各辺が材軸方向に弾性支持された正多角形フレームの方向不変外圧による構面内弾性座屈

【論　 文

1

UDC 二624

．

074 ；624

．

075

．

2 日本建築 学 会 構造系 論 文 報 告 集 第 4DO 号

・

1989 年 6 月

各

辺 が

材 軸 方 向

に

弾 性 支 持

さ れ た

正

多角 形

フ レ

ー ム

の

　　　　　　　方 向不 変 外

圧

に よ る

構 面 内弾 性 座 屈

正 会 員 正 会 員 日

奥

置

田

興

一

郎

＊

和 　

・

弘

＊ ＊ 　

1．

序 　本 論で は

，

節 点で の回転接 合 剛 性お よびラ チス シェ ル の_網目数が

_，

ラ チス シェ ル の_{弾性座 屈 荷重}お よ び座 屈 モ

ー

ドに及 ぼ す影響を定量的に明ら かにす る研究の

一

_端 とし て

，

式 が 簡 単な円 筒ラ チス シェ ル を念 頭に

，

さ らに それを単純化し たモ デルを取り扱う。 具体的に は， 各辺 が材 軸 方 向に弾 性 支 持さ れ た剛な場 合を含む弾 性部材 を

，

ピン節と剛 節を両 極 端に持つ弾 性ヒ ンジで接 合し た 正多 角 形フ レ

ー

ム の各 節 点に

，

大き さの等し い半 径 方 向 内 向きの荷 重が作 用し た場 合の

，

構 面 内 弾 性 座 屈 を考え る （図

一1

参 照 〉。 この モ デル 嬉

，

円 筒ラチス シェ ル の 外圧に よ る座 屈モ

ー

ドが円 弧 方 向に波 打ち

，

長 手 方 向に はsin _形の な だ ら か な変形で あっ て

，

円 弧 方 向の 曲げと （a _{） 円 筒ラ チ}ス シェル　 　 （b｝ 正 多 角形 フレ

ー

ムモ デル P 、 P ψ

　　

k12

　　

k’2　k_！2



k／2 2φ f 　 踏 　■ EIk 　 　 　 k， 　 0 荷重 形 態　 　 　 剛性 ｛C _{＞ 解 析}の鮒 象と する単 純 化モ デル 図

一

1円筒ラ チス シェ ル の モデル 化 本 論文の

一

部 は 文maS）

，

11 ）

〜

13〕に発表 済み

。

＊ 大 阪 市 立 大 学 　 教 授

・

工 博 i＊ 大 阪 市 立 大 学 　 大 学 院 生

1

現 （株 ）大 林 組 ） 　 ｛_！988年1］月 10日原 稿 受理

，

1989 年 3 月 20日採 用 決定 〕 面 内の せ ん断が弾性エ ネルギ

ー

の主体と な る場合に対 応 し た もの であ る。 　この場 合の座 屈は

，

フ レ

ー

ム がずら し回転に_対し 正負 の対 称 性を持つ の で

，

元の形 状か ら の対称分岐座 屈で あ り

，

本論では高 次変形まで考え たエ ネル ギ

ー

法1）

・

2）に よ る

検

討3）_{は行わずに}

_，

_{微小有限変位に対し てつ り合式 を} 立て

，

繰返 し形 ラ

．

チス構造 物の繰 返 し形モ

ー

ドの弾 性 座 屈 理 論の を用いて結 果の誘 導 を 行 う

。

　ま た， 荷 重の従 動 性が リングの弾 性 座 屈 性 状に大き く 影 響 を 及ぼ す場 合の ある こ と が 角 野 ら5 ｝

・

6 

’

大 森I 」らに よ り示さ れて い るが

，

本 論では荷 重の従 動 性に は触れず

，

変 形 後 も 方 向の変 化し な い

，

中心方 向 内 向き ポ テンシャ ル荷 重 が 作 用 する場 合に限る。 　

2．

術 語の定 義およ び 記 号 　2

．

ユ　 術 語の定 義 　 本 論 文では以 下に示 す 術 語 を用いる。 　剛 体 回 転 ：環の 中 心 回りに剛 体 的に回 転 する不安 定 現象で_{， q}

＝

・

O波の周 期 的モ

ー

ドに対応 して いる

。

　波 状 座 屈 ：_q

＝

2

，……，

m

−

1波の _{周 期 的}モ

ー

ド が生じる座 屈 形 式

。

　ジ グザグ 座屈 ：_q

＝

m 波の 周 期 的モ

ー

ドが 生 じる座屈 形 式で

，

節点の_{移 動}が回転よ り卓越する場 合

。

　 個 材 座 屈 ：部 材が 個 材 として座 屈する不 安 定 現 象

。

　部 材 応 力 ：部 材の応 力 状 態を表す材 端 力の総 称

。

　 部 材 変 形 ：部 材の変 形 状 態 を表す材 端での相 対 変 位の総称

。

ただし

，

部 材 応 力 と部 材 変 形の積は仕 事にな る とい う意 味で対 応 してい る

。

’

　弾 性 座 屈荷重 ：弾性安定限界荷重の総 称

。

剛体回転お よ び剛部材で構 成さ れ るフ レ

ー

ム の弾 性 安 定 限 界 を含 む。 　

2．2

記　号 　本 論文で用い る主 要 記 号 を以下に示す

。

　 　

E

：ずら し演 算子 　

EA

：部 材の伸 び剛 性 　

EI

：部 材の曲 げ剛 性 　 　 i：i

’

−

_v⊂了 　 　」：_{節 点 番 号 （}1；

・

……，

n）

一

₁₃₁

一

h，k

’ ：_各弾性ばね定数 （図

一1

　

b

参_照） 　　

1

：部 材 長

Cl

＝ 2　r

・

sin φ） 　　m ：座屈モ

ー

ドの波 数の_{上 限値} 　 　 　 　n／2　 　 　 　 （n ：偶 数 ） 　 　 　 　 m ＝ 　 　 　 （n

−

1）／

2

　 　 （n ：奇 数 ） Min （α

，

　

b

_＞：αお よ び う の う ち小さ い方 を選択する_{関 数} 　　 n ：_{部 材 数} （n は無 限 大 を含む自然 数 ） 　　

P

；_荷重 　　

q

：座屈モ

ー

ドの波 数 （

q

は自然 数） 　 　 r ：_{正 多 角 形}フ レ

ー

ム の外 接 円 半 径 　　 φ：辺が中心で は さ む角の_{半 分 （φ}； π／_η） 　　

lO

し：零ベ ク トル 以 下

，

x は変 位

，

荷 重

，

応 力 等の記 号 を 代 表し て の添字 の説 明である

。

　 　 　 x¢r ：疋 の臨界 値 　　

x

。J

，

　xl丿：座屈直前の x あるいはx

’

　　

X

」

，

馗 ：座屈直 後の x あ るい はx

’

　

3．

仮 　定 　 本 論で用い る仮 定 を以 下に示す

。

　（a _{） 部 材}と接 合 部は弾 性で あり， 構 造 物が弾性 不安 定に達するまで破 損し な いもの とする

。

　（

b

） 部 材は均 質な直 線 材で あ り， その形 状と弾性係 数はすぺ _{て共 通である}

。

　（c _{） 部 材}の反り変形 お よびせ ん断変形 を無視す る

。

　 （

d

） 荷重は_節点だ けに_{作 用}し， その方向は中心方 向 内 向き で大き さ は等しい。 　 （e _） 荷 重 は保 存力 と し

，

変 形 後も その方 向は変 化し な い _。 　4

．

基 礎 方 程 式 　4

．

1　 微 小 有 限 変 位 を考 慮したつ り合 条 件 式 　座屈 後の微 小 有 限 変 位を考 慮し た

，

部 材 端 荷 重と部 材 　 　 P　 　 　 P

環

ご

 

∠

 

　　　　　　　

x

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

コ

　　　　　　

V」 〆

　

丶 漕 Vj・・

　　　　　 ＼　

，

　 　 　

e

．

　　　　　　

’

曹

座 屈直後・隙 J

　　　　　　 ♂

　 　図

一

2　部 材 端変位と荷重の作 用 方 向 応力の接 合 部 ノに おけるつ り合 式は

，

式 （1ト （4 ） と な る。 　 〈接 線 方 向〉 　　　 ｛cos （φ

一R

∫

−

1）

・

E ’

i

−

_cos （φ十

R

∫）

IN

丿 　　　

一

cos （φ

一R

丿

＿

1）

・

E

−

TTI 十cos _（φ十

filJ

）

・

T

， 　　　十

lsj

皿 （_φ

一

R_，

＿

_1）

・

E

−

i十sin （_φ

．

十

R

_，）

l

　

Q

，＝ D 　　　 　　　 　　　 　

………・

……一 ・

………

（1 ） 　 〈 法 線 方 向 〉 　　　

−

lsin

（φ

一R

，

＿

1）

・

E

−

1 十sfin_（φ十RJ ）_｝

IVJ

　　　十sin （φ

一R

丿

＿

“

・

E

−

tTl 十si皿 （φ十

RD ・T

_， 　　　十

lcos

（φ

一RJ＿

，）

・

E

−

i

−

cos 　（_φ十

R

，＞

I

　

Q

，＝ ＝

P

　　　 　　　 　　　 　

…・

………・

……・

………・

・

・

…

（

2

） た だ し，

Q

丿

＝一

（

M

，十

MS

）／

1

　 〈部材 ノ

ー1，

j

の _」端で の モ

ー

メ ン ト＞ 　　　

E

−

iMl _十

_M3

_{＝ 0}

……一 ・

・

…一 ・

……・

一 ・

…・

（3 ） 　〈部 材

j

，

j

＋

1

の

j

端でのモ

ー

メン ト〉 　 　 　』kf丿

一

M ；

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4 ＞ 式中

，

上に バ

ー

の付い た量は座 屈 後の応 力を表し_， 座 屈 直前の応 力と構 造 物が座 屈し た た めに生じ た応 力の微 小 増分量 の和と し て

，

式 （

5

）で_表さ れ る。 　　　

N

丿・＝

No

）十助

，

　

Q

ノ＝

Qo

」十

Q

丿

，

　

T

」；　

Toj

十

T

， 　 　 　

TG＝T

；，十

T

；，　

M

，

＝MeJ

十

M

，

，

　

M

；

＝M6 ．

，十M ， 　 　 　

M

，・＝

M

_；J十

M

_； 　 　 　 　

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

…．

・

・

・

・

・

・

…

　（5） 　 形 状と荷 重 形 態から明 らか なよ うに

，

この対 象 物の座 屈は

一

様 状 態からの対 称 分 岐で あり， 座 屈 直前の各 応 力 は式 （6）となる

。

　 　 　

NOj＝−

P ／（2　_{sin φ）}

，

　 　 　

QO

」

＝T

。j

・

＝

　

T6j＝M

_。」

＝M

_：，

＝M

_；，

＝

0 し た がっ て

，

式 （7 ）が 成 立 す る

。

　 　　N ，

＝− P

／（2sin φ）十

N

，t　　

QJ

＝

Q

丿

，

　 　　丁沖 丁，

，

　

M

丿

＝M

∫

，

　

M

；

．

＝M

｝

，

・

・

・

・

…

_（

₆

_） 丁丿

＝T

／

M

，

＝M

； 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

…

　

『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

鹽

…

　

9

（7） 　ま た

，

部 材 」の増 分 部 材 角 （時 計 回り正 ）R∫を増 分 変位で表 す と式 （8） と なる。

　 　 　RJ

＝

lsin

φ（E十1）vJ 十cos φ（E

−

1）orJ丿「／1

・

…

（8）

　式 （7 ）， （8 ）の関 係を式 （1）

〜

（4 ）に代入し， 増 分 変 形 と 各 増 分 応 力の積の項 を 無 視し， 全 体 をマ トリク ス_表示 すると

，

式 （9 ）の形に_整理でき る。

　　　

・ 。、 N ・

癌

j

　

j．、・。、 ・

’

。、

で

驟

↓

窓

_黛

　 　 　 　座屈直後の形 状 図

一

3 部 材 応 力 』 ←

『

v

　

帽

ld

；

XJ

；

”

1　　」

’

　　　　　　　

し

 

8

L

−

、 　　 j

一

到

’

　　　　　　簫

状

　　　　

lt

，

Fe

　　

．

，

．

イ

ー

Lr

）

ny

，

　　

、

丁

一

、 

 

一

触 5

　　　　　　

」＿

9

　 　 　 座 屈直後 の 形状 図

一

4　 部 材 変形

一

₁₃₂

一

　　　

［

」

4． ］

IMI

」

−

2EI

・

P 串_／ls［

Kl

，ユ

1

θ

b

＝

101J

・

・

一鹽

鹽

・

（9＞ こ こ で_， （k，1

＝

＝

1，2，3，4：m

＝

1

，

2

，……，

6） 　 　 　

1

θし

＝

＝

lv

，

，

ωJ

，

　rθ

1

−

i

，

　rej_｝「

，

　 　 　

iMt

＝

IN

，，　

TJ

，　

Tl．

　

M

，／r

，

M

｝／r

，

M3

／rl 「

，

　 　 　A，，

＝−

A‘

＝−

A：s

＝

cos φ（E

−

1

−

₁ ），　

Ass；E −

i

，

　 　 　

A

：1

＝A

“

＝A

ユs

＝−

sin φ（

E

−

1_十

₁

_）

_，

　 　 　As6

＝

”

A“≒

−

A．

＝

1

，

　 　 　A2

＝

cos _φ

_，

_AiS

ニー

cos _φE

−

i

， 　 　 　

Ani＝

sin φ

，

　 An

＝

sin φ

E −

lt 　 　 　Kl1

＝

sin2 φ

・

π2／2（E

一

且十2十E）

，

　 　 　

K

｛2； sin _φcos _φ

・

π2／2（

− E −

1＋

E

）

，

　 　 　

Kl

，

＝

sin φCQS φ

・

π 2 ／2（

E −

i

− E

）

，

．

　 　 　

Kl

：

＝

：

cos2 φ

・

π2／2 （

− E −

1十2

− E

）

，

　 　 　ほ かの

Aicm

；

Kli

＝ ：

O

式 中

，P

＊ _は 無 次元 化半径 方 向 荷 重であり式 （10 ）であ る。 　 　 　P 串＝ 2　r2　sin　_¢

・

P／（π2EI ）

・

・

…一 ……・

・

…

（10 ） 　4

．

2 幾 何 学 的 条 件 式 　増 分 部材端変位ベ ク トル と増 分 部 材 変 形ベ ク トル の関 係 は

，

式 （11）

．

の 形に整 理でき る

。

　 　 　

ld

し

＝

：［

Cnl

〕

1

θし　（

1

＝

1

，

2，

3，

4

： 九

＝1，2，・

・

・

…

　

，

6） 　 　 　｝

dL＝

iej

，

　sノ

，

　sl

，

　

dJr，

d

；

tl

．

d

；rF 　 　 　

・

…・

・

…・

・

…・

………・

………一

（

11

） こ こ に行 列 ［

C

．］の転 置 行 列は， 差分表 示でのつ り合 式 と幾 何 学 的 条 件 式の関 係に関 する定 理8〕 よ り

，

行 列 ［Aicm］のず ら し演 算

子

E のべ き の符 号 を 変え た もの に 等しい。 　4

．

3　 部 材 応 力と部 材 変 形の関係 　部 材の材 端 力と変形の関係に は_， 部 材の曲げ変形 に 与 え る_軸力の_影響 を考

．

慮 し た以下の もの を用い， こ の関係 式 を本 論で は， 「部 材 応 カ

ー

_{部 材 変 形 関 係 式」と} 呼ぶ

。

　 　 　

iM

｝丿＝＝E〃 t3［Bm

，

J

　

ldb

　 　 　

………・

・

…

（12） 　 　 　　 　 　 　 （m ，n

＝

1

，

2

，

・

・

・

…

　

，

6｝ 　 　 　B，，

＝

（

ls

／El）（EAIt ｝

＝

4　v、　sin2 φ

，

　 　 　Bn ＝ ＝Bk31 （

t3

_／EI ）（

h

_／2_）

＝

4　Vl　sinS

．

_φ

，

　 　 　

B44

ニ

Bss

＝ α

，

　

B

、5三

B54

＝ _β

，

　 　 　

Bee

＝

＝

（

13

_／

EI

）（

h

’_／r2）；

2

　_ng　sin　_¢

，

_{ほ か}の

Bmn＝0

ここ で M

，

h

，

　h は無 次 元 化 弾 性 定 数 比で あ る

。

ま た α

，

βは軸力の関 数で_， いわ ゆる安 定関数9｝ で あ る。 　

5．

各 種 剛 性に対 する座 屈 方 程 式 　

5．

1　 部 材 が 弾性 材の場 合 　式 〔9 ）， （11 ）， （12）よ り

，

節点

．

j

に お け る増 分 部

．

材 端 変位ベ _{ク ト}ル

．

_｛θしに関す る座 屈 方程式は式 （

13

） と な る。 　 　 　（［

A

．］［

Bmn

］［

Cn

［ユ

ー

2El

・

P

＊ ／

ls

［

Kk

‘］）：θ

L

　 　 　； ［

K

，』

1

θ

L

＝

｛

ob

　　　（

h

，

1＝

ユ，2，

3

，

4

）

：

・

・

・

・

・

・

…

　（13 ） 　 　 　

K ，

，

＝ 4

．

_{4sine φ}cos2 _φ（

− E −

1十2

− E

） 　 　 　　 　＋

8

碗 sin3 φ

・

cos2 φ 　 　 　　 　 十2（γ

一

P＊πt／2）sin2 _φ（E

−

i十2十E）_，

　 　 　Kn

＝

：

：

（Kzi）

’

＝−

4MsinS φcos φ（E

−

1

− E

）

　 　 　　 　 十2〔γ

一P

串π2／2｝sin φcos φ（

− E 『

1十

E

）

，

　 　 　K13

＝

（K3，） t

＝一

γsj皿 _φ（1十E）

，

　 　 　K”

＝

（K“）

’

_＝一

γ sin φ（E

−

1＋1）

，

　 　 　

K22＝

4巧sin4 φ（

E −

1十

2

十

E

）十

8

　v！　sin5 φ 　 　 　 十2（7

− P

’ π：／2｝cos2 φ（

− E 　

1十

2− E

）

，

　 　 　

K2s＝

（

Ks2

）

’

＝一

γCOS φ（1

− E

）， 　 　 　

K24＝

（

K4t

）

’

＝

『

_γcos _φ（

E −

i

−

1）

，

　 　 　

K33＝

α十2均sin φ

，

　 　 　K3．

＝

（

K

．，）

’

_＝

β

E

−

1

−

2　_te

．

sin φ， 　 　 　

K

“

＝

a 十2hsin φ

，

式 中 （ ）

’

は_， ずら し演 算子 E の べ _きの符 号を変え た

．

式 を示し， ま た γ

＝

α＋βである

。

　こ こで増 分部材 端変位ベ _{ク トル ｛θしを式 （}

14

_）の よ うに θ丿， θ；に座 標変換 す る

。

　 　 　θ∫＝＝（

e

∫十 θ，

−

1）／2，　　θ

1

＝

（e∫

一

θ

3

−

T）／2

・

∴

・

…

　（14 ） 式 （

14

）を 式 （

13

）に代入 す る と式 （工

5

） を 得る

。

　 　 　［K籌1］

1

θし

＝

10

し　　　（

k，1＝

1，2

，

3，4）

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　〔15） 　 　 　｛θ

b

＝

lv

_∫，W_」，　r θ_，，r θ_；

17

_，

Kfs

　

＝

・

　KiS＋

．

K，4

，

Kf，

＝−

Kn 十K…

KI3

＝

K

：s十

K

“

，

KZ

＝ ：

− K

，，十

Kz4

， 磁

＝

K、3＋

K

、、＋K43＋ κ44

，

　κ縞

；−

K33＋Ks、

一

κ、3＋K．．

，

κ轟＝

Ks3− K

，，

− K

“十

K

，，

，

　ほ か の

K

紊‘

＝Kht

　

一

方

，

増 分部 材端変 位ベ ク トル

1

θしは n 回ずら す と 重な る周期 性を持つ か ら

，

循環 条件 式 （16）が成 立す る

。

　　 　（

En − 1

〕｛θし

＝

IOb

…tt・

・

…．

・

・

…・

・

………

（

16

） 差分 方程式 （16 〕の _解は

，

_Σの _領域を q

＝

O

，……，

m と し

ICql

」

，

　

ISaL

を任 意 定 数ベ ク トル と す る と 式 （17）と な る。

　　 　｝θし

＝

Σ［COS 　2　

ilqNC

_，｝_J＋　

i

　sin　2　

Ptqj

　

IS

，

b

］ 　 　 　

・

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（17） 　　 　

lC

、し＝ ｛

C

、α

．

　

C

，，

．

　

C

、，r，　

C

．。rlT 　　 　｛

SJ

丿＝

lsIq

，

　

s2q

；

s3q7，s

．qr ｝ T 　 式 （17）

・

の関係を式 （13）に代入 す る と

，

周 期 的モ

ー

ドの 直 交 性4 ）よ り

，

座 屈 方 程 式は モ

ー

ドq ご とに完 全に 分離さ れ

，

式 （18 ）と な る。

　

　

　

［

［

KX

”］ ［κ：”］

］

lc

川 ゜

L

一

_［

_K

_蛮 κ ，］　［

K

誉κ ‘］　

IS

，

e

，　　

10

し　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

18

） 　 　（h

，

‘

＝

1

，

2

，

3

，

4）

Kき， ，

＝

；

2μ1（1

−

cos 　2　

diq

＞sin2 φcos2 φ 　 　 　十2Ut　sin コ

φ

・

cOS2 φ

　 　 　十（γ

一

P字π2／2）（1十cos 　2_φq_）sin2 _φ

，

K 窒12

＝−

K 窒2且

＝

2坊 sin 　2φ_（

1・

sin3 φcos φ

　 　　十（γ

一

p零π

2

／2）sin 　2φq

・

sin φcos φ

，

K名3　

＝

・

_K 　31　

＝

＝一

_γ（1十cos 　2φq）sin2 φ

，

礁 、

＝一

礁 1

＝

γsin2 φ

q・

sin2 φ

，

KX

，，＝ 2　vL（1＋cos 　2φq）sin ’ φ＋2・，　sin5 φ

一．

₁₃₃

一

　 　 　 十（γ

一P

＊π2／2）（1

−

cos 　2_φα）cosz _φ

，

　　　

− Kk

，＝

Kk

，＝

一

γsin　2φ

q ・

sin φcos φ，

　　　KX24＝K

まn

；

γ（

1−

COS 　

2

φ

q

）sin φcos _φ

，

　 　 　K ぎss’＝2（α十βcos 　2_φq_）sin ’_φ

，

　 　 　

K

書，・＝

− Ks4s

＝

− 2fi

　sin　2　

iPq・

sint φ

，

　 　 　κ彦網

＝

2（α

一

βCOS 　

2

_φq

・

sinZ _φ十

8sins

_φ

・

_ぬ

，

　 　 　ほ か の κ論； κ論＝ 0 し た がっ て座 屈 方 程 式 （18 ）は_， Wl の s血 型 のモ

ー

ド 群

ICie

，

　

S

：q

，

　

CSqr

，

　

S

‘qrl と， ω∫の cos 型の モ

ー

ド 群

IS

、q

，

　

Cte，

　

Sser，

　

C

，

。

rl とに分 離 され， 両モ

ー

ド群 に対 応す る座屈方程 式は相 等し い

。

弾 性 座屈荷 重は_{， 各} q にっ い て の座 屈 方 程 式で荷 重 P を増 加させ てい く と き

，

初 めて_方程 式の係 数が作る行 列の行 列 式 が 零に な る P で あり_， 零に なっ た行 列 式の 方 程 式で座 屈モ

ー

ドが 定 まる。 　5

．

2　 部 材の伸び剛 性が無 限 大の 場 合 　部 材 応 カ

ー

部 材 変 形 関 係 式は_， 式 （12 ）で

EA

・C 　Vi　＝

＝

oo _{より式 （19＞}となる。 　 　 　と，

・

！

O，

　

IM

＊

L

＝

［

B

劃

ld

＊ ｝∫ 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

…

　（19） 　 　 　 　 （ρ

，

r＝ 1

，

2

，

・

・

■

…



，

5_） 　 　

iM

＊

L

＝

IT

，

，

　

Tl．

〃

MV

　r

，

　

Ml

／r

，

M3

／rl ’

，

　 　

ld

’ し

＝

is

，

，

　s；

，

　

d

」r

，

〔

d

；r

，

（

13rl

’

，

　 　 　Bri＝　Bn

，

_B翕＝

B ．，

　

B

_毳＝

Br，

＝＝B ．

，

　 　 　B蛋

＝

B轟

＝

B45，　 Bs

＝B56

，　 ほかの

B

湯

＝

0 　幾 何 学 的 条 件 式 （11 ＞において

，

式 （

19

）を考慮 する と

，

式 （20）と材 長不変 条 件式 （21）を 得 る

。

　 　

ld

＊

1

，　

＝

［

C

義］｛θ

L

　　 （

1＝

＝

1

，

2

，

3

，4 ：r

＝

1

，

2

，

……，

5＞ 　 　 　 　

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　《20） 　 　 　

C

鶉＝

C

げ＋1〕t 　 　 cos φ（

E −

1）V」

−

sin φ（

E

十

1

）Wj

＝

0

・

・

……

（

2

ユ） 　し た がっ て式 （

9

）よ り

，

式 （20 ）に対 応するつ り合 条 件 式は式 （22）と な る

。

　 　 ［Ak ］

IM

＊

b

−

_2EI

・

_P＊_〃 3 ［κ髭訓θ_し

翠

_｛O｝，

・

…・

・

（22） 　こ こ で

，

行 列 ［

C

刻 の転 置 行 列は行 列 し

4

刧 のずら し演 算 子E のべ きの符 号を変え たもの に等 しい

。

　

式 （19）

，

（

20

）

，

（22）よ り

，

節 点 ゴに お ける増分部 材端変位ベ _{ク トル}

1

_{θしに関す る座 屈 方 程 式は式 （23）} と な る。

　　

（［

Ai

』］［

B

套

．

］［

C

貌］

−

2Ej「

・

P＊_／

13

_［Kk ］）

1

θ_し 　 　 　

＝

［

Fk

、］

1

θし

＝

10

し　 （

k．

　

1＝

1

，

　

2，

　

3，

　4） 　 　 　 　

………・

一 ・

………・

・

…・

（23 ） 　 　 F，，

＝

8hsinS φcos2 φ 　 　 　 　 　十2（γ

一P

＊π2／2〕sin2 φ（

E

−

1十2＋

E

_｝

_，

　 　 Fn

＝

（F、1） t

＝

2（γ

一

P＊π 2 ／2）sin φcos φ 　 　 　 　 　

。

〔

− E −

】 十

E

）

，

　 　 凡2

；8hsinS

φ十2（γ

一

P

・

＊πz／2｝cos2 _φ 　 　 　 　 　

・

（

− E −

1 十2

−

E）

，

　 ほ か の Fnε

＝

Kkl

　

先と 同様に

，

増 分 部 材 端 変 位ベ ク トル

1

θ_しの座 標変

一

₁₃₄

一

換を考え る

。

式 （14）を式 （23）に代入す る と式 （24 ） を得る。 　 　 　［

F

蹇，］

1

θし

＝

lo

し　　　（ん

，1＝

1

，

2

，

3

，

4＞

・

…

　

一・

・

・

…

　（24） 　 　 　Ff，

＝

　F，，

，

　 F 轟

＝

F 2

，

　 F翡

＝F21，

　 f「姦

＝

F，，

，

　 　 　ほ かの Fr，

＝

K斎 　 式 （

24

）に循 環 条 件 式 （

16

）の解 （

17

）を代入 す る と

，

周 期 的モ

ー

ドの 直交 性よ り

，

座 屈 方程式はモ

・

一

ドq ご と に完 全に_分離され_， 式 （25 ）と なる_。

凵

_鷺

_膿

_鰹

_瑚

・…

_{鵬 ・} 　 　 　F翫

＝

2hsinS φcos2 φ十（γ

一

P串π2／2） 　 　 　

・

（1十cos 　2φ

q

）sinZ φ

，

　 　 　

F

窒，2

＝− F

毳，

＝

（γ

一P

＊ ff1／

2

）sin　

2

_φg

・

si皿φcos φ 　 　 　

F

言22

＝

2hsinS φ十（γ

一P

＊π 2 ／2） 　 　 　

・

（1

−

cos 　2_φσ）cosi φ

，

　 　 　 　 　ほ かの

F

_翫

＝K

_翫置，　

F

翻需 κ論 し たがっ て先 と 同 様に

，

座 屈 方 程 式 （25）は

，

W」の sin 型の モ

ー

ド群

IC

、9

，，

Stq

，

　C、gr

，

　S，er ｝と W」の cos _型の モ

ー

ド群 ｛

Si9，，

C，q

，

　Ssqr

，

　C．grl とに分 離 さ れ

，

両モ

ー

ド群に対 応す る 座屈 方 程 式は

．

相 等 しい。 　まず

，

Wi の sin 型に つ い て_考え る。　VJ

＝Cigcos

　2 φqゴ， ωJ＝

S2qsin2

φα∫を材 長 不 変 条 件 式 （

21

）に代入 す る と， 式 （

26

＞を得る

。

　 　 　

Ctg

＝

−

lsin

_φcos _φ9／（cos _φsin _φσ）｝

S！

_g

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（26 ）

こ の _関係を， WJ の sin 型 の モ

ー

ド群

IC

，。

，

，

S2

。

，

C 、

gr

，

　

S

‘erl に対 応す る座 屈方程式に代入 す る と

，

式

（

27

）を得る。

　 　 　［

F

耋亨］

IS

凄｝丿

＝

｛O し　　　（s

，

　t

＝

1

，

2，

3）

…

　

一・

・

・

…

　（

27

）

　 　 　

1S

まし

＝

ISIa

，

　C3ar

，

　

S4er

｝’

，

　　　Sl

。＝ ［（sin2 φ

・

COS ’

　

ilq

＋COS ’

φ

・

sin2 φ

q

）°

’

5

　 　 　 　 　／（COS φsin φα）］

S2e

，

　 　 　Flr

＝

sin2φ

・

COS2ilq

・

F套1，十COS2Pt

・

si皿2φα

・

Ft22

　 　 　

−

2sin φ

・

cos φσ

’

c〔｝s _φ

゜

sin _φ（1

’

F ：，t，

　 　 　Ff蜜

＝

F ，亨　

＝

_{sin φ}

・

COS _φ9

・

Kま，3 　 　 　 ＋cos φ

・

sin φ9

・

K

　 、s

，

　 　 　

F

ぞ豈

＝F

ぎ

f

＝

sin _φ

。

COS _φσ

・

_{K 事}1‘ 　 　 　 　

−

cos φ

。

sin φσ

・

κぎ2・

，

　 　 　

F

鷲

；

κ

、

33

，F

鷲

＝

κま，4

，

　

F

_；歪

＝

κ_輩、．

，F

’

_夛言

；

κ_ま、、 弾 性 座 屈 荷 重は各 q に関 する座 屈 条 件 式 （28）を満た す

P

の最 低 値で定 まる

。

　　　

lF

飜（q）

1

＝

0 ・

……・

………・

……・

……・

…・

…

（

’

28） 　ω」の COS 型につ い て も 購 の sin 型の場 合と同様の 操 作 をす ると

，

結 果と し てモ

ー

ド

IC

；g

，、

，

　

SZar，

　

C

．arl に竝 応 する座 屈 条 件 式 （28｝を得る

。

こ こ で

CS

_。は式 （29） で ある

。

　 　 　

C

；q

；

［（sin2 φ

・

cos2 φ

9

十cos2 φ

・

sin2 ¢

／

q）

　　　　　　

／〔s血 _φcos φσ）］

C

，，

……

∵

一 ・

…一

（29） 　

5，

3

　部材の伸 び剛 性と曲 げ 剛 性が無 限 大の_{場 合} 　 部材応 カ

ー

部材 変形 関 係式は 式 （

12

）で

EA

＝ ・ ・

，

　

EI

’

』

_{＝ 。 。} よ り式 （

30

）

，

（31 ）と な る。 　 　 　 e」

＝d

」r

；dGr ＝0 − ・

…・

・

一 ……・

…・

…・

…

（

30

）

　

　

　

ボ

。 一

［

 

1

』鬪

・

・

一 ・

一 一 ・

（・・） 式 中

，

∫

3，

鰐 は式 （32）で あり

，

N ；

，

理町は ス カ ラ積が 仕 事に

．

な る意 味で

，

そ れ ぞ れ

S

，

，

θ；に対 応 する応 力で 　あ る。　 　 　 　

’

　 　　 θ；＝ （1

− E 一

匸｝R ∫

，

　　

S

，＝ （8」

−

s二）／2

・

・

……・

（32 ） 　 幾 何 学 的 条 件 式 （

11

）において

，

式 （

30

）（

31

）を考 慮す る と， 式

．

（

33

＞と材長 不変条件式 （

21

）を得る。

　

　

　

［

sincosφφ（

− E −

／2（1十L十

E

E

）　　）　cossinφφ（E／2

−

1（1

−

− E

2十）

E

）

］

菰

暢

　　　

、

　　　　　

…………・

・

……

：

・

…………

_：

・

（33 ）

　

し た がっ て

，

式 （

33

）に対応 す るつ り 合式は

，

式 （

9

） 　よ り， 式 （

34

）と な る。　 　 　 　

、

’

．

　

　

　

隴

謝劉

識

盤

嶋

，

騨

。 　 　 　

Sin2．

φ（

E −

t十2十

E

） 　 　　

− P

／（21sin φ）

・

　 　　 　 　　 　 　 　　

．

sin φcos φ（

E −

1

− E

｝ 　 　 　 sin φcos φ（

− E

−

1十

E

）η」 　 　 　 　0 　 　 　

＝

　　　

．

・

・

…

　

一・

…

　（34） 　 　　 　cos2 φ（

− E −

i_十

_{2− E}

）　Wj 　 　 　 　O 以 上

，

式 （31 ）

，

（33｝

，

（34 ）より

，

_節点

j

で の増 分 部 材 端変位ベ _{ク ト}ル

iVJ

，

ω

］

r に_関する座_{屈 方 程 式 （}

35

_） 　が得

．

ら れ る

。

　

　

　

1／・・・… r）

［

　Xll 　 　 Xlz （κlt）

’

κ22

］

Sll

・＝

：

・

…・

……

_{（35 ・} こ こ に

_，

斛

，k2

を 式 （36 ）と す る と

，

式 （

35

）の行 列の 各要素は式 （37 ）で ある

。

　 　 　

hl＝kr ，

　　

hz

＝

k’

_／r

・

『

・

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（36_） 　 　　κ ll

＝

sin2 φcos2 φ縞 （

E

−

i十2十

E

） 　 　 　 　 　十si皿：φh2〔

−

E

−

2十2

− E2

） 　 　

一

sin2 φ

・

P （

E −

i十2十

E

） Xt2FsinS φcos

・

φん1（

E

−．

1

− E

） 　　十sin φcos φ

h2

（

E

−

2

−

2E

−

i十 2E

− E2

） 　　

−

sin φcos φ

・

P

（

− E −

i＋

E

）t x，，

ニ

sin ’ φcos2 φ左l　

l

− E −

’＋2

− E

） 　 　十 cos2 　

dih

，〔

E −

2

−

_4E

−

1 十6

−

4E 十

E2

） 　 　

−

cos2 φ

・

P （

−

E

−

1十2

− E

） 　 　 　

・

・

・

・

・

…

　

77・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

・

…

　

一・

・

…

　（37） 　 式 （35）に循 環 条 件 式 （16）の解 （17）を 代入する と

，

周期 的モ

ー

ドの 直 交 性より

，

座 屈 方 程 式は モ

ー

ド

_q

ご と に完 全に分離され _， 式 （38）

，

（39） とな る

。

　

　

　

［

．

1

二

：

：

1

：

：

：

］

1

：

1

−

1

…・

・

…一 ・

一 一

（・

8

）

　

　

［

．

：

：

：

：

：

：

：

］

ま

：

−

1

・

…・

……・

一 …一

・… こ こ に

，

_{式 （}

38

_）

，

_（39 ）の_行列の_各要素は式 （40 ）であ る

。

　XCdt

_，

＝

COS ！ φ

9 ・

sint φcost _φ左1　

．

　　 十4si皿2　

iPq・

cost _φα

・

sin2 _φん2

　　

−

COS2 _φ

_{9 ・}

_sin2φ

・

P ，

x。1、

＝−

Xs、、尸

一

sin φσ

・

COS 　_¢q

・

sin3 φ　COS 　¢

k

、 　 　 十4Sins φq

曾

COS φq

°

COS φ

「

S  φ

h2

　 　

−

Sin φq

・

COS φσ

・

COS φ

・

Sin φ

・

P ，

xcn

＝

sin2 φq

。

Sin ‘ φ

h

，十

4Sin4

φσ

・

COS2 φ

・

h2

　　 rsin ’φ9

・

cost φ

・

P

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（40） ま ず， ω」の sin 型につ い て考え る

。

式 （26） を用い て 式 （38） を

St

。に っ い ての 固 有 値 問 題に変 換 すると

，

sin 　

ilq

　＝ Oの 時

，

式 （41）

，

　sin φqキ0の時

，

式 （42＞ とな る

。

　 　　κc：：

・

Seq

＝0・・

一

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt−・

…

　

tt−・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

…

　（4ユ）

　　　

ISin2

．

φCOS2 φσ

・

κcll＋COS ’ φSin！

φq

・

x

。

，，

　 　　r2cos _φsin _φ9

・

sin _φcos _φq

・

_xsl2｝

S

：e 　 　 　

＝

0

・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

…

　（42） し た がっ

．

て弾 性 座屈荷 重

Pcr．

は

，

　q

＝

0の時

，

式 （43＞ とな り， qto の時， 式 （44）の

q

に関 して の最 低 値と な る

。

　 　　Pcr（ω

＝

cos2 φ

・

産1

・

・

……・

…・

・

………・

…・

…

（43 ）

　

　

　

Pc・（・）

−

1

。、。（

謂

1

嬬

（

筈

一

1）φ

亅

21e1 　 　　 　 　　 十4sin2 φq

・

k

ガ

・……・

…・

…・

…・

・

…

（44 ） 　ωj の cos 型にっ い て も

，

ω J の sin 型の場 合と同 様 の 操 作 を 行 う と

，

結 果 として

C

：e に関 する座 屈 方 程式 （45） を得る

。

　 　 　XCII

’

Clq＝0

， 　 　　

lsin

！

φCOS2 φσ

・

Mcn 十 COS2 φsin2 φq

・

Xctt

　 　　

−

2cos φsin φg

’

sin φcos _φ（〜

’

xsl21　C2q

；

　o 　 　 　

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（45） し たがっ て_， W_」の COS 型の場 合の弾 性 座 屈 荷 重は

，

ω， の sin 型の場 合と_{同 様 に}

，

式 （43 ）と式 （44 ＞の q に 関して の最 低 値となる。 　

6．

解 析 値の取り扱 う範 囲と解析 結果 　6

．

1　解 析 例の 取り扱う範 囲 　本 節で示す 正多角 形フ レ

ー

ム の数 値 解 析に お い て取り 扱う範囲は， 部材 数お よび各 断 面 諸 量が以 下の もの に限 る

。

　部材数 ：_自然 数 n _［3，。。］ 　 部材の細長比 ：λ［

10，

・ 。） 　部材の _曲げ剛性 ：

EJ

_（

O，

。 。］ 　弾 性ヒ ンジの回 転ば ね定 数 ：

h’

［

0，

・ 。］ 　支持ば ねの伸 縮ば ね定 数 ：

h

［O

，

叩） 7135

一

た だ し

，

正多角 形 フ レ

ー

ムの外 接 円 半 径 r は

一

定と す る。

　

ま たtEA を有限値と して誘導し た座 屈 方 程 式 （18 ） を用いて計 算し た結 果と

，

EA を無 限 大とし て誘導し た 座 屈方程 式 （

27

）を用い て計 算した結 果 との差は

，

λが 10 以上とな る EA

，

　EI

，

1の組み合わ せ の場合， ほ と ん ど無 視で き る程 度の もの であ る （例えば図

一

5a での φ2

＝O．5

の場 合を例に と る と

，

λ

＝

10の場 合の

Acr

に_対す る λ

＝

。 。 の_場合の Acr の_割合は

，

φ1 の全 領 域に お いて 100

．

　O％

−

IOO

．

2％ 程度）ので

，

弾 性 材 弾 性 ヒ ンジフ レ

ー

ム の弾 性 座屈荷 重の_{算 定}に は，

EA

　・C 　Vi

＝

。 。 の場 合の座 屈 条 件 式 （28） を用いて算 定す る

。

な お

，

部 材の伸び剛 性 EA を有 限値とし た場 合に は

，一

様 外圧に よ りフ レ

ー

ム は相 似 形に変 形す るので， 材 長， 半 径は， 座 屈直前の 大き さ を用いれ ばよい。 　6

．

2　 剛 性と弾 性 座 屈 荷 重の無 次元 化表 示 　正 多 角 形フ レ

ー

ム の部 材 数および各 断 面諸量 を， 6

．

1

節で示 した 解 析 範 囲の全 領 域に わ たっ て変 化さ せた時 の

，

弾 性 座 屈 荷 重お よ び座屈モ

ー

ドの_変化 を

，

同

一

の パ ラメ

ー

タ で比 較 検 討す る た め に， こ こで新た に無 次 元 化 弾 性 定 数 比 φ，

，

φ，および無 次 元 化弾性 座 屈荷重 A。r を 導入 する。 　φ、は

，

支 持ば ね と等 価 な 剛 性 作 用 を 持つ ， 部 材に等 分布す る支持ばねの_{単 位}長 さ当たり の ば ね定 数 c と

，

正 多 角 形 環の連 続 体と して の有効 曲げ 剛性 （EI ）

。

！ と の 比の_関数で_， 式 （46 ）で_定義す る。 　 　　Φ1

＝

＝

0

．

01Cl／（

0．

01　c_】十c2）

’

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

_（46_） こ こ に

，

c且，　c2 は式 （47）で， 式 中の （

E

∬）er

，

　c は そ れぞれ式 （48）， （49）で ある

。

　 　　c、

＝

cr ，　c，

＝

（

E

η。、／（

2

π¢3）

・

・

…・

……・

…

（47） 　 　　（

E

∬｝e ！＝ 〔2πfプn）［

h

’

EI

／（

EI

十

kt

の］

…・

……

（48） 　 　　c＝

h

_／

1

＝

h

_／〔

2r ・

sin _φ）

………・

…・

・

………

_（49 ） 　ま た Φ！は

，

有 効 曲げ撓 性に おける部 材の 曲 げ 撓 性 （1／

E

∬）の占め る割 合を表し

，

次 式で定 義する

。

　　　

φ 2＝ ［nl ／

EI

］／［2πr／（

EI

）e ！］

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（50 ）

一

_方

_，

_φ 1

，

Φ2 に対 応する無 次元化弾性 座 屈 荷 重と して は

，

式 （51）を考える

。

　 　　Acr

＝Peq，

cr〆（0

．

01　c1十 c2）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（51 ） 式 中 ρ。q は等 価 分 布 荷 重で あり式 （52 ）で あ る

。

　 　 　ρea＝

Pn

／

2

πr

………・

………・

・

…

　

……・

・

…・

・

（52） 　

6．

3

解析結果 　φ1 と

4c

。 の関 係を

，

φ，が

0，0．

1

．

0

．

5

，

1の 4種 類に つ い て表し たグラフを

，

フ レ

ー

ム の部 材 数が n＝ 10

，

n ＝ 30の_{場 合}につ い て図

一

5に示す

。

図 中， qは座屈モ

ー

ドの_{波数 を表 す。} 　図

一

5に おい て， φ，

＝

1付 近

，

す な わ ち

，

支持ばね定 数が フ レ

ー

ム の_{連 続 体}と して の_{有 効 曲}げ剛 性に比ぺ て十 分大きい _{場 合}の

，

弾 性 座 屈 荷 重お よ び座 屈モ

ー

ドの性 状

一

₁₃₆

一

↑

；

　 　 　 　 　 　 　 O 糾 　 　 　 　 　 O

（

N 。 ・ ♂ u 『

ミ

闘 。 ∂ 。 画   g0

↑

1

02

昌

1

　

Φ₂耳0

・

5 q

＝

0 O

置

0q

＝

₂ q

≡

3 02

＝

₀

_・

1q

≡

₄ 　 q85 0 　 　 　 　 　 　 　

9

　 　 　 　 　 0

争

＋ H ・

弓

ミ

臼 。

．

ず 。 設 H 。 く 　 0

．

2　　　0

．

4　　　　0

．

6　　　 0

曾

8 0 ゴ0

・

01c1ノ‘0

・

01c1 ＋Cl2 ）



一 図

一

5（a _）φ，

一

φ，

−

A，．関 係 〔n

・

＝

10） 1 q冨o 　Φ₂

冨

1 　Φ₂

富

0

・

5 02

冨

0

。

1 q

＝

2 q

＝

3 02

蓐

o q

＝

4 　

陶

理

　

一

5 ジ 0 献 　 ％ 　 0140

■

〔 0 ’ 　 1 　 C 　 1 　 020

。

iOl 　 O 図

一

5（b） ΦドΦ2

−

Ac

．

関 係 （n

＝

3e）

 

　　　　　．

〆

　’曁

セ

1 　 　 　 　

Q

　 　O 図

一

一

6　n6EI ／（384　cr ’_）

一

_Φ t

−

n ‘ p。a

、

． ．／（96　cr ｝関 係 を表す た めに

，

n6EII （384　cr ‘ ）

．

．

Φr

−

n‘Pev

．

cr／（96　cr ） 座標 を 用いて弾 性 座 屈荷重を整理 し直し たもの を， フ レ

ー

ム の_部材数が n

；

　

30

_{の場 合につい て図}

一

6_に示す

。

座 屈モ

ー

ドにつ い て は

，

φ、

＝

・O

の場 合の ジ グザグ座屈 、

モ

ー

ドと Φ2

＝

1の場 合の個 材 座屈モ

ー

ドの み を

，

n

＝

31 の もの と併 記し て， 原 形 状 を破 線で

，

座 屈モ

ー

_{ドを実 線} で示す

。

図中 q は座 屈モ

ー

ドの波 数で ある

。

　図

一

6 よ り， 同 波 数の座 屈モ

ー

ドで もフ

．

レ

ー

_{ム の 部 材} 数 が 奇 数 と偶 数 とで はその性 状が異な ること が分か る。 弾 性 座屈荷 重につ い て は ほ と んど差 異が な く

，

個材座 屈 で定 まる弾性座 屈 荷 重 P ぎ

．

（式 〔10） 参 照 ）は φ五→

1

の場合

，

表

一1

の ように な る

。

な お

，

フ レ

ー

ム の部 材 数 が偶 数の場 合は

，

φ、の値に か か わ らず 理。

＝

1であ る。 　ま た

，

接合部が ピンの場合の_弾性 座 屈 荷 重は_， 部 材 数 n が大の場合

，

図

一7

の よ うにな る。

宗

↑

（

ボ ＋ ♂ H °

6

）

丶 臼 。

_、

σ 。 帛 臼 ど ジ グザ グ座 屈 ＼ 　 　 　 、 　 　 　

、

、

個 材 座 屈 些 2ユ　 　 　 　0 ←

　

n6EI ！384cr4 N

↑

・ ♂

ξ

廴

罫

印 　 　 　 　 O 図

一

7　接 合 部が ピン の場 合の弾 性 座屈荷 重 4 　 　 　

「

oe 　 　 　 1 図

一

8（a _）Φ、

−

n

−

AcT関 係の立 体 表 示 000 00

．

2　　　0

．

4　　　0

．

6　 　　0

．

8

　　　

01

＝

0

・

Olc1ノ（O

・

OエCI＋c2 ）



一一

〉 　 　図

一

8（b）　di、

−

n

−

A。．関 係の平 面表示 −

一

表

一

1Φ1

−

q の場 合の フ レ

ー

ム の個 材座屈 荷 重Pぎr n Φ230

．

0 Φ 2

・

O

．

1 Φ 2

・

O

．

5 Φ2

・

1

．

0 31

．

ODDOO1

，

021661

．

148321

．

50706 51

．

000001

．

008251

，

055651

，

19173 71

．

00000 互

．

004271

，

028711

，

D9921 91

．

000001

．

OO2601

．

0工

7451 ，

06037

111

．

000001

，

001751

．

0117L1

．

04054 211

．

000001

．

000481

．

003221

．

011上7 311

．

00000 工

，

OOO221

．

001481

．

00513 　　図

一5

に おいて

，

n

＝10，

　n

・

＝30

の両 者 共， Φ1の 全 領 　域に お いて Φ，

＝0

の場 合が， ほ ぼ

Acr

の下限 を与え る

。

　そ こ で_， フ レ

ー

ム の部 材 数 n が弾 性 座 屈 荷 重お よび座 　 屈モ

ー

ドに与え る影 響 を 表すた めに

，

Φ2

＝

0の場 合の 　η

一

φ1

−

Acr の関 係 を 図

一

8　a に

，

それの φ且

一

A， 。面へ の投 　 影 図を図

一

8b に示す

。

　 　

7．

検 　討 　 　7

．

1 座屈モ

ー

ド

　　

有効 曲 げ撓性に お け る

蔀

材の曲げ撓性 （1／

EI

）の 占 　め る割合に か か わ らず

，

支持 ばね定数が フ レ

ー

ム の_有効 　曲 げ剛性に比べ て_極め て小さい_{場 合}には

，

剛 体回転が生 　じ

，

支 持 ばね 定数が や や 大 き く な る とq＝

2

の楕円モ

ー

　 ドが現れ る。 さ ら に支持ばね定数が増大す る と生じ る座 　屈モ

ー

ドの波 数が増し

，

2≦q≦m

−

1の すぺ _ての波数の 　波 状座屈モ

ー

ドが現れ る

。

支持 ばね定 数 がフ レ

ー

ムの有 　効曲げ剛 性に比べ _{て極めて大きい場合に は}

，

_{有 効 曲 げ撓} 　 性にお け る部材の 曲 げ撓性 （ユ_／

EI

_）の占め る割 合 が 相 　対 的に大 き く な る と， 高 波 数の 波状座 屈モ

ー

ド

，

あ る い 　は個 材 座屈モ

ー

ドが見られ_， 部 材の曲 げ撓 性の 占める割 　 合 が 相 対 的に小さ く な ると

．

ジ グ ザ グ座 屈モ

ー

ド

，

ある L 　い は個 材 座 屈モ

ー

ドが現れ る。 特に

，

接 合 部がピン の場 　合は個 材 座 屈モ

ー

ドとジ グザグ座 屈モ

ー

ドだ け が生じ

，

　n が大きいと きには

，

近 似 的に

，Elfcr

‘ ≦

384

／nG の 場 　 合は前 者が

，

EI／cゲ≧384／ガの場 合は後 者が生 じ る。 　 　7

．

2　 弾 性 座 屈 荷 重 　　剛 体 回 転

，

ジ グザグ座 屈， および波 状 座 屈で定ま る弾 　 性 座屈荷 重

Acr

に φ2 が 及 ぼ す影 響は

，

図

一

5にasし た 　よ う に ほとんどな く，

A 。

r の上 限 値に対する下 限 値の割 　合は n

＝

10

_，

n

＝

30の ど ちらの場 合 も

，

φ1の全 領 域にお 　い て

，

約 7割

〜

10割 程 度で あり

，

Φ2

＝

0 （剛部材弾 性ヒ 　 ンジフ レ

ー

ム）の場 合がほぼ下 限を与え る。 し た がっ て 　工学 的に は

_，

分 布荷重の単位でみ た上記の座 屈で定ま る 　弾 性座屈荷重 Peq

，

r は

，

φ2＝ 0の場 合の弾 性 座 屈 荷 重 算 　定 式 （43 ）， （44 ）に式 （48 ）， （49）の関 係 を代入 し た式 　 （

53

）に おいて， q をすべ て の領 域につ い て変 化 させ た 　場合の_{各 q} に関する _p

。

_g

_．

r（q

−

）の最 低 値である

。

　

　

　

・・a

，

・・）一

〔

。、。（，

鵜

…

詈

壽

（

鷺

．

、）φ

ザ

（ … φ・_φ）・r

一

₁₃₇

一

　 　　　 　　 　十［sint φq／φ2］（

EI

＞e ！／r3

・

…………・

（53 ＞ 具 体 的には

，

q を連続量 と見て

，

　p。g

．

T（q ）を q で微 分 　し て

，

_pεg

．

r （r）の極値に対 応す る qの実 数値を求め る

。

qの

一

つ の近似式と して式 （54）を示す

。

　 　　　q； （

2r

‘c_／（

EI

） eJ） 匚／6

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

tt9

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

…

　（

54

） その実 数 値 q の近 辺の _q の整 数 値 （q≦m ）に対 して p。e

，

，

（q）を算出し， 離 散 座 標 q に関す る Peqr （q ）の極

．

小値が あ れば， そ れ が座屈荷重で あ る。 　

一

方

，

支持ばね定数 が十分大きい場合

，

個材座 屈で_定 　ま る弾 性座屈 荷重 は

，

部 材数 が 偶 数の_場合 は

，

α＝ _βの時

，

す な わ ち部材 軸 力が両 端ピンの

Euler

荷 重に達し た時 座屈 す る が

，

奇 数の場 合は_， 隣り合う節 点回転変位が異 符 号の モ

ー

ドは幾 何 学 的に存 在せ ず

，

各 部 材が

一

様に は 座 屈し ない ことか ら

，

表

一

1に示し た ように

，

両 端 ピン の

Euler

荷 重の場 合 よりも 幾 分 大きくな る。 しか しそ の差は

，

部 材 数 n が大きく な る に従い小さ く な る の で

，

個 材 座 屈で定ま る弾 性 座 屈 荷重 は

，

n が十 分 大きい_{場 合} に は

，

部材軸 力が両 端 ピンの

Euler

荷重に達し た時の 荷重に極めて近 く

，

こ の 時の 部 材 軸_力は有効強 度io）_に 相 当

_．

し てい る。 すな わち分 布 荷 重の単 位で み た個 材 座 屈 で定ま る弾 性 座 屈 荷 重の下 界p。e

，

s は

，

式 （55｝で算 定 　で き る

。

　 　　 Pea

，

s

＝

nπ

E

〃 （4　r3sin

’

¢ ）ij　n2E_∬／（4　r3）

…・

（55 ｝ 　 6

．

1節で示 した解 析 例の取り扱 う範 囲に お い て_， 弾 性 座 屈 荷重は式 （53 ）の q に関し て の最 低 値と

，

個 材 座 屈の _{小 さ}い _方で定ま る。 す な わ ち

，

実 用 的に

，

弾 性 座 屈 荷

ig

　p_。qcT は

，

式 （

56

）と な る

。

　 　　 Peg

，

CT ＝ ＝Min ［Min （Pealr（q））e　Peq

，

s］

…一 ……

（56）

　 特に_， 接 合 部が ピンで正 多 角 形フ レ

ー

ム の連 続体と し ての有 効 曲 び 剛 性 が零の場 合

，

座 屈 荷 重は_， ジ グ ザ グ座 屈で定 まる座 屈 荷 重 躍 器

，

あ るい は

，

個 材 座 屈で定 ま る座 屈 荷 重 ρ

。

嫺 の うち 小さい方で定 まる

。

前 者の座屈 は， 式 （

53

）におい て

，

q

＝

m

，

（

EI

）

。

！

＝

・

O

を 代入 し た 式 （57 ）で算定で き

，

nが特に小さ く な けれ ば式 （

58

） で近 似でき る。

　　

　

・

et7

・

一

｛

。、。（

譌

1

巽瓢

．1

｝φ

｝

聡

・・φ伽 　 　 　

・

・

−t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（57） 　 　 　 ≒96cr ／n・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

…

　（58＞ ま た， ジグ ザ グ座屈と個 材 座 屈が同 時に生じ る場合の， 部 材の 曲 げ剛 性EI と単 位 長さ当た り の支 持ばね定 数 c

　

との比は

，

p

_{齢 ；}

p。g

．

s より算定で き

，

　n が大の と き

，

式 （59）と な る

。

　

，

　　　EJ ／cr4

＝

384／n6

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（59） 　し た がっ て

，

図

一

7に示し たよ うに

，El

／c〆 が384／nE 　よ りも小さ く な る と個 材 座 屈が

，

大きくなると ジ グザグ 座屈が生じ る

。

　 7

．

3 正 多 角 形フ レ

ー

ム の極 限 として の円 環が円 周 方

一

₁₃₈

一

向の_分布ばねで支持さ れ た場 合の弾 性 座 屈 荷 重 算 定 式 　 部材 数 n が無 限 大の時， φは十 分に小さ くな り

，

　　　

si且 φ

＝

π／n

，

　 cos _φ〒1

……・

……・

…．

…

（60 ） が成 立 する。 こ の関 係を 式 （53）に代 入 す る と

，

　　　

ρ¢q

．

c7

＝

（12〔

EI

）eノ／r3 十 c7 ／（q

．

Ll _）2

・

…

　

rrr

・

…

　

（61 ） を得る

。

式 （61）は

，

部 材 n が無 限 大の 時の 弾性座 屈 荷 重算定 式で あり， こ れ は巨視 的に見て

，

変 形 後も その 方 向 が 変 化し ない

一

様な半 径 方 向 荷 重を受け る。 単 位 長 さ当た りの ばね定 数 c の 分 布ば ねで円 周 方 向に弾性支 持され た， 部 材の曲 げ 剛 性 （

EI

）

。

ノを有 する円環の弾 性 座 屈 荷 重 式である

。

　7

．

4　フ レ

ー

ム の有 効 剛 性が

一

定 条 件 下で の部 材 数が 弾 性 座 屈 荷 重と座屈モ

ー

ド に与える影 響 　正 多 角 形フ レ

ー

ム の外 接 円 半 径と連続体 （円環）と し て の_{有効 曲}げ剛性が

一

定条件 下で_部材 数 を増や してい く 時

，

高波数の波状 座 屈 と ジ グ ザグ座 屈 は部材数の影響を 顕著に う け る。

一

方， 低 波 数の波 状 座 屈と剛 体 回 転は部 材 数が20程 度 以 上で は部 材 数の影 響はほと ん ど な く

，

連 続体的性質を示す

。

特に_， 弾 性 材ピン節フ レ

ー

ム のジ グザ グ座屈の弾性座 屈荷重は式 （

57

）で算定で き る

。

　 8

．

結 　語 　 各 辺が材 軸 方 向に弾 性 支 持さ れ た 正多角 形 フ レ

ー

ム の 各 節点に

，

大 きさの_等しい_{半 径方 向内向}き の

，

変形後も 方 向の変わ ら ない荷重が作 用し た 場合の

，

構面内弾性座 屈 荷重 お よ び 座 屈モ

ー

ドを， 部 材 数

，

部材の曲げ 剛性

，

節点での回 転接 合剛性， 支 持 ばねのばね定 数の

，

すべ て の領 域につ いて検 討し図 表 化した。 さらに

，

連 続 体と し て の円 環 との対 応 を 検 討する意 味で

，

部 材の曲げ剛性と 節 点で の回 転 接 合 剛 性 を用い た連 続 体 （円環 ）と しての 有 効 曲 げ剛 性 を含む弾 性 座 屈 荷重算定式を提 出し

，

座屈 モ

ー

ド

，

極 限と して の円環の座 屈荷重 式

，

お よびフ レ

ー

ム の有 効 剛 性 と正 多 角 形フ レ

ー

ムの外 接 円半 径が

一

定条 件 下で の部 材 数の変 化が

，

正多 角 形フ レ

ー

ム の弾性座 屈 荷 重お よ び座 屈モ

ー

ドに与える影 響を検 討し た。 　 以 上よ り次の結 論 を得た。 　 （

i

） 解 析 方 法 　部 材数 が無限大の場合の円 環， お よ び

，

剛 部 材で構 成 さ れ るフ レ

ー

ム の弾 性 座 屈 荷 重は

，

支 持ば ね定 数の項と 連 続 体 として の有 効 曲 げ剛 性 項の和とし て式の形で表す こと がで き

，

かつ _{座 屈}モ

ー

ド も簡単な式で_{表 現}で き る

。

　（ii） 座 屈モ

ー

ド 　 部 材数が

一

定条件 下で支持弾性とフレ

ー

ム の連 続体と して の有 効 曲 げ剛 性の比が変 化す る時

，

q

＝

Oの剛 体 回 転と_， 2≦

q

≦m の す べ ての _波の座屈モ

ー

ドが現れる。 特に

，

接 合 部がピンの場 合は_個材座屈モ

ー

ドと ジ グザグ 座 屈モ

ー

ドだ け が生 じ

，

n が大きい と きには

，

近 似 的に

，

EI

／cゲ ≦384／ne の場 合は前 者が

，

　 EIIcr ‘≧384／nS の 場 合は後 者 が 生じる

。