三方向二層立体弾性接合トラス平板の弾性座屈で定まる曲げ有効強度

(1)

NII-Electronic Library Service 【研究論文

1

UDC ：624

．

023

．

85 ：624

．

04 ：624

．

075

．

2 日本建築学会構造系諸文報告集第 349 号

・

昭和 60 年 3 月

三

_{方向}

二

層立体

弾性接

合

ト

ラ

ス

_{平板}

の

_弾性

座屈

で

　　　　　　　定

ま

る

_曲

げ

_有

効強度

正会員正会員日

　　置

阿　　部

興

一

郎

＊

眞　　

也

＊＊　

1．

序

二層立体トラス平板の力学的性状を大づかみに知ろうとするときに_，同じ構造ユニットが連結して組立てられている場合には

，

形状の繰り返しという法則性に支配されて構造物が挙動する性質を利用して

，

性状を連続体形式で表示することにより

，

構造物の力学的性状を巨視的に把握する運続体的解法がある1 〕。このうち構造物の巨視的な剛性と強度を，それぞれ有効剛性

，

有効強度と呼んでいる

。

そしてこの方法は

，

構造計画段階において

，

構造物の全体座屈には有効剛性を

，

また個材座屈には有効強度を用いて

，

より簡単に全体の_{力学的性質を把握}できる点で

，

有用な解析手法である

。

その中でも個材座屈で構造物全体の強度が定まる場合が多い二_層_立体トラス平板の_{耐力算}定には_，有効強度が特にその効果を発揮する

。

二層立体トラス_平板の個材の弾性座屈で定まる有効強度に関して

，

接合部をピン節とした場合の有効強度はすでに発表しており2｝

，

また取り扱いが比較的簡単な直交二_方向二層立体トラス平板については，接合部が剛節の場合3や

，

接合部の大きさと接合剛性の影響を考慮した場合4 ］について発表している

。

しかし他のタイブの二層立体トラス_{平板}については_，剛節の場合や接合部の大きさと接合剛性の効果による性状は

，

まだ検討されていない。　そこで_本研究は_，すでに提案している繰り返し形ラチス構造物の繰り返し形モ

ー

ドの弾性座屈の_解_析理論5｝_に基づき

，

広く使われて

’

いる二層立体トラス平板の

1

つである三方向二_{層立}_体トラス平板の

，

個材の弾性座屈でその強度が定まる場合の有効強度について論じる。そしてこの有効強度に

，

接合部の大きさと接合剛性の影響を考慮して

，

剛節トラスやピン節トラスも含めた形で，三方向二層立体トラス平板の

，

弾性座屈で_定まる_有効強度の性状を明らかにする

。

廓 _{大阪市立大学　教授}

・

_工_博軸 _{大林組} 　〔昭和 59 年3月19日原稿受理日

，

昭和 59 年 10 月11日改訂原稿受　理日

，

討論期限昭和 60 年6月末日1

2．

記　　号　　［刈

，

［

B

］：ずらし演算子を含む行列

a，

b

：節点

A ，

　B を示す添字　　　m ，n ：整数で

，

離散的座標を表す　　［

C

］

，

［

C

‘］：弾性係数マトリクス（添字は部材番号）　　　　 CA ：_{弾性曲}げ回転ばね定数　　

Id

｝，

ld

‘｝：変形ベクトル

　　　　 E

∫：ずらし演算子（添字は斜交座標軸の番号）　　

E

∬，

EI

，：曲げ剛性　　　　

GJs

：ねじり剛性　　　　　

h

：二層立体トラス平板のせい　　　　　

J

：

Saint

−Venant

のねじり定数　　　　 K ：ずらし演算子を含む剛性行列の_要_素　　　　

1

，

ls

：節点間距離　　

IMLIM

‘

1

：応力ベクトル

M

、t

，

M

‘。、

．

Mt

，e

，

M

、。，，　M、H。：部材座標系での材端モ

ー

メ　　　ント

M エ

，

My ，

Mxy

：等価断面力　　　　 N，：部材軸力　　　　 W ：_{添字扱}いでウェブ材を意味する　　 X

，

y

，

　Z ：全体座標　　 tc

，

す

，

2 ：部材座標　　　　

1

弸

i

：外力ベクトル

α

，

β：座屈撓角法の係数で軸力の関数（いわゆ

　　　　　　る Livesley℃handlerの

Stability

Func・

　　　 tion）　　　　　ζ：繰り返し性を表す座標

　　　　　e

：ウェブ材とx

−

y平面のなす実角　　　　

1

θ

1

：_変位ベクトル

λ，：節点間距離に対する接合部の剛域比率　　　　　ソ：ボアソン比

3．

仮　　定（1｝微小変形弾性論（2 ）　部材は

一

様断面直線材で断面は回転対称形とす　　る

。

（3 ）部材のせん断変形は無視する。（4 ）接合部と部材は

，

構造物が弾性不安定に至るま

一

34 一

N工工

一

Eleotronio _Library

(2)

　　　で破損しないものとする。

（5）節点移動は無視する（座屈時の_{節点移動}が軸力　　　とつりあい_{条件}に_与える影響を無視する意味）。　　　したがって節点の変位自由度は

，

回転角の 3つと　　　なる

。

　（6 ）座屈モ

ー

ドは_，全体的変形モ

ー

ドと境界などに　　　現れる局部的座屈モ

ー

ドは対象とせず

，

少数の構　　　造単位の集合に現れる同じ不安定モ

ー

ドユニット　　　の繰り返し形とする

。

4．

座屈方程式　4

．

1　対象構造物の形状の特微　対象とする三方向二層立体トラス平板は_，解析上二次元構造として取り扱う。この構造物の形状の特徴は

，

同じ性質の方向が

，

ウェブ材の形状を考慮して 120度ごとに現れることである

。

これは

一

般にある方向に_繰り返し性を持つ座屈モ

ー

ドが現れたとき

，

同じ性質の座屈モ

ー

ドが

，

回転座標変換した等価断面力で見ると

，

同じ座屈値で 120度ごとの方向にも現れ_ることを意味する

。

またこの構造物は

，

上下弦面に垂直で斜材を含む平面に関して_面対称であり

，

_斜材中点に関し点対称でもある

。

そこで座屈方程式を誘導するにあたり

，

上記の性質

．

を利用して，基本となる部分だけを取り扱う。　4

．

2　

一

搆造単位の形状と応力図

一

1 三方向二層立体トラス平板の座標変換に　　　より同じ性質の表れる方向

一

激

WAWAw

：

E

，

織

z

＼

籘

匸

黙

’

解

XL 一

＿

⊥

＿

L

⊥

＿

L

」

L

・

争

・・n ・図

一

2 三方向二層立体トラス平板の形状図

一

3　形状と等価断面力

E3

E2

N6

E1

NlNgIA

〔eax

，

θa_り

，

Oa2〕 B

噸

（eb・

，

eby

，

ebz）　　／ _N2N4_N3 y

E弖

_日

L

、　凡　例匸＝＝コ _：_{上弦財} 　　　一：下弦材　　　

賜一

幽：ウェブ材図

一

q　三方向二層立体トラス_{平板}_の

一

_{構造単位}

E

　図

一

2に示すような三方向二層立体トラス平板で

，

等価断面力Mx

，

脇

，

　 Mxs を_受ける_{場合（}_図

一

3_）の有効強度を求める。　図

一

4に示す

，

このトラス平板の

一

構造単位には

，

部材が

9

本，節点が

2

個（

A

，

B

）あり，変位自由度が 6 個となる

。

三方向二層立体トラス平板は二次元構造であるから

，

形撫 _ま斜交座標で 2個の独立変数を用いて表すことができるが_，ここでは_便宜上，三方向の座標を用いて表す

。

したがって，

E

，，　

E

，，　

E

，には

E3

＝

EiiE

，の従属関係がある

。

ここで

，E

‘は座標

i

方向に離散的に

一

目盛進めるずらし演算子で

，

ρ

，

・

q を整数

，

m とn をそれぞれ座標 1と

2

の離散的座標を表す整数とし

，

ノをその関数とすると

，

その作用は次式で表せる

。、

EfE3f

（m ，　n）

＝

∫（m 十 ρ，　n十q）　図

一

4で_， earなどは節点の回転変位成分を示し，第 1添字 α

，b

で節点名A

，

　B _を

，

_第 2_{添字}x

，

　 y

，

　 z で

(3)

NII-Electronic Library Service その回転軸を表す。考える構造単位から見て，右の点は座標

1

方向に

1

個進んだ点で

E

、，左の点は

1

個逆進した点で

Er

’ で表し，同様に座標2の方向に

E

，

座標

3

の方向に Esを付けて_隣接点を表している_。　等価断面力

Mx ，

My

，　

Mxy

と各部材軸力

N

，

…Ne

の関係は

，

式（1）のように表される6｝

。

　　　処

M

・

y 一

詰

・

　　　My1 　　　12 　

一

吾 0

語 0 −

一

2 −

「

8 語

8

　　　8 3　　　 3

8

18

再

83 百

！ 8 83

一

8

0 　

ロ

　ヱ

　オ

る

ニ

　じ κ κ NNNN

…………一 …・

・

……

_（₁_）ここで，上下弦材の軸力は符号が反対で絶対値が等しく

，

またウェブ材の軸力は零である

。

1VI；

− N4，

N2

＝

− N5

，

ハ厂5；

一

_ハ厂 5

・

…

（2 ）

　　N

，

＝Ns＝Ne

＝

O ………・

・

t・

…・

………・

…・

…一・

_（

₃

_）　

4．3

　ずらし演算子表示の座屈方程式

変位

1

θ｝と外力

1

！皿_｝を式 _{（4 ）}

_，

_{式（5 ）}とおく

。

1

θ_{ド［}e_． e_． θaz θ． θby θb』7

・

……一 …・

・

（4＞

1

別旺_｝

；

［

EDIa

：

anav

wraz

別尼tU　

MbY

WI

，

A

『

・

…

（

5

）　応力

IM

，

1

と変形

ld

‘

1

を式（6 ）

，

式（

7

＞とおく。

IM

‘｝

＝

［Mit　MtZf　

Mtzo

Mtm

Mt

”o］ T

・

…

（6）

ld

‘｝

＝

［

d

‘t　

dtZJ

d

‘z。　

dt

。t　

dtH

。］ T

− ・

………・

・

（7）ここで，

M ，

t はねじりモ

ー

_{メン} _ト_で _{ある} 。　

M

‘z、

，

MttO

は

，

図

一5，

図

一

6の部材座標系（1

−

？

−

2 ）において，材軸方向を了軸にとり

，

その di軸と全体座標系（x

−

g

−

Z｝

MiHi

MiHO

ご

輪

≒ ！

げ

　　図

一

5　部材座標系におげる部材の材端モ

ー

メント標系のx 軸と標系のz軸を面図

一

β全体座標系x

−

Y

−

2 と部材座標系th

一

可

一

2 の関係

一

₃₆

一

の Z _軸を含む平面内に部材座標系の 2 軸をとった時の

，

その

7

軸回りの材端モ

ー

メントである。また

M

‘”1

，

MCH

。は部材座標系の

9

軸回りの材端モ

ー

メントである

。

添字

1

は_，節点A あるいはB側の部材端を

，

また

0

はその反対側をそれぞれ意味する。　

IM

｝を式（

8

）とおくと

，

差分表示されたつりあい式は，式（9）となる　　

IM

｝

＝

［

IM

，

ITIM

，｝ T

……

_IMgl

「］T

……・

・

…・

……一 …

（8）　　

1

田

n

_｝＝［

B

］｛

M

卜

・

…

　（9）　［

B

］は

，45

×6のマトリクスで式（10）となる

。

　　［

B1

』

一

_〔1

−

E・）

iO　　

．

OiO D

iO

…

’

1

iO

O

30

1

’

EL

iO

．

量

＿．

嵐

＿

1 ；

．

慮

．

ll

雪鍔

ii

p

／言E2／2　

iE2

〆2　　　　　10　　iO

ロ

コ

’

ロ

ロ

t

ロ

t＋

ロ

’

〔1

−

Ea_〕／

11 −

ts（1

−

E！）／環o 　　

io

iO

i

°

i

° 　　；O

_iO

．…．

乳

＿ −

ll

．

一

＿

；

i l

io

00

−

_vs_／2

一

_β_E3_／₂

’

す

…’

”

Hl『

石

… ．

．

…

1 ’

δ

’

o　　　

iO

　　　 lo o

iG

…O o

io

lo o

i

。

io

　　　　 iO lO 　　　　　　：

・

1　　書O　　　　　　　lO

io

i

−

E，

iO

…O

il

／z　　　　　

io

　　iO　　　　　　　　io iEs／2　　　　iO　　：0　　　　　　　10 00000

−−−−−−−・

−−

a

−−ロ

・

“

−−−・

−−−−ロ

マ

−−　

−−−−

ト

ロ

＋

ttt

・

−−ttt

o　　　　　

io

　　i〔1

・

Eii〕／2　

i

／3〔1

−

Ei：〕／2iO O　　　｛o　　　　

tO

　 lO　　　　　10　　　　　i

−

1 　　　

か

　　　　 F　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　 o

_ゆ

io

i

・

Eil O

io

_向

2

i

−

1／2

iO

。

io

io

i3E

三・／2

：

−

Ei・／2

iO

・

，

曾

・

．

鹽

．

・

．

■

．

・

r門

■

・

四

．

甲

r．

，

門

・

．

，

．

一

・

卜

．

一

¶

，

■

し

四甲

■

・

一

．

・

−一

呻

一

r’

・

…

囓

・

凾

・

．

9．

，

’

．

曽

，

凾

．

冒

匿

．

’

哺

幽

．

「

”

巨

響

’

…”

−

1 ’

U

−一

…一

…’

i

’

δ

”

一

’

”

『

”

：0

．

o

l−

1

io 　　

　　｝

−

Ef’ 10　　　　：

−

1　　　　

iO

io　　　

i

−

ErI

io

00000 00000 00000

i

−

_〔1

−

Eit_）／2　

i

　ts_（1

−

E；1〕／逐D

｛

l　

i

：

i

：

1

，・ lIS ／2　　　　　

i1

／2　　　　　　iO ！X3Egi／2　　

iE

ぎ1／2　　

iO

τ_{漏蕊}

7

_ヨニ_憾

6

_万

’

…

_糧

_懣

_函

’

_{屬ヨ}

6

_万

’

tS・ine／

il

　sine ／2

i

−

c。

蜘

ロ

コ

0　　　 10　　　　：0　 itSsin9／2

−

1／2　　

iA

／2　　 io　iO

　　　コ

D　　：0　　　 10 　ト1！2 rco59 _／z

i5

加O

io

io

…5血9〆2 _i

−

COSg

io

i

。 i御 2　　　iO

一

汚覊百

冫

甃薦

万

…’

1

ニ_ヨ

_遡

二_瀧

f

£

5 _諭蕊

Ff

_{纛自}

7 _Σ

”

_羅τ

i；

_囂

tSsine／

i

　_s_{血臼}_／2 0 _…o

−

_1／2　　 1

一

縟／2

．

，

9 ＿＿＿

1 ．

P

．

一

．

00010 ｝eose

卜

・i・eioioio 　 i

−

c。scr

，

　e　　

i

。　　

io

io

…

−

vEIEr’_s 血 θノz・Eiisine_／2

i

−

Eiic・・9 　：0　

io

iO

＿i．

9 ＿一

辷射∠？

．

一

．

1

：盗旦匸｝∠廴

一

」⊥

．

一

＿．

　　　　　　　 ii

’

s

_圃

ol

’

c°sgioloioio 　

iOl

・

lO　 lEii

i

−

Eiieoseiol

−

Eiisingioio

iEiisinei

・ i

−

Ei墓_cosei 。｝。

…・

………・

……・

……

_（

₁₀

_》 N工工

一

Eleotronio _Library

(4)

　変形

1

副と変位｛θ

1

の関係は

，

式（11）となる。　　

ldl

＝

［

A

］

1

θ_｝

………・

……・

・

……・

・

…・

・

……・

L

……

_（

11

_）ここに

，

　　刷＝［

ld

、

｝

「

id

、

ド

・

…・

・

id

，円 7

………・

…・

（12）また，行列［

A

］は

，

式

（

9

）の行列［

B

］のずらし演算子のべきの符号を変えた行列の転置である

。

次に

，

式（

8

）での応力

IM

‘｝と，式（ll ）での変形

ld

」の_{関係}を示す弾性条件式を式（13）の形で表す。　　

IM

‘

1

＝＝［

C

‘］｛〔

le

｝

……・

・

…・

・

…・

・

………・

…一・

……

（13）ここでねじり率 ¢＝

d

‘，／

t

‘とねじリモ

ー

メントの関係

M

，

一

（

GJ

＋

NrS

）pで，軸力

．

の効果は

，

通常の材料で

J ；

21

の回転対称断面材では

，

きわめて小さいので

g

れを無視し_，ねじり剛性として_{式（}14 ）を用いる。

萼

ナ

ー

1

，（

譁

．）

……・

・

…

L

・

………・

（

14

）

．

よって

，

弾性条件式は式（15 ＞となる

。

M

‘tM ‘ZiM ‘zσ

M

‘卅

Mtllo

石 E 轟

1

．レ・

O

　　atO 　 β‘

0

00

0 OO

“ 襾軌

000

α β

0

β α

00 d

‘tdtZidtzodt ．， dtHO

・

9−・

・

77・

・

7r・

・

…

r・

−r

_（₁₅_＞

1

各部材の弾性条件式（

15

）の総和を

，

全部材

9

本の弾性条件式（16）の形で表示し，式（

9

）に式（1ユ〉と弾性条件式（16 ＞を代入して

，

差分表示された変位と荷重の増分についての式（17）を得る

。

lMI

＝

［

C

］

1d

｝

・

………・

一 …………・

…・

・

…一・

…

（16）　　［

B

］［

C

］［

A

］

IA

θ

1 ＝

1AE

［

Jl

_ト

・

…・

…………・

…・

…

_（17＞式（

17

）の_{行列}_［

B

_］_［

C

_］_［

A

_］は

，

式（18＞の形となる。［

B

］［

C

］［

A

］＝リユ　ロる　　　

ノ

き

ノ

リ

だ

ア κ κ

OK

κ κ ロる　り　　　　

ア

ど　

ノ

ロ　

リ κ κ

OKKK

　　む　

ノ

フ

ノ

リ　　 00 κ κ κ κ ヨ

　リ

　ず

ロロ

じる κ κ

K

κ κ

0

り　う　り

じロじコ κ κ κ κ κ

0

ア　リ　ロ　　　　まき κ κ κ 00 κ 　　　

一 ……・

………・

一・

・

（18）添字 u

，1

は

，

u が上弦材を

，1

が下弦材を意味し

，

また

「

は

E

のべきの符号を変えた式をさす。ここで El，／l‘ を， 1≦i≦6で E∬〃に， 7≦ i≦9で

Elw

〃wとし

，

　at

，

β‘を i

；

1

，

4で α、

，

β1 に， F2 ， 5で α 、， β，に

，

i＝3，

6で as

，

_β，に

，

　i

＝

7

，

8

，

9で α”

，

β膨に置き変えると

，

式（18 ）の行列の各要素は次のようになる

。

ここで_，上添字

i

は

i＝

U

，1

である

。

KI−

1

’

_［

、

t1

　＋　v_）　

11

・

一

_・_（_・ 1・・

i

・）

一

（・・

†

・・ 1 ｝

T

（・_・＋E・・｝

1

・

ii

・・

1

・_β｛（・_・＋Ei・｝

…

1

・

Pl

（…

E

・

−

1 ）｝

］

・

辮

｛

1 ｝

． c… θ

・

岬

θ＋

1

）

｝

一 …・

………・

…・

・

…・

・

…

（

19

）・…

一

撃［

、（

1 卑

、）

1

・

一

_（・・＋

Eii

）

一

（

E

・・… ）｝

・

1

・・｛・_β｛（

E

，＋・

r

’ ｝

r

・

ti

・・｝・β…（・・＋・

ii

）

…

1

・

fil

（・・＋

Eii

＞｝

］

＋

32 与

｛

1

準

。 c… θ

・・“・・・・… ）

｝

…・

………・

一

_（・・_）

Kl

一

甼

1

・・｛・β｛（EI＋El・）・・ al ・β

1

（・、＋Eii〕

…

1

・_β蓋_（・_・＋・

i

・）

1

＋

9 −

llill1

’w

（

1 ま

． … θ

… c… θ

）

一 ……・

・

……一 ………・

…

（21）・

1 噸

∬

［

、

‡

。｛・_、_{＋・・}一・

E

，・・li）

1 −

・al

一

β

1

（

E

・＋

E

・ ’ ）…

1

・β

1

（・_・＋Ei］）

］

一 …

（・・） K，

一

縣

卜

1 旱

． c… θ_（

1

＋

E

_，_）

・β・

1

（… n2 θ＋1）（

1

… ）・・

叫

…・

……

（・

3

＞

K

、一

一

嬰

・… θ

（

1

穀小

一

EI・

……

（・4・・一

嬰

・… cQ・θ

（

1

÷

．＋

Bw

）

・・

− E1

・

…

（・・）陥一

無

［

−

i

・_t

｝

I

_vc_」・s！・（1＋・、＋・

ED

・β・

1

（… n ’ θ＋・）（1＋・・）・・E・

1 ］

一 ……

（26） K・

一一

舞

・・ θ… θ

（

11

十v

）

（

1

＋・一・

E

，）　　　　

・

…

7r・

…

7・

・

…

　（27）

K

，・一

警

（

「

準

。・… θ＋β・c・』・ θ

）

〔・＋E1＋・：）　　　　

・

……・

………・

………

（28） 4

．

4 構造単位間の _繰り返しモ

ー

ドの座屈方程式図

一

7 座屈モ

ー

ドタイプ1）・

／

賛

一

₃₇

一

m

(5)

NII-Electronic Library Service

●

o ○

■

● ρ

●

● ノ

L

円図

一

8 座屈モ

ー

ドタイプ

m

rn 　有効強度を算出する座屈モ

ー

ドとして

，

モ

ー

ドの繰り返し性から得られる直交モ

ー

ドの中から

，

モ

ー

ドユニ _ットが

2

構造単位から成るものと

，

3構造単位から成るものを考える

。

ここでは

，iE

面を採用し

，

各座屈モ

ー

ドと座屈方程式を示す

。

座屈モ

ー

ドの _{表現}には

，

整数 m

_，

n を

，

図

一7

，

8

に示す離散的座標の独立変数として

，

繰り_返し性を表す座標ζ を用いる5［。なお

，

図

一

7

，

8での節点のマ

ー

クは

，

各構造単位の座屈形状の種類を表す。すなわち

，

図

一

7では2種類の

，

図

一

8では 3種類の座屈形状を示す構造単位の組み合せで

，

全体の座屈モ

ー

ドが形成されることを意味する。　

1

）　ζ三

2

π（mfl 十nf2 ）

一

・

…

一

・

…

　（

29

） κ ：

K

：　o　 κ5　0　 0 　：

K

_罫0 0_κ₈Kg 　　　

iK

｝　0 　κ9 κ10 　　　

iKlKi

O

Symmetry

i

Kl

_O 　　　

脚

’

”』

；　　　　　　　　　

iKl

娠偏妬娠娠 000000

・

…・

……・

・

…・

……

_（

₃₀

_）

A

・｛

一

｝

［

・・

1 帝

・

呈

（a_；

一

β：・・：

−

fl

：）

｝

・

学

（

1

ま

．＋・・

の〕

……・

・

…・

…………

（31）・

1

−

｝

［

・・

｛

τ

舞

・・（・｛・β｛｝・

去

（・

1 一

β；

・・

副

・

警

（

　　　　十1

51

十ッ

）

］

一・

・

……

_（_・

₂

_）

CA

G

ム

ー

EI

B

鴻殳

λ殳

Xj

・

Q

一

図

一

9　剛域λJ

’

弾性曲げ回転ばね Cバ部材（曲げ剛性 EI）　　　を含んだ材

一

₃₈

一

K

；

一

｝｛

… （・｛・β

1

・・

1 一

β；・・

1 一

β：）

＋

E

遍畜

＋・・

）

｝

…・

一 …・

・

…・

一一

（

33

＞

3

／十／

3

伽

h

← 皿憮馬臨

…

塩塩梅照

、

_．

澱塩臨陥 ooo 塩撫陥超。。。

烹

。。。

審

・

：

葉

霊

漁

…

鴫鴫鴫澱陥陥・・。

、

_幽

難

衡塩縮照雌陥撫陥昭

…

鬟

し　　町 oo

、

_°

磁

鵬

・

‘

”

」　　　　 m κ κ

“

　　　靭

聞

L κ

…

　　語 E∬ 　　　　　（

−

a_鬘＋β茎＋α畫

一

β皇）

…・

………

　（

34

） Kl

＝

2

’ 鵡一

警

（

1 琴

1

．＋_βw

）

・

………・

一 ………・

・

…・

（・・）醜一

｛

穿

（

1 畢

．＋

7

_β・

）

……一・

・

…………・

・

…

〔・・）窟

一2

誓

和

（

毒周

・

……・

………・

…

（・・_）

K

，・

一

黔

（

一

畜

岡

・

……・

……一 ………

（38 ）　　　　

・

…

　（39） 000000000

………・

・

……

_（₄₀_）・｛

一

｝

［

・・

｛

、（

1 睾

の・

2

（・・茎・β：…

1 一

_β：_）

｝

・

9tl

w［

（

1

‡

、＋・・

の］

…・

…一・

……・

…・

…

（41 ）・

1 −

｝

［

・・

（

、（

9

． _の… ｛

一

_β

₁

_・

吉

〔・・

1 一

β；

…

1 一

β

1

）

｝

・

警

（

1 半

．＋…

）

］

・

……

（・・）・

1 −

｝｛

・・（・・｛

一

β

1

…

1 一

β

1

… ｛

一

β

1

）

＋

Elw

（

　　　　2 十aw

1

十レ

）

｝

一 …………・

…・

……

_〔₄₃_）　　　

t

写

EI

　　　　　　（

− 2

α茎十β

i

十

2al一

β

1

）

・

…………・

（44 ｝　

Kl

＝　　　　 41 ・c，

一一K

、、

一一

K・、

・

＝一

黔

（

　11 ＋レ＋_βw

）

……

（・・）

K

、、

− Kss− − Kss＝

＝一

甼

（

翫

周

…・

・

（46｝陥一

Ks9− 一

甼

（

1

÷

．＋_β・

）

…一・

一 …

（47・ K，，

・

　K、7

− 一

甼

（

_了

≒

・

P

．

）

・

…・

・

………

（48 ）

5．

計算結果この三方向二層立体トラス平板が

，

等価断面力

Mx

，

My

，

Mxy

_{を受け}る場合の_{有効強度}は_， _前節で誘導した N工工

一

Eleotronio _Library

(6)

5 響

　　　　MZ

−

a 　　　　　　　M2　　　　M3

−

a

冒

13

■

ご

，一

一

菖

_o 2r M5

．

齟

　M2 　　　厂

一一

　　　！　　　　　　　　　　　　　　’　　 1 　　　ノ

、

　　　　　　　　　　　　　 ’ 　　　 1

・

　　　　　2　　　

−

1 繭醯「デτ

7

　　　 ’ 　　　　’ 　　　 ’ 　　　 ’ 　　　　ノ　　　　　11 　　1 　　！　 ’ 　’ 　ノ

ー

₁ ’ 乙

＿＿＿＿＿＿

　　　 ’ 　　　ノ　　　ノ

＿＿

ノノ　　　邂 ’　　　　　　　　　　　　 4π2EI ’ M2

　■

「

」

．

幽虚

　「

7

一

2 旨 M5　　

、

　ト

_，

M2 M2：座屈モ

ー

ド

ニニ

7 トが二構遺皐位の場合 M5：座屈モ

ー

Fユニットが三構迫単位の場合「：弦材に対 †るウ

ェ

ブ材の曲げ剛比図

一

10 ねじりモ

ー

メントMx_。＝ eの面での三方向二層立体ト　　　ラス平板の有効強度曲線

「

_a ）　曲げ剛比 r

＝

1の場合 b）曲げ剛比 r

＝

0の場合　　　c _）ピン節トラスの場合　図

一

11 三方向二層立体トラス平板の有効強度曲面座屈方程式を解くことによって定まる

。

・

ここで式中の

_，

Stability

・

_Function

_a

_，

βには

，

文献7）の a_， _βの値を用いる

。

まず剛域んを零とし_，回転ばね定数

CA

を無限大にした場合

，

つまり接合部が剛節の場合の有効強度を示す。パラメ

ー

タとして

，

弦材とウェブ材の曲げ剛比 r＝

EI

_／

Etw

_を_変_{化さ}_{せた}_時_の Mxy

＝

0_{での}_{有効強度}_を，等価断面力

M

．

，

砥を座標に取って

，

図

一

10に表す

。

次に曲げ剛比 r

＝

1と r

＝O

の場合にっいて

，

_{座標}に_等価断面力Mx＃も用いて

，

三次元表示した結果を図

一11

に示す。　応力状態と共に変化する座屈モ

ー

ドの中で

，

代表的な応力状態における座屈モ

ー

ドを，弦材に対するウェブ材の曲げ剛比 r

＝

1の時にっいて

2

例（

M3 −

a

_，

　M2

−

a_）示す。

M

　3

．

−

a の座屈モ

ー

ドは

，

M

エ鶚 1馬

，

　Mxy

＝

0の応力状態で_，

一

構造単位にある6 変位自由度のうち

，

節点A にある 2軸回りの回転変位

e

．が，他の回

転

変位よりも卓越しており

，

面内方向に座屈したモ

ー

ドを表している

。

そして

E

，

E，

，

　 E，の 3方向とも3回で元に戻る繰り返しモ

ー

ドであり

，

また下弦材に関しては，ほとんど変形が現れていない

。

M3

−

a ：応力状態Mx ≡ My

，

Mxy ＝ OCt 　　　　おける座屈モ

ー

ド M2

−

a ：応力状態3Mx

；

My ，　Mxy ＝0に　　　　おける座屈モ

ー

ド　　　　図

一

12　M3

−

a

，

　M　2

−

a の座屈モ

ー

ド

(7)

響

C」

；

oσ M2 ／厂

響一一

一

ノ　　　

＝

10 5G剛師トラス

一

一

ン

＼ M3 ’ 、 ’

、

’ ’ ’ G

＝

12

1 　

＼

，

〆

　 ’ 　 ’ ’ ’ ’ ’ α

冨

O

．

2 　’ ’ 　　　 1 　　　　　　　／￥ピン_麺上2

萎

’

1

　　　　　 ’　　　　　　　　厂 M2 ノ ’q

冨

o』 ’ ノ ” ’ ’ ”

一

₅ 〜

−

2 ’ o ’　　　　2　　　

1

　5 〜 ’ ’ ’ ’

1

_〆 ’

駕

’ ’ ，　　　　　　’ ’ ，　　　　　　　’ ”

一

1 ’ ’ M2 「’

4 ．．

’ ’ ’ ’ 1₁　　

＿，

一・

’ ’

べ　　

1 一

2 _’ ＼　　　

_丶

ノ ’’ ’ M5 丶_、_く　　　

一一

．

一

一一

’

三　　　　　　　　 ’ 　　　 ’

＿＿＿＿＿

＿＿

＿

ノ M2 G广

最

c・

一

4 　　　　λ_j

＝

e

．

04 　　　　図2：座屈モ

ー

t

ユ昌

γトが二構造皐位の楊含　　　　図5：座屈モ

ー

ドエニ7 トが三構這覃位の場合図

一

13　剛域を持ち回転ばね支持された三方向二層立体トラス　　　平板の有効強度曲線

　M2 −

aの座屈モ

ー

ドは

，

3Mr ＝

My ，

Mxy＝

0の応力状態で

，

節点

A

におけるτ軸回りの回転変位 ea が，他の回転変位よりも卓越しており，

E

，方向の上弦材がx 軸回りに剛体回転しているモ

ー

ドである

。

そして_，

E

，方向には1回で，また E，

，

E，方向には

，

それぞれ 2回で元に戻る繰り返しモ

ー

ドが

，一

番低い応力状態におけるモ

ー

ドであり

，

また下弦材に関しては_，これもほとんど変形が現れていない_。　次に

，

接合部の大きさと接合剛性の影響を考慮した場合の _有効強度を求める

。

ここでは

，

剛域の大きさを

0．

04 とし，無次元化ばね定数

C

，

1

／

E

∬ を零から無限大まで変化させたときの有効強度を

，

座標軸に等価断面力

Mx

，　

My

を取って図

一13

に示す

。

図中

，

外側の破線は剛節三方向二層立体トラス平板で曲げ剛比 r＝ 1の時の有効強度であり

，

また内側の_破線はピン_節トラスの有効強度である

。

さらに

，

ばね定数

C

，

l

／

EI ニ10

と

C

，

l

／

El

＝

O．

1の時について

，

座標軸に等価断面力

Mx

，　My

，

M

．s を用いて三次元表示した結果を図

一

14に示す

。

なお曲げ剛比は r＝ 1としている

。

6．

検　　討　

6．1

直交性を用いて級数展開された繰り返し形モ

ー

　　　　ドに対する座屈方程式の分離性について

繰り返し形ラチス構造物の繰り返し形座屈モ

ー

ドに対する弾性座屈方程式は_，変位の直交級数展開を用いて各波長ごとのモ

ー

ドに分離されているが，それ以上の分離性について_論じると

，

上下弦材とウェブ材を全部含んだ

一 40 一

・_）

孟

個隔一・。・の駘　　　 λ」

・

＝

O

．

04の場合　　　　c ）　ピン節トラスの場合図

一

14　剛域を持ち回転ばね支持された三方向二層立体トラス　　　平板の有効強度曲面形の座屈方程式は_，式（30），式（40）のように

，

式の形でそれ以上に分離することはできないが

，

ウェブ材の弦材に対する曲げ剛性の影響を無視すると

，

下式（49 ）のように式の形でさらに分離することができる

。

その時の座屈モ

ー

ドは，水平面内方向に座屈するモ

ー

_ド_と_{鉛直} 面内方向に座屈する固有のモ

ー

ドに分かれる。 κ罫

_i

ξ 3K 　　

iK

亨

K

￥… 　　

i

磆

K

￥

i

O

0

ユを

ユコ

KK

ほロ

ロヰ κ

K

θat θbZeaeay θhr θbV

000000

・

…

一

・

…

一

一・

・

…

一

（49）　6

．

2 接合部が剛節の場合　接合部を剛節扱いで有効強度を検討すると

，

有効強度は常に座屈長さを節点間距離にとったときのピン節トラスの_{有効強度}よりも大きい_{強度}となることを確認した。　ウェブ材の弦材に対する影響を検討すると

，

ウェブ材の弦材に対する曲げ剛比が零のとき_，有効強度はピン節トラスの強度よりも大きい値となるe これは

，

弦材の組 N工工

一

Eleotronio _Library

(8)

み立て方による隣接部材の曲げ剛性が大きく影響しており

，

定量的に述べ _{ると}_大_きいところで 2 倍

，

小さいところでも1

．

2倍以上の強度がある

。

そして

，

ウェブ材の弦材に対する曲げ剛比が大きくなるにつれ

，

その強度の割合も大きくなり，曲げ剛比が r＝ 1では

，

小さいところ（M

．

＝

・

Me 付近〉でも

，

強度はピン_節トラスの有効強度の約 1

．

8倍である

。

また有効強度に対応する座屈モ

ー

ドは

，

曲げ剛比 r

＝

0のとき

，

方程式は式（49 ）のように分離され

，

最低座屈荷重に対応するモ

ー

ドは

，

鉛直面内変形で二構造単位ごとに繰り返す形となる。また曲げ剛比 rキO ときは

，

常に

一

構造単位の全変位が応力と共に変化するモ

ー

ドとなるが，曲げ剛比が

0．3

以下では座屈モ

ー

ドがすべ _て二構造単位から成る場合であったのが

，

O

．

3以上になると座屈モ

ー

ドユニットが三構造単位からなる場合で有効強度が定まる領域が

，Mx

＝　M_。の軸を中心としたその周辺に_現れる

。

しかし，有効強度に関しては二構造単位からなる場合と比較すると

，

その差は大きいところでも4％程度である

。

　6

．

3　接合部の大きさと接合剛性を考慮した場合　まず

，

剛域が少しでもあると

，

無次元化ばね定数の値によっては

，

ピン節トラスの有効強度よりも低い強度で座屈する領域が現れること7）を量的に示した

。

定量的には_，剛域が 0

．

04 のとき，ばね定数が

0．

27ですでにピン節トラスの有効強度よりも低い強度面が現れている

。

そしてばね定数が零になると

，

有効強度は零となる。またばね_定数を無限大にすると

，

剛節トラスの _有_{効強度よ}りも大きくなるのは明らかで

，

約

1

割大きく

・

なる。　ばね定数がある値（ここでは 10前後）以上になると（図

一

₁₁

_，

_図

一

₁₄_比_{較）}

_，

_剛_節 _トラ_ス _（_{ただしウ}_ェ _ブ材_の_弦材に対する曲げ剛比 r

；1

のとき）の場合とほぼ同じような耐力性状を表す

。

しかし，ばね定数が小さい（ここでは 0

．

1

−

O

．

2前後）と

，

その性状は

一

変し_，座屈モ

ー

ドユニ _ッ _ト_{が三}_{構造単位}_か_ら_なる座屈モ

ー

ドは現れず

，

有効強度はすべて座屈モ

ー

ドユニ _ッ _トが二構造単位からなる場合で定まる

。

そして

，

その強度は全域にわたってピン節トラスの場合の有効強度よりも小さく

，

有効強度面は

Mxy

軸を倍にすると

，

　Mx

＝

My _を軸_{とし}てほぼ回転対称形となる

。

これは

，

強度が等方性に近いことを意味する（図

一14

）。　以上より

，

接合部に与える影響として

，

剛域を考慮せずにばねによる接合剛性だけで評価した場合には_，構造物の耐力性状を表しきれない領域のあること7｝が本例でも見られた

。

ただし

，

剛域が零の場合で

，

接合部をピン節にしたとき無応力で安定な弾性接合トラスでは

，

その弾性座屈できまる有効強度は，接合ばね定数の全域にわたって

，

ピン節トラスの有効強度に対し_， 1

〜

4倍の範囲にある

。

　7

．

結　　び　三方向二層立体トラス平板の弾性座屈で定まる曲げモ

ー

メントに対する有効強度を，座屈モ

ー

ドの繰り返し性を利用して算出し

，Mx − My − M

＝y 空間に示し

，

接合部における接合部の大きさと接合剛性の_{効果}を検討した結果

，

次のことが得られた。　（

i

）繰り返し形ラチス構造物の繰り返し座屈モ

ー

ドに対する弾性座屈方程式は

，

_変位の直交級数展開を用いて各波長ごとのモ

ー

ドに分離されているが_，それ以上の分離性について論じると

，

上下弦材そしてウェブ材を全部含んだ形による座屈方程式は

，

それ以上式の形で分離することはできない _。ただし

，

．

ウェブ材の弦材に対する曲げ剛性の影響を無視すると_，さらに式の形で分離することができる

。

（

iD　

三方向二層立体トラス平板の有効強度を，接合部が剛節の場合にはウェブ材の弦材に対する曲げ剛比を変化させ

，

また接合部の大きさと接合剛性を考慮した場合には無次元化ばね定数を変化させて算出し

，

定量的に表した。　（

ii

の　接合部における接合部の大きさと接合剛性の効果を考慮すると，剛域が少しでもある限り

，

無次元化ばね定数が小さいとピン節トラスの _{有効強度よ}_り_も低い強度で座屈する領域が現れることη_を_{量的}_に_{示し}

_，

_こ_れ_によって剛域を考えずにばねによる接_{合剛性}だけで評価すると_，構造物の耐力性状を表しきれない領域のあることを

，

本例についても示した

。

　参考文献　1）　日置興

一

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郎：

“

繰り返し形ラチス構造物の繰り返し形モ

ー

　　ドの弾性座屈の解法

”

，

第343 　　号

，

1984

，

9

_，

pp

．

62

−

68

6）　Toshitsugu　Saka

，

　Kenshi　Oda

，

　Koichire　Heki ：

“

Yield 　　 Surfaces　of 　Double

・

Layer　Lattice　Plates　as 　Anisotropic

　　 ContinuumPlates

”

，

　MemQirs　ofthe 　FacultyofEngineer

・

　　 ing　Osaka　City　University　Vo 且

．

17

_，

　1976

．

9

，

　pp

．

158

−

170

7）坂壽二

，

日置興

一

郎；

“

ねじ込み接合で組み立てた立体　　トラスの座屈挙動

”

，

第331号

，

　　 1983

．

9

，

　pp

．

1

−

9

(9)

SYNOPSIS

UDC:624.023.85:624.04:624.075.2

THE

EFFECTIVE

BENDI])gG

STRENGTH

DETERMINED

BY

TffE

ELASTIC

BUCKLING

FOR

THREE.WAY

DOUBLE-LAYER

LATTICE

PLATES

byDr.KOgCHIRO HEKg, Professorof OsakaCityUniversity and SHINYA ABE, Obayashigumi,Fermerly GTaduate Studentof OsakaCityUniversity,Members of A.I.J.

The

effective bending strength determined

by

the eiastic

buckling

of constituent members

for

three-way double･

layer

lattice

_platesis

derived,

considering the effects of the dimensions and connecting elasticity of

joints.

The strength

is

expressed as asurface

in

the

M.-M.-M..

space, and

its

propertyis

discussed

varying _therate ofthe

bending

rigidities of chord and web members forsome

dimensions

of

joints.

The strength iscompared with that

of the pin-jointedtruss of the same members. This rate is

between

zero and

four,

and usually

lafger

than llnity when the

jointing

rotatienal spring constant isseverai times

larger

than the

bending

rigidity _perunit

lengtb

of

bars,

EIIt.

三方向二層立体弾性接合トラス平板の弾性座屈で定まる曲げ有効強度

1

．

．

．

．

．

・

三

方 向

二

層 立体

弾性接

合

ト

ラ

ス

平 板

の

弾性

座 屈

で

定

ま

る

曲

げ

有

効 強 度

置

阿 部

興

一

郎

眞

也

1．

，

，

，

，

。

，

，

，

，

，

。

。

，

，

，

。

，

ー

，

’

1

，

，

，

，

。

・

，

，

2．

，

B

b

A ，

，

C

，

C

Id

ld

E

E

EI

_{方向}

層立体

_{平板}

_弾性

座屈

　　　　　　　定

_曲

_有

効強度

　　置

阿　　部

眞　　

　　　　 E

　　　　　e