］ ］ ［嗇
］ ［K°°］＝［
a’＋；
錘
［K°’］＝［
鰍
］
， ［Kn 毘一匸］； 〔κoJ 『， ［κ司†
＋ll
＋ ，。思
、 、燃
］
……．（44、 a2 ＋ll
． ai］
， a：．2i
．as亅
＿ ＿ ．．、、、，1
θIH
＝［θ♂θ『θ畧．1θ2T
・…・・…・……・・………（46） ｝mFB ＝［77L♂mM 「一… 一・・7『… ∵・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （47） 上 添 字β は境 界を， d旱，β甼は境界束 材で の値を意 味 する。 同 次 解の和 分 定 数C
‘（JF1 ，…，4） を一般 化 変 位と す ると，式 （43）は，式 （4紛
に攀換で き る。 ［KT］IC
｝＝IOI
・・… r・・r・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… ∴∴・・… （48） こ こで， ［K7］譱［K］β ［T］8 ・・・・・・… 一… ∵・・・・・・・・・・・・・・・・・… （49） ［T］s＝［［T（0）］T、［T （1｝］［T （n− 1）］T［T〔悔朋7 ・・・・・・… ：・・・・・・・・・・・・・・・・… ：・・・… （50） 座屈条 件 式は式 （51）で表さ れ る。 det ［Kr］＝q
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… tt・・… （51）座 屈 荷重 e：．r 式．（51 ）を満 足 す為最 小の荷重で あり， 〔° 。｝ 〔°・｝ 〔°j−・｝ 〔・j】．｛°j・・1 「 ｛On− ・H ・。｝ ｛mo ｝ ｛P1｝ 図二3 ｛mj −1｝ ．｛卑 j｝ ｛皿 」＋1｝ ｛皿n−1｝ 〔％〕 構 造 単 位数が有限 個の平 行 弦ラ テス構 造 対 応する座 屈モ ード
1
θ1
， は，式 （52） 「 で与え ら れ る。1
θL
＝ ［T］ICIh
・… ∴ ：・・・・・・… t・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 』・ （．52） lt ド こ こ で，t
θ｝，＝［θ『［θ『， … ， θ罰 T … ∴’・・… 一・・・・・・・・… （53） ［T］＝［［T （0）］「 ［T （1）］「 ，… ；［’T（苑）］1］T・t・・・・・・… （54） な お，ICI
． は，式 （51） を 満 足 する座 屈 固 有 値に対 応 する固 有モー「ドである・． ．：』 ’ 2，5．2 構 造単位 数 が 無 限 大の場 合 構 造 単 位 数 が 無 限 大の場 合に， 回 転 変 位の同 次解が有 限 値であれば，座屈荷 重と し て意 味 を持つ 。向転 変 位が 有 限と な るのは， 同 次 解が繰り返 し形の場 合 と境 界か ら 減 衰 する形の場 合である。 中間域で の個 材の曲 げ座 屈 振 幅が填界 域に比べ て大き い場 合，座 屈モ ードは，中 間 域で ほげ一様琴繰り返 し形 と な り，回 転 変 位の 同 次 解は，繰 り返．レ形 を含姦でいる。 繰り返し形 毛一ドで定ま る座 屈 荷重が最 小と な るの は， 個 材の 曲げ座 屈 長さ が最 大と な る場 合で あ る。、そ れ は， 隣り合う節点の 回転変 位が異符号で， そ の絶 対値の等し い 場合で あ り，座 屈鍾 は，文献1戸こ示す有効強 度で 定ま る値と な る． 構 造 単 位 数が無 限 大の場 合に，座 屈荷 重が有 効強 度と等し く な る．た め1ごは，境界での回転 拘束 剛性が あ る値より大き く な る 必要が あ る。 そ の剛性値 を 持つ ために必 要 な境 界 束 材の曲 げ剛 性の中 間 束 材の曲 げ 剛 性に対 する比 γの最 小 値 7。r を，本 論で は，限 界 比と 呼ぶ。．ここ で，限 界比 批 は，作用 している晦面 力 成分 間の比 率，な ら びに蘇材， 束 材，ラ チス材 各材間の曲げ 剛 性お よび 長さ の関係に よっ て変化す る。 中 間 域で の個 材の曲 げ座 屈 振 幅が擁界 域に比べ て小さ い 場合， 座屈モ ードは境 界か ら減 衰する形で あり， 回転 変 位の同 次 解は， 境 界 よ、り減 衰する形であ・る。座 屈 荷 重 は，有 効 強 度 よりも小さ く，β1β差β3β5 の場 合には，以 下に示す境界 部 材の境 界 節 点 回転 拘 束を考 慮し た算 定 式 で定 まる。 （1） V〈0の場 合 ．・、 （イ） A 〈1の場合 ［A ｛ρ乙（β3解1一β，fif
）＋ ρさs（β2β7
一β5hS2 ）1
sin ec。 一ρ。、ρ。，［lhf
，he，一（β？＞1
十ρi
（β、β、一β3β，）lsin
（θ。s− e。1） ＋ 凸Q
曾，峨 一β、聞 sin （e。s一θ。， − e． 。）， ＋A （β，解一 β、β7
）sin （e。s ’− e，，＋ θ。。）］］、． ・［A1 ρ二，（一β，κξ，＋β1聞 ＋P2，（一β，βf
＋β、κ羣、｝lsin
θ。 。 一ρc2ρc3［｛− h？7h2 皐十（βr
｝ 2 十ρi
（一β1β2十flaBs
）I
sin （ee：十θCt〕 1 ＋A （一β，h97＋β3β季）sin （仇3＋ θe2＋e．。） ＋A （一β、hfs＋β調9
）sin （θ．、＋θ，、− e．。）］］IO
・・・・・・・・・・・… ∵・・・・・… t−・・・・・・… （55 ） （ロ ） A ＞1の場合 ．，［ρ「IIP 畧2（βshfi 一β，β？）十 ρさ3（βzβ早一β5醪2）
l
sin eco一ρc2ρc30 捕 左羣厂 （β
f
） t＋ ρ「’
（β1β2一βsβs〕
lsin
（−ec3− e． 、）＋Pli（β、 k墅，一β，
fif
）sin （−e』3−e，2− e．。） ＋ ρ「旦 （β，kP，−fie
βfi
sin （− e．，一 e． ，＋e，。）］］ ・［ρ；tl ρ：，（一β、κ翕＋β、β9
）＋ρゑ〔一β調，＋β調墅8冫Isj
皿 e．。 − PCiPc3 ［1
− ke，k7，十（β蔚 2 ＋ρ「2（一β、β，＋βsβ5〕｝sj皿（一 eCl＋e ，、） ＋ ρ評 （一β，k：，＋β3β櫛sh1 （一 e．3 ＋e．1＋ e，。） ＋ ρr’ （一β、h？e ＋β，βr
） sin （一・e。 、＋e，、− e．）］］＝ 0 ・・・… ’t・・・・・・… ■・・・・・・・・・・・・・・・… （56） （2 ） v＝Oの場 合 （イ） ）λ，1＜1の場 合 ［IK
，，（λ，） t （一β、β7
＋β，h孛、》 ＋K、、（λ、｝ tCigzBf
一β ，h塁，） − Kll（λ1）κ11（λ，）lh7
，β2−fi
［ hS2十βf
（fl3
−Bs
）ll
λ， 十IK
，，（λ1）h；a（λ1）− Kn （λ，）k｛，（λi）｝ ・1
（k9 ，十fi1
λ1）（hA十β：λ1）一〔βf
十β3λ，）（βf
十β，λ，）日 ・ 口κ監（λ 、） z （β、β2
一β，κ罫，） ＋K 書（λ1）2（一βメ曙＋βsた至s） − K盖（λ、）κ盖（λ、）協鎚、一β2左罫7＋βf
（β，一β，）｝i
λ1 十IKr
，（λ虹）産弩（λ1）− K轟（λ重）hl， ’ （λi）1
・1
（κ島＋β 且λ且X
ん島＋β2λ、）一（β罪＋β3λ、X
β，＋β5λ1）口＝ 0 ・・・・・・・・… ？・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （57） （ロ ） 1λ，1＞1の場 合 ［IKr
，〔λ】） t （一β、β旱＋β，k早、〉 ＋ κ賽（λ、） 2 （fi
，B2
−fi
，h羣，） − K梅（λ且）Kr，（λL）脆名β2一β，h，十β2
（fi3
一βs｝｝λr ’ 十jKr
，〔λ1）ん摎 （λ置）一κ姦（λ，）た霊 ’ （λ，）1
・1
（産君、＋β，λrl）（h墅，＋igzλi’）一（βf
＋19s
λ「’）（βi
＋βsλi’）｝］ ・［IK
、2（λi）t（β，βを一β， k ；，） 十Kll（λ匚＞ t （一βzP身十β3h78） − K，，（λi）Kl1（λt）lh
？，β，−fl
，h島＋β罪（β3一β5）ll
λli 十IK
，1〔λ1）k：，（λ巳）− Kn （λ匚）k｛，（λ1）｝ ．1
〔h星，＋β，λli）（κ旱呂＋β，λ 一11 ｝ 一（β駐＋β，λit）（βr
＋β5λ「 ’ ）｝］＝ o…・……・…・…・…（58 ） （3） v＞0の場 合 （イ） 1λi1 〈1， 1為1〈1の場 合 ［IKie
（λ，）K、t（λ3）（β1β9
−fiskfi
） − K ，、（λ，）Kn（h）（β孝〜ξ一β5磆2）｝（λL− h｝ − Kn（λ、）Kn （h）1
（h§、＋β，λ，）（h墅，＋β2λ3） 一（β7
＋β，λ、）（βf
＋β、λ3）1
− Kl，（λ去）K，、（λ、）1
−（彦名＋／7，λ，）傭塁2＋β2λ，） 十（β？十β3λ，｝（βf
十β5λ，）旺 ●［IK
轟（λL）K轟（λ3＞（β1β穿一fi
，h琴，） − Kr，（λ鹽〕K言（A，）（fi
，Bf
一β，he，N
（λ1一為） 一κ轟（λu）K査（λヨ｝1
（碍7十fi
，λ，）（磧』十βtλs） 一（βf
十βsλ3）（βr
十fis
λi）｝ 一κ轟（N
）Kfi（λ，｝1
−（陀羣7＋β、λ3）（hfs＋β2λ圃） 十（β野十β3λ、〕C
β？十β、為）日＝ 0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （59） 一26
一 （ロ ） 1λ，1＞1，lhl〈1の場 合 ［IKr
，（λ1）K1，（λ3｝（β、β旱一β，h甼，） − K嵩（λ、）Kl、（λ3）（β諠 一β、瀦2）1
（λ1’一λs） − Kr，（λ，）K，，（λ3）1
（解1十β1λ「 巳 ）（醪2 十βtλs） 一（β詈十β，λii＞（β夛十βsλ3N − K、t（h）κ賽（λ1｝｛一（h
？1＋β、λ，）（罅2＋β，λlt） 十（β7
十β3λ3）（βf
十β，λ評）1
］ 。［IK
、z（λ匸）K 螽（λ3｝（β、βf
一β，h；，） − K，1（λ1）κ晝（為）（βafif 一 β3海靠8）K
λ 一1 且一λ3｝ − Kn（λ，〕Kt，（h）1
（左島＋βiλr1）〔h皇s＋β，為） −u
β？＋β，λ，）（β穿＋βsλi’）｝ − K姦（λe）Kii（λ、）｛一（罅7＋β、λ3〕（k7s＋β2λr1） 十（β罪十βsλ「i）（β早十β5λ，）1
］＝O・…・……・・…・……（60） （ハ ） iλ，i〈1，1λ，1＞1の場 合 ［IK1
！（λ匚）K叢（薦）（fi
，β？−fi
，h？，〉 − Kll（λ， ）Kr
，（λ3）（β調号一β5耀2）1
〔λ，一λs −i ｝ − Klt（λ、）K査〔λ3）Khf
，＋β，λ，）（hS，＋fi2
AS − i） 一（β穿十βsλi）（β9
十β5λ≡Fi）｝ − K轟（愚）K、、〔λi）1
− （鳶ギ、＋βL惹 1 ）（醪3＋β2λ、） ＋（β野＋βs as一り（βf＋β5λ，）｝］ ・［IKr
，（λi）Klt〔h）（fi
，β9
一β5ん塁7〕 − K名（λ，｝K置置（λ3）（βzBf 一βsle2s）1
（λ， 一 AS − i｝ − K 姦（λ｝）Kn （為）K
産罫7十β［λ1）（ん28
十β2λi −i ） 一（βf
十β9sλ1’ ）（βf
十1？sλi）｝ − K，2（λ，）K盂（λ，）1
−一（k？，＋β、λs ＋i）（hge ＋β，λ，） ＋（β旱＋β3λ、）（β掌＋β5λゴ）｝］＝ 0 ………・・…（61） （二 ） Mii＞1， Ikl＞1の場 合 ［｛κ轟（λ，）κ養（為）（β，βk ＆hD − K言〔λ，）K査（λ3）（β，B
至一β，hS，）i
（λi ’− A1一’ ） − K轟（λ、｝κ藍〔h）｛（hf
、＋β、λ7う（ん品＋flz
λs −’ ） 一（βf
＋fii
λlt）（β季＋β，λ≡Ji）1
− Kr，（λ3｝κ藍〔λ1）｛一（解1十β1λζ 鹽 ）（麗2十β，λli） ＋（β詈＋β3λ計）（β野＋β5λi’）1
］ ●［IK
，2（λ，）K…2〔λ3xβ轟β詈一β5左塁7〕 − Kl1（λ1）Kll（λ3）（β調早一β3左羣8）K
λri一λ≡「1） − Klt（λ1〕Kll（為｝1
（ke，十fi
，λii）（kfs十β2λ∫ 重 ｝ 一（β早十β3λ『 巳 ）（β野十β5λ「 コ ）1
− K，2（h）KLL（λ，）1
−（罅7 十flt
λh −1）（kfu十 β，λIi） ＋（βi
＋β3λli｝（iy9＋fis
λi −’ ）｝］＝0……・・……・・…… （62） こ こで， kf，＝α、＋αf
＋α 5， 耀尸 α，＋α、＋α？， κ窰7＝旨α1十α s十αf
， 産羣』≡at 十 a7十α s・・・・・… t・・（63＞ 3．数 値 解 析 例 3．1 解 析 対 象 物の形状 本 論 文で解 析の対象と す る平行弦 剛節X 型お よびN 型 ラ チス 構 造の形 状と支 持 条 件を図一4に示す。 弦 材と 斜材の な す角度は 30°とし，各 材の断 面 積，断 面2次モ ー メン トは，共 通と す る。また， 作 用 荷 重 を図一5に，断003 ｛ 003 一 弦 材 一 束 材 一 斜 材 ．理 ラ テス ，
N型ラ チス 図一4 解 析ラ チス 構造の形 状と支持条件 P／2 P12
↓
↓
回
荷重 タ イ プ N P P↑
↓
回
荷重 タ イプ M 図一5 作用荷 重 M笠
口
図づ 断面 力 ’ 表一 7 一様な繰り 返 し形モご ドか ら定ま る有 効 強 度 Ns／NE Q＄／QE 匱s ／H∈ 牌．＄〆NE 恥／QE 匿s／薑E Q（O Q＞O X型 ラ チス 2．09 3’．38 ．2．56 卩 N・型 ． ラ チス 2，．18 3，242 ．93 2、32 表一 8 厳密解法に よ る値P に対す る提 案 手 法による値Pbの比 構 造 単 位 数5 x…甦ラ テ ス構 造 ← N型ラ チ ス 構 造 荷重 タィブ ・r 1P／P∈1Pb ／PEPb ／PP ／PEPb ／PEPb ／P
N ト O．1P ・51 ．o 1．872 ，092 ．1b ．1，・872 ，09’ 2，15 1，001 ．001 ．00 1．872 ．132 ．21 1、872 ．132 ．21 1．001 ，001 ．06 職 0．10 ．51 ，0’ 2，442 ．562 ．6．1 2．442 ．562 ．51・ 1・091 ，001 ．00 1．
692
、262137 1．892 ．26 ’ 2，37 1．001 ，001 ．OO 面 力を図一6に示す。 節点移 動を 無視 し た 差 分方 程式の 同次解に，境界部 材の境 界 節点 回 転拘 束を考慮 した 数 値 解析の 対象はt．構 造単倖数3， 5， 10，。 。 ， 中間束 材に 対す る境界束 材の曲 げ剛牲の比 γ＝0，q
．1，0．5，1，10 と し， 線形 分岐 座屈に対す る厳 密 解 法に．Sる解析 を行う の は， 構造 単 位 数5， γ＝O．1，0．5， 1と する。 3．2 解析 結 果 ・、 ほ かの断 面 力が存在し ない場合， ピン節ラ チス 構 造に お け る個 材の オイ ラー座屈で定ま る有 効 強 度 N，，M．，’Q
．に対 する，2構 造単位ご と の一様な繰 り返 し型モ ー ドか ら定ま る有 効 強 度1｝・9 ） Ns， M 、，Qs
の比を表一7に 示 す。 表一8には，ピン節ラチス構 造の座 屈 荷 重に対す る，剛 節ラチス構 造め線形 分岐座屈荷重の厳 密解 法での 値の比と， 節 点 移 動を拘束した本算定法による値の比を 示し， さらに精 度 を確 認す る意味で， 厳密解法に よ る値 に対 す る 本 算 定 法に よ る値の比 を 示す。図一7か ら 図一 9に， 境 界部材の境界節点回転 拘束を考 慮し た本算 定 法 に よる弾 性 座 屈 荷 重 N ，M ，Q
と構 造 単 位 数の関 係を 示す．な お，図中の○，● 印は解析 結果を示す。ただ し， ○ 印は γの値が rerの場 合であり，有 効 強 度を示す。 こ こ で，N 型ラ チス構迄にせ ん断 力が作用す る場合の値は， 図一4に示す境界の支 持条件に対する結果で あ る。表一 9に， 2．5：2節で定 義し た限 界比 7erを示す、構造 単位 数 5の場合につ いて， 本論 文で提 案し た方 法に よっ て得 ら れ た弾 性座 屈モードを 図一10に， 弾 性 座 屈 荷 重 を 図 2 ．鼕
’NE
2 ．18 2．0 γ＝10Q 、 丶 丶 、 卩 ℃」、死
滯
ri
雲
漆
了＝0．5燭レ ’ 1．5 N／NE 2．5 』 トー一一｛トー γ＝O。1●！ ’ ，4卜一一一r“一 γ＝Oe ’ 一 一一● 一一一● 一一一■ unit 3 5 10 00 図一7（a）X型ラチス構造の N／Alε一構造単位数関 係 2 ．092 ．0 1 ．5 γ昌10q＼
＼ 、
回 ・o歌 、 朕・ 、 、＼ 、、 ．＿ ＿ 。＿
こ
±
ミ
溢
γcio ・50 図一7（b） ，” γ＝0 。1● ’ γ＝Oor ＿｝ 一 ，●一一一 ノ．ひ 一一一一◎一一 ’ ’ 3 5 10 co N 型ラ チス構 造のN／Nε一構造 単 位 数関係 一 27 一
QlqE 3．5 ・・38
譲
業
・r
−8
・… 一 ・・一一 γ＝1．OO −一一一くレ讐一一一一一●一一 γ＝O 。50 −一一一ひ 雪靦尸■層●一■ 3．0 γ富0 ．1●一一一一← 冒一¶一← 一 ，−4トー一一一｛レー γ冨0 ◎ 一 2．5 つ ゜ ● 一 薗 図一8（a） Q！QE（Q〈0｝ 3．5 3．24 一 γc＝ ’1・59 3．0 2 。S 図一8（b） 3 5 10 co X 型 ラ チス構 造のQXQ
．一構 造 単 位 数 関係 γ胃1？8
＝ ＝ 担 黔4 一 γ昌1 ．0ひ 一一→ …一一一●一一 γ＝0。5｝ 一一一●一一一一｛卜 γ＝0。10 − 一一〇一 一一→ レ『 一ひ 一一一一一｛トー γ冒0◎ −t ● 呻 一 ● 幽 一 3 5 10 00 N型ラ チス構造の Q／Qe
一構 造 単 位 数関係 （Q〈0＞ 表一9 限 界 比r。。 N Q M 層 Q H Q（O Q＞0 X型 ラ テス 0．502．370．50N 型 ラ チス 0．77 1．59 1． 64 0． 77 一 28 一蒲
2。O 1。o t o 3 5 10 00 図一8（b）N型ラ チス構 造の Q〆Q．一構 造単位 数 関係 （Q＞0） γ＝0 0．1 0。5 1．0 10 T＝0 0。1 N 50 ・ く OQO 冨 γ 010 ・ 15 ・ QO1 ・ O0 ＝ γ γ＝e O，1 図一10（a） 0．5 1．0 10 MX 型ラチス構 造の 弾 性 座 屈モード 5 ・ NO ／ ／ 01 1。0 10 0。5 10 Q＞0 T＝0 0．1 0．5 1。0 10 M 図一10（b） N 型ラチス構 造の醗 座 屈モー
ド
5 3．0
2．562 ．5
L 引 ．． 2。0 t 図」−9（
ti
｝ 文型ラ チス構造の M／M ガ構 造 単 位 数 関 係 層F 2．5 2．32 MtMil 2．0 1．5 γ＝loq 、、、 ＼
追
1．6i
、、厭 ＼ 、 ．≒ ＿ ｛，．（〉一 ．辱
ニ ー三
奪
・ ．Vcr＝o・77一
一．・●一一一一一｝ 一 γ＝O。5 ． ． ’t I γ昌o・1ぴ 一一．鳶
7
厂二1章
r ト ．』 ． 層 1尸0
●一鬯營争 ．一一一響◇ 3 5「 10 図一9（b） ．N 型．ラ チス構造 のM ／〃ド構 造 単 位 数 関 係 τ11凋 一興
示 す・鹵一・・・図一13・纏
屈碓 を・ 』 断面力1ご置換し， 断画力につ い て の強廉
と し て表 しだも の で あ り，図一11は，IVINE− M ／M．−Q
／Q
，空間に表 され た 7ニ0．5の 場 合の強度を，図一12はQ
；Oにお け るN／N，− M ／M．面に表さ れ た 強 度 を恵味する。．図 一10 に おい て，破 線は原 形 状を，実線は座屈 モードを表 す。 図一11 ，図一12に お い て，破 線は，ピン節ラ チス構 造 における個 材の オイラー座 屈で定ま る有効強度 を示す。 な お解 析 結 果を表す 図におい て，（a）は，X 型ラ チス ．図一11（a） γtO ．5の場合め 1V／N．−M／M ．− Q／Qじ空間に表さ ’ れ た・X型ラチス構 造あ強度 N’ME 図一11（b） γ＝0．5の場 合の N／N』−M／盟广 Q／Q，空 間に表さ れ た N型ラ チ琴構造の強 度 10 「N ノ鞄 Lo 邑 3 ． ▼月O．5o ．10 ． 1 ノ ！ ’’’ ’ 丶、、 丶 、 h Mノ ，5 一4 ’ ’一2 ／■1 ’ ’ ノ ！ ’ ’ ダ’’ F 0 1＼、 −1 丶、 、2 、、 、 、 、 、 、 、 、 、 4’ 唱 5 一2 図」 12 （ti） Q ＝0にお け るN／Ns−M／雌 面に表さ れ たX型ラ チス構 造の強 度 皿ノ国E 、 10 3 ． Y＝0．50 ．10 1 ． ’ ！ ，’． 广「’ ’ 、」 、 、 丶 、 』’凱 一5 −4 73 ’ F／−1 厂 ’ ダ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’‘’ 」 0 ゴ・、 己 一2 、 3 丶丶、 丶 、 、 、 丶 、 、 、． 45 図一12（b） Q＝Oに お ける N／飾一M 〃fε面に表された N型ラ チス構 造の強 度 一29
一構 造 を， （b）は， N型ラ チス構造 を示す。 4．考 察 平行 弦剛節ラ チス構造の個材の曲げ座 屈で定ま る弾 性 座屈荷重につ い て，境界部材の境界節点回転 拘 束を考 慮 し，節点移動 を拘 束し た本 論で提 案 した算 定 法による値 は，原 形状か ら の線形 分 岐 座 屈に対 する厳 密 解の値 とほ ぼ一致 して いる。 本 論で提 案し た上記 算 定 法に よ る， 中 間 束 材に対する 境界 束 材の曲げ剛 性の比 γ の限 界 比 7erと弾 性 座 屈 荷 重，弾性座 屈モードには，以 下の関係が ある。 1） γ の値 が γ。．よ り大 きい 場合には，弾 性座屈モー ドは， 中間域でほ ぼ一様な繰 り返 し形で あ り，境 界に向 かっ て減 衰す るモ ードと な り，弾性座 屈荷重は，文献 1） の有 効 強 度よ り高い値 を 示す。構 造 単 位数 が多く な る と， 座 屈 荷 重は減 少し， 有 効 強 度と ほ ぼ等し い値と な る。こ の ことか ら， 文 献 1）で算 定さ れて いる， 一様な繰 り返 し形モ ードか ら定まる強 渡に当た る有効 強 度9） は，γ の 値 が7crより大きい場 合に は， 工学 的に有 効で あ る と い え る。 2 ）境界束 材剛性の比 γが限 界比 7crの場 合，弾 性座 屈モード は一様あ るい は，ほ ぼ一様な繰 り返し形に近く な り，弾性座屈荷重は，文 献 1）の有効強 度を下 回ら な い。た だ し，節点の移 動 が 境 界の近 くで起 き，全体座 屈 が 生じ ない場 合に は， 次の こと が言え る。 腹材の配 置 形 式が左 右 非 対 称で ある N 型ラ チス構 造の場 合，限 界 比 で の座 屈 荷重は，有 効 強 度と等 しい かご く わずか に小さ く な る。 これ は，境 界 部 材の境 界 節 点 回転 拘 束が有 効 強 度の座 屈モードに対応す る境 界 条 件に合致せず，節 点 移 動が わずか に生じ たこと を表す。 3） γ の値が r． ．よ り小さい 場 合，弾 性 座 屈モ ードは， 境界か ら減衰す るモードと な り，弾 性 座 屈 荷 重は，文 献 1 ＞の有効強度より低い値を示す。構 造 単 位 数が多く な ると，座 屈 荷 重は漸 増 するが， 有 効 強 度よ りも低い， あ る一定の値 を示 す よ うに な る。 5．結 平 行 弦ラ チス構 造 物の個 材 座屈荷 重 算 定 法と し て， 節 点移 動 を 拘 束し た近 似モ デル を用い た近 似 解 法 を提 案 し，境界部材の境界 節点回 転 拘 束を考 慮し て解く と，そ れ が実 用上十 分の精 度で あ ること を示し た。 次に提案解法 を用い， 平行弦剛節ラ チス構 造の境界部 材の境 界 節点回 転 拘 束が個 材の弾 性 座 屈に及ぼす効 果を 検 討 する た めに，構 造 単 位 数が無 限 大の場 合に座 屈 荷 重 が有効強度に等し く な る た めに必 要な境 界で の回 転 拘束 一
30
一 剛 性の最 小 値を表す限 界 比の概 念を導入 し，提 案 式の適 用 範 囲におい て以 下の性 質を得た。 1） 境 界で の回 転 拘 束 剛 性がある値 よ り大，す なわち 境 界束材 剛 性の限 界 比に等 し いか大きい場 合に は，座 屈 モ ードは， 同 次解の減 衰 項と一様な繰 り返 し項の線 形 和 であり，中 間でほ ぼ一様 な 繰り返 し形 と なる。その座 屈 時の 断 面 力の値は，一様な繰り返 し形の場 合に当た る有 効 強 度 を下 回ら な い。 2） 境 界で の回 転 拘 束 剛 性がある値よ り小， す な わ ち 境 界 束 材 剛 性の限 界 比よ り小さい場 合に は，座屈モ ード は，同 次 解の減 衰 項で定ま り， 境 界か ら減 衰する形とな る。 その座 屈 時の 断面 力の値は，有 効 強 度 よりも小さい． 本 論文で取り扱っ た個材の曲げ 座屈で定まる弾 性 座 屈 に対す る ラ チス構造の設 計に おい て は，境 界で強 度が定 ま る こ と は材料効 率が低いの で，境 界を十 分に補 剛し， 中 間 域で強 度が定ま る よ うにす る方が好ま しい．こ の場 合，弾性座 屈荷重の算定に 連続 体 類 似法で の有 効 強 度を， 実用 上適用す ること ができ る。境界で強度が定ま る場 合， す な わ ち γ の値が γ。． よ り小さい場 合，提 案 方 法に よっ て弾 性座屈 荷重 を検 討す るこ と がで きる。 参 考 文 献 1） 日置 興一郎，村上益美，村田 雅 枝 ；平 行 弦 剛 節 ト ラス 柱 の構 面 内 弾 性 座 屈 荷重の算 定 法，日本建 築 学 会 論 文 報 告 集，第346号，pp，51−59，昭 和59年12月2） Thein Wah ：The Buckling ol Gridworks ， J． Mech ．
Phys． Solids， Vo且．13， pp．1−16，1965
3） Forman， S．，Hutchinson，
J
：Buckling of ReticulatedShell Structures， Int． J． Solids St川ct爬s，1970， Vol．6，
pp．909−932
4） 日置 興一郎 ：繰り返し 形 ラ チス構造 物の繰り返し形モー
ドの弾性座 屈の解 法，日本 建 築 学 会論 文 報告集，第343号，
pp．6Z−68，昭和59年9月
5）Bleich， F．：Buckling Strength of Metal Structures，
McGraw −Hilt， New York， pp．268−301．1952
6） 日置 興一郎：妻壁で単純支持さ れ た円筒シャーレの振 動， 日本建 築 学 会 論 文 集，第52号，pp．49−55．昭和 31年3
月
7） 例え ば，藤 本 盛 久，ほ か ；座 屈 論，建築学体 系12，彰国
社，PP．302−324， 1960，6
8） Heki， K．， Habara， T．；Introduction of Parametric
Function into Analysis ef Elastic Plate， Proc．15 th
Japan Nat． Cong． Appl． Mech．，pp．1−4，1965 （1966）
9＞ 日置興一郎 ：個 材の弾 性 座屈 で定ま る剛 節ラ チス構 造の
有効 強 度，日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集，第325号，pp．1−8，
SYNOPSIS
tt tt t. t ' UDC :･624. 014.2:624. 042:539. 384
ON
THE'EFFECT
OF
BOUNDARY
MEMBERS
ON
THE'ELASTIC
MEMBER
BUCKLING
LOAD
OF
PARALLELCHORD
RIGID-JOINTED
TRUSSES
by Dr,KOICHIRO HEKI, Professor ef Osaka City
' sity, MASUMI MURAKAMI, ResearchAsseciateof Osaka
,･ City Universjty,and HIROYOSHI TAKADA, Hitachi
ZosenCorporation,Members of A. I.J.
Thispaperis'concerned on the effect of boundarymembers on the elastic member buckling of parallelchord rigid-jointed trussesand on therequired rigidity of boundarymembers toholdthe effe¢tive$trength ef thetruss
determinedbytheelastic member
buckling.
, . '-･ ''To treat the problem simply apd analytically, an approximate method ispresentedby using a.mathematical model where the nodal translationisignored. The bifurcptionbucklingfromthe uniform oTiginal shape of pre-buckli-ngstate isonly treated. 'Then,the bucklingmodes are expressed inthe fgrmof the line4rcombi･nation of the,homogeneous solutions of'difference equation. The types Qf the solutions are determinedfTomthe Toots of the '
' characteristic equation inthe periodicor decreasingformsdependingen thestructyre and stre$s state. '
t .
The main conclusions obtained are as follows, ･ '. '
1) The validity of the presentedmethod isverified bythe comparison betweenthe value obtained bythis '
rpethod,apd
thatbythe.exact method for.!heelastic member, buckling･bifurcat,edfromthe original configuration.2) Within thepresentedapproximate method, the effect of boundarymembers,on the elastic
paember
buckling of paratletchoTd rigid:jointed trusses iseleared by the introductionof the concept of critical rigidity of theboundarymember: ･ ,.･･ ･ . ,.･., i
'
'If･the rigidity af the boundary member islargerthan the value depending on the coihbination of sectional for-ces, the elastic member bucklingstrength interrnsof sectional forcesof the truss isnot smhller than thevalue of the effective strength'. The effective st[ength isdefinedas the lowestb"cklingstrength of repetitive modes with-out macro-deformation, and hasthe mode of repetition of two structural units.. SQ inthis paper, the minimum rate of thetigidity of boundaryweb members mentioned above tothat of non-boundary web members isclefined as thecritical valve. Then, the effeci of the boundary member on the elastic member buc.k!ingis classified and
explained,as follows, . ' '
a)･ In'casethe rotational･;estraintrigidity ef boundary
joints
isnot srnaller. than that of criticalvalue, the value of macroscopical sectignal forcesat buckling state isnot s,maller than thatof the effectiye strength. ThebuckLing
･inodeisconstituted with repetitive and decreasingtypetermsof thehomogeneoussolutions, hndisre-petitivetype intheiniddleportionQfthetrus$.
b) In case the rOtational restraintlrigidity of boundary
joints
is smaller thanthat of critical value, the.value ofthe sectional forcesal bucklingstate issmaller than that of･the effective strength. The bucklingmode is
dec[eas-ing fromboundaryand isconstituted with decreasingtype termsof thehompgeneous,solutiQns.
' From a view pointof material efficiency, itisbetterforthe trussto buckleinrepetitive mode all oyer the
whole structure than tp.bucklei4narrow boundaryportionsatthe lowerload.Incase the
boundary
portions･arestiffened enough, the effective strength forcontinuum analogy method isapplicable tothe calculation of the e14s-tic buckling load.Incase the strength･is determined by elastic buckling at.boundary portions,the elastic
buck-lingloadcan becalculated bythe presentmethod,
,., t/ t / ttt t ' tt tt ' . / ttt t t tt t -31-'
