有限要素法によるウェブの変形を伴う
I形ばりの曲げねじれ座屈解析
岡村美好 深沢泰晴 （昭和63年8月31日受理）
Finite Element Analysis of Lateral-Torsional
Buckling Strength of I-section Beams with
Flexible Web
MiyoshiOKAMURA YasuharuFUKASAWA Abstract Afinite element method is presented for analysing the lateral−torsional buckling of I− section beams in due consideration of the effects of web distortion． Based on the second order kinematic field， the stiffness equation of linearlised finite displacement is derived for 1−section members with flexible webs． This method permits the computer study of I−section members with flexible webs under various conditions of loading， end support and restraint． Numerical examples are given for straight beams under uniform bending and linearly variable bending moments to demonstrate the effects of web distortion．1．はじめに
近年，構造物の大型化，複雑化に伴って，その合理 的かつ経済的な設計のために，その構造物の終局耐力 を正確に評価することが必要不可欠となってきてい る。鋼構造物において最も重要な構成要素として幅広 く使用されている1形断面材についても，その終局強 度を支配する曲げねじれ座屈強度のより高精度な評価 方法の確立を目指して，断面変形を考慮した解析1）一一6） や，局部座屈と全体座屈の連成問題の解析7）一・12）等の研 究が活発に行われてきた。 著者らも，断面変形を考慮した2軸対称1形断面ば りを対象として，一次元の棒理論に基づく簡便な支配 方程式を誘導し，座屈特性の検討を行ってきた15）・16）。 その結果，一定曲げモーメントのみを受ける単純支持 1形ばりの弾性座屈において，断面変形を考慮した場 合，部材長がある値より小さい範囲で断面変形を考慮 しないものとの差が顕著となり，その断面変形モード は圧縮フランジのねじり座屈に相当している場合であ ＊土木工学科，Department of Civil Engineering． ることなどが明らかになった。また，非線形座屈にお いては，フランジの幅厚比がある値より小さくなると 部材長の短いはりにおいて断面の変形による座屈荷重 の低下が生じ，その影響は溶接1形ばりにおいて顕著 であり，断面変形モードは弾性座屈と同様に圧縮フラ ンジのねじり座屈に相当している場合であることなど が明らかになった。 本報告では，より一般的な解析を行うために有限要 素法による断面変形を考慮した1形断面ばりの曲げね じれ座屈の解析を試みた。不等フランジを持つ1形断 面ばりについて，慣用の薄肉ばり理論の仮定の一つで ある断面形不変の仮定を解除して有限変位場を求め， 線形化された有限変位理論における仮想仕事の原理を 用いて剛性方程式を誘導し，曲げねじれ座屈荷重の算 定を行った。 2．有限変位場 図一1に，解析の対象とする1軸対称1形断面と座標 系を示す。座標系は，図心を原点C，断面の主軸をx， y軸，母線に平行な軸をz軸とする右手直交座標系（C −x，y， z）と，部材の各構成薄板断面の図心を原点Oi，「−b1マ1
L 1，yl！＿⊥
（1）断面寸法と x，y座標 図一1 n S n S 02 03n
（2）構成薄板要素と n，s座標 断面寸法と座標系 各薄板断面材の弱軸および強軸をそれぞれn軸，s軸 とする右手直交座標系（0一n，s， z）を用いる。 ウェブの変形を伴う1形断面ばりの有限変位場を誘 導するにあたり，通常の薄肉ばり理論における仮定の うち断面形不変の仮定を除いた次の3つの仮定を設け る。 （1）断面寸法に比べ部材長は十分に長く，部材軸方 向の変位の微係数は比較的小さい。 （2）薄板要素の板厚中心線に垂直で，部材軸に平行 な面内でのせん断ひずみ成分は小さく無視でき る。 （3）板厚中心面内のせん断ひずみのうち，直応力や 分布外力とつり合い状態にあるせん断力による ひずみは小さく無視できる。 1軸対称1形断面が図一2に示すような断面変形を生 じる場合，断面の任意点のx，y軸方向変位成分u， v は，上，下フランジがウェブとの接合点（Xi−0， yi）を 軸としてそれぞれ（φ＋ψ、），（φ＋ψ2）だけねじれたとし て，次のように表すことができる。 u＝Us−（y−ys）sinφ一κ（1 一 cosφ） 一［（y−yi）sin（φ＋ψ、） ＋x｛1・一・cos（φ＋ψ、）｝］C v＝vs十κsinφ一（y−Ys）（1−Cosφ） ＋［x・sin（φ＋ψ、）一（y−yi）｛1 −COS（φ＋ψゴ）｝］ζゴ ここに，y、はせん断中心Sのy座標， Us， Vsはせん断 中心Sにおけるx，y軸方向変位成分であり ζ一oiiiiiili謬
図一2 断面変形 である。また，上式においては，ウェブは直線で近似 している。 sinφ， cosφ等をTayler展開し，φ，ψゴの3次以上 の高次項を無視すると上式は次式のようになる。 u… u・一（y−Ys）φ一一txil・一｛（y−yi） ＋x（φ＋†ψ・）｝ψ・ζ・ v−Vs＋xil −t（y−Ys）φ2 ＋｛x＋yi）（φ＋†ψ・）｝ψ・ζ・ ここで，方向余弦を次のように定義する。 1 ＝＝ coS（X， n）， m−sin（y，・S） （1a） （1b） （2） 式（2）を用いて，x， y軸方向変位u， vをn， s軸方向 変位ξ，ηに変換すれば ξ一u・1＋v・m・一・P・φ一払φ・一｛A・i ＋A・i（φ＋†ψ・）｝ψぷ rp・一一u・m＋・v・1＋砺φ一÷禽φ・＋｛A・i 一心（φ＋去ψ・）｝・gb…IIIi ここに， ρn＝xl十（y−ys）m ρ。一一κ〃2＋（y−y。）1 Ani＝xl十（y−yi）m Asi＝−xm十（y−yi）1 仮定（1），（2）より，せん断ひずみγ。。は γ氾一刀{｛ε＋鵠＋］㍊一・
（3a） （3b） （4a） （4b） （5a） （5b） （6） 式（6）に式（1），（3）を代入し，nについて積分すれば，次式 が得られる。 ■● w＝w＊一（x−x＊）Us’ 一（y−y＊）Vs’ 一｛一（y−y＊）u。’＋（x−x＊）Vst｝（φ十ψ∠ζ1） 十nρsφ’十励sゴψ膓ζンーnρn＊φ’ψゴC （7） ここに，（）＊は板厚中心線上での値，（）’は2に関す る微分を表す。 仮定（1），（3）より，せん断ひずみγ。。＊は γ・2・一∂
ｾ＊＋誓＋∂篇＊芸＊＋裟＊芸
＝＝0 （8） 式（8）に式（1），（3）を代入してsについて積分し，式（7）に 代入すればz軸方向変位成分wが求められる。 W＝Z佐一κ％8’−y〃S’一ωφ’一θゴψ／ ＋（yu。’−XVs’）（φ十ψゴζ9 ここに， 一Xiip’ψゴ ω一闔･一nPs
θ，＝一 nA8i 9i Xi一 H（ρ・＊−A・1＊）鮒綱・9， ψ量 S （9） （10） （11） （12） 式（1），（9）より，非零のひずみ成分が以下のように求め られる。 烏一耐÷｛（Ust）・＋（Vst）・｝＋嫡φ 一κ（Us”十 Vs”φ）−y（Vs”−Us”φ） 一 oo”＋†a・95t・一θ・ψ・〃 ＋丁ろ∼ψジ・c＋y醐峯 十（yUs”−XVs”−Xiip”）ψゴζ 十（ρ＆λ8ゴ十ρηλη匡一Xi）φノψ／c 2γse＝2n（φノ十ψ／ζ∼） ただし a2＝κ2＋（y−y。）2 bi2＝κ2十（y−yi）2 （13a） （13b） 応力とひずみの関係は，ヤング係数をE，せん断弾 性係数をGとすれば，Hookeの法則より Oz＝Eεz， Tsz＝2Gγ． （14） ウェブにおいては，上下フランジがウェブとの接合 点を中心にねじれることによって生じる面外変形を考 慮することが必要となる。ウェブの面外変形を3次式 で近似すれば，n， s軸方向の変位成分ξ，ηおよびs軸 方向のひずみ成分ε。は次式で表される。 ξ一α、ψ1−＋ a2 ip2 （15 a） η＝−n（必ψ1十d，ψ，） （15b） ε8＝＝−n（ke’i ip1 ＋《元2ψ2） （16） n h ip 22
1レ 図一3 ウェブの面外変形 ここに，（ ）＝∂（）／∂sであり a・一一 S｛（28h）3−（緩）2−（膓）一・｝ a2−−求o（暢）3＋㈲2《芸）＋・｝ （17a） （17b） また，面外変形により単位幅dz−1あたりに生じる 曲げ応力O、は次のように表される。 Os＝Eεs （18） 3．微小変位理論における基本式 微小変位理論における変位およびひずみは，2．で誘 導した変位，ひずみ式の2次項を無視することにより 求めることができる。すなわち u＝Us−（y−ys）φ一（y−yi）ψゴζ v＝v6十κφ十κψぷ w＝Wc一κz48’−yz／8’一ωφ’一傷ψ／ εZ＝WC’ 一 XUS” 一 yvs”一ωφ”一θigbitt 2 7sc＝2n（φノ十gbi’ ；li） ε。一一n（〃1ψ1＋ぼ2ψ、） （19a） （19b） （19c） （20a） （20b） （20c） 長さLのはりに作用する単位体積当りの力のx，y， z 軸方向成分をそれぞれPx， Py，在，端断面単位表面積当 りの力のx，y， z軸方向成分をPx， Py，九とすれば， はりのつり合い条件は仮想仕事の原理より次のように 表される。 ∫L∫A（σzδεz十2rszδγsz十σsδεs）dA dz −∫L∫A（Pxδu十Pyδv一トPzδw）dA dz −［nzfA（Pxδu十ガyδv十万zδw）dA］ ・＝0 （21） ただし n・・一o亮二2）
上式に，式（19），⑳を代入すれば力のつりあい式，およ び境界条件が求められ，つりあい式は以下のようにな る。 N’十qz＝＝O Mx”十（7x十〃Zx’＝O My”−f《7y十Myt＝O Mω”＋Tx’＋M。＋〃2ω’＝O Mθi”十TXI’十〃レ1十Mzl十〃2θ1’＝O Mθ2”十Tx2’十Mv2十Mz2十〃zθ2’＝0 （22a） （22b） （22c） （22d） （22e） （22f）ここで，断面力および物体力は次のように定義した。 ．ハ！＝∫AσzdA，ルfx＝∫AσzxdA 払一∫Aσ。ydA， Mω一∫Aσ。ω姐 Mθi＝∫A OZ Oi dA，ルfθ2＝∫AOgθ2dA Tx＝∫Aσz2ndA Tx i；∫Aσ。2n i dA Tx2＝∫Aσz2nζ2dA ノ匪レ1＝∫Awσsnke’idA ノ∬リ2＝∫Ai〃σs多2〃2∠IA qx＝∫APxdA， qy＝∫APydA qz＝∫APzdA， Mx＝∫APzxdA My−∫。P。ydA，〃zω一∫AP。tudA Mθ1＝∫APz Oi dA， Mθ2＝∫APzO2ava 〃z。＝∫A｛♪。κ一力。（y−y8）｝dA M。1＝∫A｛PyX−Px（y−yl）｝色ばA Mz，一∫。｛ヵ。x−♪。（y−y、）｝9，〔7A （23a，b） （23c，d） （23e，f） （239） （23h） （23i） （23j） （23k） （24a，b） （24c，d） （24e，f） （249，h） （24i） （24j） （24k） ここに，Awはウェブの断面積を表す。式㈱に式（15）， （18），（2①を代入すれば，断面力と変位の関係が求められ る。x， y軸を主軸にとってあることから ノV＝EA Wc’ Mx＝−ElxxUs” My＝一 ElyッVs” Mω一一EZωωφ”−EIθ、ψ、”−Ele2 ip2” Mθi＝一 EIθi（φ＋ψ1）” Mθ2＝−E∫θ2（φ＋ψ2）” Tx−（Jφ’＋G1、ψ、1＋（茄ψ2’ Tx i＝G11（φ＋ψ1）’ Tx2 ・・ G12（φ＋ψ2）’ ノ14「u1−Elw i iPi＋Elw i2 ip2 〃。2−EIW i2 iPi＋E1砂2ψ2 ここに，断面定数は以下のように定義した。 ．4＝∫A4A，ムx＝∫AX2dA ム。一∫Ay2dA，1ωω一∫。tO2 dA 1θ1＝∫．θ12dA＝∫Aωθ10汲 1θ2＝∫Aθ∼2dA ＝・ fACVθ2d71 1−∫。（2n）2dA 11−∫。（2n）29、 dA ゐ一∫A（2n）29，dA I刎二∫Aω（nbli）2dA ん12＝∫鋤η2ク1∂2己4 1W、一∫。w（ηα2）2dA （25a） （25b） （25c） （25d） （25e） （25e） （25f） （259） （25h） （25i） （25 j） （26a，b） （26c，d） （26e） （26f） （269） （26h） （26i） （26j） （26k） （261） 式㈱を式②に代入すれば，変位表示のつりあい式が得 られ EA Wc”→一（7z＝0 （27 a） ElxxUs””−qx−Mx’＝0 （27 b） ElyyVs””−qy−My’＝0 （27 c） EIωωip””一（］1￠”＋ E1θi iPi”” −G11ψ1”＋Elwiil、＋Ele2 di2”” 一 G12 il，”十E1ω2ψ2十Mz十Mw’＝O Elei（φ＋ψ、）””＋G1、（φ＋ψ1）”＋Elwidii 十Elw i2il2十Mzl十Mθ1’＝O EIθ2（φ＋ψ2）””＋Gl2（φ＋ψ2）”＋Elwi2il・ ＋ Elw2 di2＋M。2＋Mθi＝0 （27d） （27e） （27f） 式⑮，⑳，㈱の関係より，直応力と断面力の関係は次 のようになる。 ・z−
S＋芸κ＋芸y磯当ll圭要ω
十 1θi＋1θ2−1ωω Mω＋Me、（1ωω一1θ2）Ile1＋Mθ2 ψ、9， ＋M・＋鮪ｯ樂宍）侮触
㈱ これより，ねじりに関する断面力Mω，Mθ1， Me2は互 いに連成していることがわかる。 4．線形化有限変位理論における剛性方程式 線形化有限変位理論に基づいて，剛性方程式の誘導 を行う。荷重ははりの両端にのみに作用するとして， 座屈前の状態での量を（）°で表せば，座屈後におけ るつり合い条件式は，仮想仕事の原理より次式で与え られる13）。 ∫V（砺゜δei」2＋σ。1δ烏1）dV −∫ATiδU idA・＝0 ⑲ ここに，砺はKirchhoffの応力テンソル，砺はGreen のひずみテンソルである。また，（）1，（）2はひずみ あるいは応力の1次，2次の項を表す。 図一4に示すはり要素に軸力と曲げのみが作用する 場合の座屈前の部材軸方向の直応力は，式㈱より…一芸＋陛＋誓y ⑭
式⑲に式⑬，（14），⑯，⑱，鍋を代入すれば次のように なる。鶯
磯
ψ1n ●一●ゆ Wcn Vsn ’L＿，一＿」
簡（2＝0） 図一4 一般化変位 n（2＝2）∫・［（芸＋雲゜x＋誓y）δ｛t［（u・’）2＋（Vst）2］ ＋疏φ一（x・。”−y・…）φ＋ta・il・・ ＋†6∼ぴζ＋顕ψ／c＋（yUs” 一 XVS”−Xiq5”）ψゴC十（ρSλsi十ρnAni −Xi）φノψ！ζ∠｝＋E（Wc’−XUs”−yz／s” 一ωφ”一θゴψゴ”）δ（ωc’一κμs’1−y〃s” 一ωφ”一θτψ〆”）十2Gn（φ’十gbir gi）δ｛2n（φ’ →一ψ／ζゴ）｝］d「レア＋∫ VW｛En2（or1ψ1 ＋δ、ψ、）δ伝1ψ1＋〃、ψ、）｝dV−f。T、6U、dA
＝0 細
ここで，内挿関数としてエルミートの多項式を導入す る。N、 ＝ 1−z／1 （32a）
N，＝z／1 （32b） N， ・1−3z2／12＋2z3／13 （32c） ∧％＝−z十2z2／1−23／12 （32d） ∧∼』＝3z2／12−2z3／13 （32 e） N，＝z2／1−z3／12 （32 f） 式（32）を用いて，要素内の任意の断面における変位成分 を次のように定義する。 w。−AJV， u。−BU， Vs−BV （33a∼c） φ＝Bφ，ψτ＝β荏巳（i ＝1，2） （33d，e） ここに A＝｛N，，N，｝ （34a） B＝｛N，，N，，1V』・N，｝ （34b） さらに 仰ア＝｛Wcm， Wcn｝T （35 a） U＝｛Usm，−Usm’・Usn・−u8n’｝T （35 b） V＝｛Vsm，−Vsm，， Vsn，−Vsn’｝T （35 c） φ＝｛φη・−qsmt）φn，−95n「｝T （35 d） 砿1＝＝｛gbim，−gbimノ， gbin，−gbinr｝T （35 e） であり，（）Tは転置ベクトルを表す。式倒を式細に代 入して整理すると剛性方程式が得られる。すなわち，F＝Kd
あるいはP
且
T
Kl 1 0 0 0 0 0 K220頁b4」K2s」脇6 K33」尼4」脇5」脇6 K，，」K4S」K46 sym． 」Kss」Ks6K66
上式においてw
u
v
φ 酩 （36）瓦1一今盈
K・・一x瓦＋牛瓦
K・・一ﾈ瓦＋吟゜K・
K2s→（芸A＋誓勾疏
＋÷（芸ム＋磐み）K・
K・・一ﾁ（芸A・＋誓る・）K・＋⊥（芸錫腔ち・）K・
疏・一㍗瓦＋ll K・輪一一
戟KK・ K・・一一ﾎ鵬
K・・一一k眠
瓦・−E
ﾔ・盈＋♀逓
＋⊥（芸既＋誓品）瓦
私・一雫1κ＋写1逓＋↓｛芸払1
＋誓（H・市砺1）｝瓦
瓦・一辛κ＋（拝＋↓｛芸疏
＋磐（H、y2− Hhy2）｝瓦疏・一呼1瓦＋呼1長＋泓1私
＋⊥（t（x°H・・＋誓司逓 K』6＝IEIωi2」K元 K・・一ﾄ2瓦＋（軽＋肌・私
＋↓（芸臨＋誓叫瓦
P＝｛qzm， qzn｝丁 民＝｛qxm， Mxm， qxn，勿xη｝τ 呪＝｛qym， Mymt qyn， Myn｝「 （37a） （37b） （37c） （37d） （37e） （37f） （379） （37h） （37i） （37j） （37k） （371） （37m） （37n） （370） （38a） （38b） （38c）T＝｛Mzm・Mt・m・Mf・n・Mt・n｝T （38 d） T，一｛M、、m， M，、m， Mtin， M，、n｝T （38 e） 式聞における断面定数は次のように定義した。 ノ4∠＝ ∫．ζ，dA， Zyi ：∫Ayζo汲 ム∠＝ ∫．x29，dA， Iyi＝∫Ay2 ；idA H。＝∫。a2〔iA， H。。＝∫。a2ydA Hsi＝∫AρsλsigidA Hkyゴ＝∫AyXidA H，、＝∫．b∼ζ∠dA Hbyi− ∫．b、2yζidA また， K・一
m11：1］
κ一
K・一 K・一 Elxx Kll3 （39a，b） （39c，d） （39e，f） （399） （39h） （39i） （3gj） （40a） （40b） （40c） （40d）一議］一
0 E舞・K，＋♀長 0 K．＝ M。 M。↓＿−L−一一1
y 図一5 一定曲げモーメントを受けるはり 5．数値計算例 5．1一定曲げモーメントが作用する1形ばりの横倒 れ座屈 4．で誘導した剛性方程式を用いて，ウェブの面外変 形を考慮した1形断面ばりの横倒れ座屈荷重を求める。 2軸対称1形ばりの両端に等モーメントM。が作用 する場合，式⑳において ∧戸＝Mxo＝0，払o＝Mo （41） となり，式（30は次のように書き換えることができる。｛…｝一「二《： 9i；菱i1［｝
また，上式は次のように書くことができる。 F＝［K。＋M。KG＊］d！ （42） ⑬ ここに，K．は微小ひずみ剛性マトリクス，」KG＊は幾何 剛性マトリクスであり，それぞれ以下のように表される。雫瓦＋（㍗
0 G1、 EIθ1 K，十ElwiK4 K，十13 1肇瓦＋（雑
sym．・栖
Hay K，II元ッ Elw i 2K4 0 0 KG＊＝ sym・撃κ＋（蛭＋E顕
（44a）み云ユ1瓦馬宏輪瓦
影疏
0 Hby2 K，疏少 （44b） 式ωを個々の要素について計算し，系全体で重ね合わ せてそれぞれの全体剛性マトリクスを求める。座屈荷 重は，式⑬においてF＝Oとして得られる固有値問題 ［K．＋MoKG＊］d＝0 ㈲ の最小固有値を算定することにより求められる。 一定曲げモーメントが作用する2軸対称1形ばりの 横倒れ座屈について，要素数と収束の関係を図一6に示§ 三 × 2．0 ： 1 1 遥1・〇 二 150．0 Mer Mcr
elE＝7！25｝
●L！h＝20 0L！h＝40 b／d＝ 40 h！b＝1．O h！t＝120 0 5 10 15 要素数 図一6 要素数と収束の関係 す。この時の境界条件は以下のようである。 z＝0，L：Us＝φ＝ψ1＝ψ2＝0 横軸は要素数，縦軸は収束の割合を表す。縦軸のMcr，ex は先に著者らが誘導したウェブの変形を考慮した場合 の横倒れ座屈値15）である。断面寸法は同じで，スパンと けた高の比L／hが20と40のはりについての結果を 示した。L／h−40のはりでは要素数4で収束率0．4％ を示し，要素数が増えてもその値はほとんど変化しな い。一方，L／h−20のはりでは要素数10で収束率約 0．1％となり，要素数の増加に伴い，収束はよくなって いる。これは，長いはりではウェブの変形がわずかで 長さ方向に半波長のsin曲線となるため，少ない要素 数でも収束のよい計算結果が得られるが，はりが短く なると高次モードで断面変形を伴う曲げねじれ座屈が 生じるので，少ない要素数ではその変形を近似できな いためである。なお，このときの座屈は7次モードで あった。 図一7は，一定曲げモーメントが作用するはりについ てその支持条件を変えて座屈荷重を求めたものであ る。支持条件は 両端単純支持 Mcr／My 5．0 2．0 1． z＝0，L：us＝φ＝ψ1＝ψ2 ＝0 両端固定 z＝0，L：Us＝Ust ＝φ＝φ’＝ψ1 ＝ψ1’一ψ2一ψ21−0 一端固定他端単純支持 z ＝＝ O：〃。 ＝φ一ψ1＝ψ2 ＝0 2＝L：us＝＝u。’＝φ＝φ’ ＝ψ1＝ψ1’＝ψ2 φ！｝φmaxl， ψ1／1ψ1me．1， ψ2！1ψ2max l 1．0 ・1．0 0．5 0．2 両端固定 固定・単純支持 1．0 0 断面形不変 謬訟 dyxQe．唐モ?狽煤D
0．112 5102050
L／b 図一7 支持条件による座屈曲線の比較 ＝ψ2’＝0 の4種類とし，要素数10で計算を行った。縦軸は，座 屈荷重M。rと上フランジ上縁が降伏応力に達すると きの曲げモーメントMγとの比M，r／My，横軸ははり の長さLとフランジ幅bの比L／bで，いずれも対数 で示した。図中，鎖線は断面形不変とした場合の座屈 曲線であり，実線はウェブの変形を考慮した場合の座 屈曲線である。両端単純支持，両端固定，一端固定他 端単純支持のはりでは，L／bが小さい時には違いが見 られるが，L／bが5以上になるとほぼ同じ値で一定値 となり，さらにL／bが大きくなるとそれぞれ断面形不 変の曲線に沿っていく。一方，一端固定他端自由すな わち片持ちばりでは，L／bが大きくなっても一定値を 示さず，座屈荷重は徐々に低下して断面形不変の曲線 に漸近していく。図一8は，単純支持ばりおよび片持ち 2 ＼4−＿，，’ L／b＝2 ：ニスンψ2 ノ s／ ＼
，’、、 ／ 、、 ’ 、、 ．2！L ゜’_／
、／，． ，1’ 1．0 z！L φ／1φmexl， ψ1／1ψ1me．1， ψ2／1ψ2m、、1 1． 一ψ2’−0 一端固定他端自由 z＝0：u8＝Ust＝φ＝φ’ ＝ψ1＝ψ1’＝ψ2 一1． 1．0 ・1．0 ／’ 0．5、 7、＼、 ψ1 ＼ L／b＝2 ，，ψ1п^一一一一
、−1 一1． L！b＝10 （1）単純支持ばり （2）片持ちばり 図一8 支持条件による座屈モードの比較 z／L zlLばりについて，L／b＝2， L／b−10のときの座屈モー ドを示したものである。横軸ははりの長さLと座標z の比L／zであり，縦軸は変位量φ，ψ1，ψ2をそれぞれ の最大値で除して無次元化して示した。単純支持ばり では，L／ろ＝2のときには半波長のsin曲線で1次の 座屈モードであるが，L／b＝10のときには4次のモー ドで座屈していることがわかる。片持ちばりでは，L／ b＝2とL／b−10ではψ、に違いが見られるが，部材 軸方向には単純支持ばりのような変化が見られず，高 次モードでの座屈は生じていないことがわかる。その ため，図一7の片持ちばりの座屈曲線は他の支持条件の ものとは異なったものとなったと考えられる。 5．2不等モーメントが作用する1形ばりの横倒れ座 屈 はり要素の左端に曲げモーメントM。，右端に曲げモ ーメントM，（＝xM。）が作用する場合，式⑳において ノVO＝M＆o＝0 （46 a） MyO ・Mo十（x−1）Moz／1 （46 b） となり，式㈱は次のようになる。 Eムx K， （47a） ＆2＝ 13 Mo ｛K，＋（x−1）K，｝ K2，＝
1
K2s−y
恣i｛K，＋（x−1）K・｝ ＋竃払｛K・＋（x−・）K・｝K26−y
ﾃ・妬｛K，＋（κ一1）K・｝ ＋竃妬（K・＋（x−・）K・｝ K・・−Eﾔ・κ＋写昆
K，s一 ＋鴛妬｛K・＋（x−・）K・｝㍗κ＋9t’K・
（47b） （47c） （47d） （47e） M。 ＋（H。y一Hhyi@ Ilyy）M・｛K2＋（・一・）K・｝（47f） H1（＝rc M。） 図一9 不等曲けモーメントを受けるはり要素 紘一雫κ＋CltiL・2K2 ＋（H。y2−Hky2@ 11yy）M・｛K2＋（・−1）K・｝（479） 塩一」饗瓦＋Glt！・’K・＋IE…K4 ＋影妬｛K・＋（x−・）K・｝ K，6＝IEIw、2K，塩一呼2瓦＋（繰＋IE・w・K・
＋鷲妬｛K・＋（x−・）K・｝ （47h） （47i） （47j） ここに，新たに定義したマトリクスは以下のようである。 K・一 （48a） （48b） 不等モーメントが作用するときのウェブの変形を考 慮した1形断面ばりの座屈強度は，式⑰を用いて5．1と 同様にして求めることができる。その一例を図一10に 示す。左端に曲げモーメントM。が作用し，右端に曲げ モーメントM，（＝xM。）が作用するとして， xを1．0か ら一1．0まで変化させて要素数10で計算を行った。x ＞0では，x＝1の曲線とほぼ同様であるが， x＜0で は座屈曲線は一定値を示さず，L／bの増大に伴う座屈 荷重の低下を示している。x ＝＝−1．0の場合について， Hcr川Y 10．0 1． 0 ．O L！b 図一10 不等曲げモーメントか作用する単純支持ばりの横倒れ 座屈 κ＝’1．0 κ＝・0．5s
κ＝ 0．0 、、、 κ＝ 0．5 0 ＼・ 萢 ・−i逼 0 N、、 、、 b！d＝ 26 Hcr κ筒・・“ h！b＝3．4GF＝rD載
h！t＝152N
．1 0．1 LO 10．0 100φ／1φmexl， 4，・／t 4，1me× 1， ψピ／1ψ“t ma，｜ 1．0 0 一1．0 1．0 0 一1．0 L！b＝2 2／L ip 2
