個材の座屈, 塑性化で耐力の定まる複層立体トラス平板の大変形解析

(1)

1

論　文

1

UDC ；624

．

023

．

85 ：624

．

04 日本建築学会構造系論文報告集第 359 号

・

昭和 61 年 1月

個材

の

座屈

_，

_塑

_{性化}

で

耐力

の

定

_ま

る

複

層

立

体

ト

ラ

ス

平

版

の

大

変

形

解析

正会員正会員正会員

鈴

小

木

河

崎

敏

利

郎

＊

行

＊＊

均

＊＊＊　 §

1．

序　平版状の_複_{層立}_体トラス_構造においては_， _構成部材の個材座屈あるいは塑性化により全体の耐力が規定される場合が多L_）

。

これを解明する上での手法として

，

従来

，

簡便な極限解析

，

あるいは個材の挙動をモデル化して扱う方法が数多く提示されておりη

・

8［，さらに，剛域と回転バネを同時に考えた部材モデルも考案されている1°）

_。

また

，

これとは別に

，

ラチス構造の力学的性状を巨視的に把握する手法として_，個材の弾性座屈で定まる有効強度の概念を用いた連続体的解法も提示されている9 ）

・

11 ］

。

　これらの研究により

，

平版状複層立体トラス構造の強度面に関する性状は良く把握されているものの_，塑性域での挙動あるいは初期座屈後の大変形挙動を明らかにする上では

，一

般的な複合非線形解析法によらざるを得ない

。

特に模型実験によれば_，初期座屈後，若干の荷重低下をみるものの

，

大変形域においても比較的安定した挙動を示す例が報告されているが12 ）

，

この面における解析的な研究は少ない

。

　複層立体トラス構造に離散的な手法を適用する際の困難さは

，

部材

，

節点数が多いことに起因する。これを解決するくふうの

一

つとして

，

筆者らは

_，

繰り返される基本ユニットを

一

つの_集_合_要_素として要素剛性式を導く手法を提示しているS）。この解析法は

，

要素系での剛体変位を分離しひずみエネルギ

ー

等を計算しているが

，

部材系でみると未だ剛体変位を残していること

，

および個材座屈を扱う上では

，

座屈する部材に内部節点を設ける必要がある

。

　本論文ではt これらの点を改良した新しい集合要素による解析法を誘導し

，

さらにその過程で

，

並進成分と回転成分に関する剛性式を分離することを試みている

。

並進成分と回転成分の分離により_，モデル化した部材挙動を採り入れることも容易となる

。

荷重条件と部材細長比をパラメ

ー

タとした解析により

，

本解析法の_{有効性}および代表的な複層立体トラス_{平版}の大変形挙動が論ぜられる

。

　 §

2．

並進成分と回転成分を分離した解析法　

2．

1

概　要　本節では

，

従来行ってきた集合要素による幾何学的非線形解析法をさらに発展させ

_，

並進成分と回転成分を分離した解析法を誘導する

。

本研究においては，

Fig．1

に示すような複層立体トラス平版（

Square−

on　

Square

Double−layer

Grids

）を対象としているため

，

8部材からなる四角錐要素を基本集合要素としている。集合要素

，

単

一

部材各々に固有の_移動座標系を設定し

，

構造物全体の変形が大きくても

，

部材座標系における相対変形は微小であるとの前提のもとに_， _部材座標系での節点カ

ー

節点変位関係は線形関係が成り立つものと仮定する

。

　本節における解析例においては

，

部材は常に弾性範囲内にあるものとする。　 2

．

2

　要素座標系および要素節点変位の定義　

Fig．2

に示す四角錐集合要素

S

を考える

。

要素座標系は

，

節点 1を原点

，

部材1

−

2をx 軸，節点1，2，3を含む平面を xy 平面とし

，

これと右手直交系をなすように z 軸を定める

。

要素の剛体変位（

S

→

S

＊）による節本論文の

一

部は

，

文献 1）

−

4）において発表した

。

　零 _{東京} 工業大学　教授

・

工博 i＊東京工業大学　助手

・

工博＊＊＊（株）日建設計構造部

　（昭和60年5月13日原稿受理） Fig

_．

₁Square

−

on

・

square 　doub且e

．

layer　_grid

(2)

点 n _（n

＝

1

〜

5）の増分変位は_，要素の剛体回転

9

の

2

次項まで考慮することより

，

文献5と同様にして

，

　　　ムロ諸＝＝_∠

SUi

十

Rn ’

∠」

9 −

十

一

Rn●

B

．

A9 ・

・

…

（

2．1

）　　　∠

L

θ妻＝ _∠

L

≦〜

・

…

　（2

．

2）　ここに，

Rn

，　

R 。

は節点 n の変位前座標系に関する位置ベ _{クト}ル

Pn

の関数

，

B

は

9

の関数であり

，

文献

5

の

Appendix

に示すものと同

一

である

。

要素の剛体変位と共に移動する各要素固有の移動座標系X

’

y

’

Z ’

に_関する節点 n の相対的変位〔

S

孝

→ S’

）を要素節点の相対変位と定義し

，

その成分をFig

．

3に示す。　移動座標系に関する要素の _{相対} _{変位 AU}

’

（

＝

〈Au

’

e

・

Ae ’

t＞｝は

，

要素内の

5

_節点をまとめることにより

，

変位前座標系に関する節点変位

AU

（＝＜

A

_”’Aθt＞）と次式の関係を有する。　　　

Au ’＝T

￥

Au − R

「

A9 …一・

…・

・

………

（2

．

3）　　　 Aθ

’

＝

T9∠」θ

一

RS∠L9

・

…

一・

・

…

∵

・

…

　（2

．

4）　ここに_，

T

_￥_，　

TU

，　

RT

，　

RB

は移動座標系から変位前座標系への変換行列

f

（文献 5参照）の関数であり

，

その内容は

Appendix

に付す

。

2

．

3 部材座標系および部材節点変位の

_庫

義　部材座標系においては

，

変形前

，

変形後を通じ原点を節点

1 ，

他端を節点

H

として

，

節点

1

から節点且を望む方向を部材 x 軸とし

，

これと右手直交系を成すように y

，

z 軸を決める

。

この定義により節点

1

の並進変位

3

成分

，

節点

H

の _y

_，

z 方向の並進変位 2成分は常に零と Z

’

2

＼

　　　 x

Fig

_．

₂Unit　cQ

−

ordinate 　sys しem

ム凵“

＝

（

「

Aeti 3 ） sdeh 〕

2

’

＼

　　　 x

’

Fig

．

3　Relat｛ve 　disp【acement 　vector 　at 　each 　node

なる

。

　変形後の_部_材_{座標}_系における節点変位を，前節で定義した要素の相対変位成分と結びつける

，

ただし

，

ここでは要素の剛体変位を除去した後の_{要素}の相対変位は微小と考え

，

微小回転の仮定に基づいて定式化を行うものとする

。

以下の定式化は

Fig．

4

に示す部材

3−5

（）に関するものであるが

，

ほかの部材の場合も同様に導くことができる。　変形後の部材座標系での節点

1 ，

皿の並進変位成分 △嵋

，

△購は

，

変形前後における部材座標系での座標ベクトルの差であるから

，

　　　△岨

＝

0

…・

…………・

・

…・

……・

（

3．1

）　　　△麗黠】

＝

λち（x9

−

xl ｝

一

λ7（Xs

−

x3 ）

・

…

9鹽

・

（

3．2

）　ここに

，

λ，

，

λ；は要素座標系

X ’

y ’

Z ’

から変形後

，

変形前の部材座標系への座標変換マトリクスであり， xl ， x

。

は変形後

，

変形前の節点n の要素座標系X

’

Y ’

Z ’

に関する位置ベクトルである。　また xA と Xn の間には前節で定義した要素の_{相対}_変位成分を用いて　　　xA ＝ Xn ＋

AuA ・

………・

・

…・

………・

一

（3

．

3＞の関係があるので，（

3．

1

）式，（

3．2

）式は次式のように書きかえることができる

。

　　　Aur，

＝

0

・

…

9・

−9・

・

…

一一・

・

一

・

…

　（3

．

4）　　　

Au

器u

＝

λ（

Au9−

△ ul）十（λ；

一

λ，）（Xs

一

工 3｝　　　　　　　　　　

・

…

一

・

…

t・

・

tt・

・

（

3．5

）　変形後の_{部材}座標系での回転変位成分

A

θ

7，

，A

θ

7，

、

は_，部材の剛体回転を

AA

とすると次式で表せる

。

　　　△θ猛

＝

λ；（

A

θ

S

− AA

）

・

…

tt・

・

…

t−・

・

…

　（

3．

6

）　　　∠

L

θ籤1

；

λ

5

（

A

θ：

− A

ρh）

・

…

　（3

．

7）　結局

，

変形後の部材座標系における節点変位は，要素の相対変位成分を用いて並進変位成_分

，

回転変位成分そ

Z

∂ −

．

0

τ

謬

2 ’

＼

_x

，

Fig

．

4_Nodal　displ_尹cement 　inthe　member 　cQっ rdinate 　system

(3)

れそれ次のように表せる。　　　∠」u野

＝

T尹￥4ロ

’

十 ∠鮎

T

尹

X

，

・

…

曾

・

…

P『

・

（3

．

8

）　　　△ θ墾

＝

Tr，

’

（△ θ

’

一

ム

R7

）

・

…

甲

…

凾

「

9・

・

…

　（3

．

9 ）　ここに

，

　　　X ；

＝

〈　 t　　　 t 工 3　 t5〉

・

……・

………・

・

（3

．

10a ）　　　ム麗野

＝

〈△麗野　△ur ：〉

・

…

一・

…

（3

．

10b ）　　　

A

θ野t

＝

〈∠

L

θ乳

i

　∠

L

θ豬〉

・

…

　（3

．

10c ）　　　

Au

’

t ．

．

〈

Ault

　Au 螽t＞

・

…

　（3

．

10d ）

A

θ

’

t

＝

＜

Aelt

Aegt

＞

・

…………・

…・

_（3

．

10e ＞

AR

；

＝

〈

Apl

△pl）

・

一

・

一

・

一

・

一

・

一

・

『

一

・

『

一

・

．

（3

．

10　

f

｝

T

…

一

、

［

A　λ；

］

G

−

・

……一

………

_（₃

_・

₁_・₉_・

・・一、

［

λ；　

・

_i

］

‘

………・

・

…・

一一・

_・₃

_・

₁_・_{h ・}

△

T

・

一

、

レ

、

冨

蝦

二

、

］

5

…・

・

_…

₁

_{・・}_）　次に要素座標系

X

’

Y

’

Z

’ から変形後の部材座標系への座標変換マトリクス λ；（

＝

［λ毎 λ勾渇』）を定義する。　

Fig．

5に示すように

，

要素座標系 X

’

Y ’

Z ’

に対する変形前の部材座標軸方向余弦ベクトル λ，（

＝

［λ，、）L，y λ，』）は

，

部材座標系の原点の回転

Ae

三（

＝

〈△θ

1 ．

△ θ蝕

AeSDE

）により λナ（＝［_λも _λゐ λ_翔）となる

。

　　　λ

7 ；

H_，

’

λ7

’

”・

’

一

’

一…

一・

・

…

　（3

．

11＞

H

・

一

［

壇

謡讐

剃

一　変形後の部材x _軸の方向余弦ベ _{クト}ル λ；x は，変形後の部材両節点を結ぶ軸の方向余弦ベクトルであるから，　　　λ転＝ _（_x9

−

xl_）_／

1x9−

xl1

・

…・

・

…・

……

（3

．

13）　したがって驫と λ；x に直交する軸を回転軸

M

とし，勝を回転させ λ

1r

に

一

致させることにより

，

_変形後の部材座標軸方向余弦ベ _{クト}_ル _λ

1

_は

_，

_{次式から求める}ことができる

。

Z

’

x

’

一 28 一

塩

＼

↓

・

＼

X

’ Fig

_．

₅Member　co

−

odinate 　system

M

’ ＝

Hm ・

λ尹t

・

…

一・

・

…

−t・

・

…

　（

3．

14

｝ Hm ＝：

［

　　1　　　

−

_{△ θ}_mg _△θ 闇7膨ム θH7ε　　　1　　　

−

△θMTエ

ー

_{△ θ} 駕7シ　ム θ”1エ　　　

1 ］

・・

_（_…₁₅_）　ここに， △

e

彫（

＝

＜△θMlエ

A

θmy 　

A

θMlz＞つレま λ義を λ銭に

一

致させるのに必要な回転量であり

，

次式により与えられる。　　　∠

L

θ』π

瓢

λ糞』×Xx

・

…

　（3

．

16）　部材の剛体回転は

，

変形前の部材座標軸方向余弦ベクトルをある軸の回りに回転させ

，

変形後のそれに

一

致させるのに必要な回転量である。ここでは微小回転の仮定に基づき

，

回転のベクトル和が成立するものとし

，

次式で評価する

。

　　　∠Lρ7

＝

∠

L

θ！十 ∠

Le

短7

・

…

一・

・

…

　（

3．

17

）　2

．

4　全体座標系における剛性方程式　変形後の部材座標系では節点変位増分と節点力増分は通常の微小変形理論による関係式が成立するものと仮定し

，

並進成分

，

回転成分に対する剛性マトリクス

KT ，

鰐を次式で評価する

。

　　　 6

　　　　　　．

．

● 　

o

o

● K

甼

＝

K

晋＝ 6 侃丁酣丁

・

…

甲

・

_（₄

_。

₁_）

●

∬

EJ4

JE

‘ 4

，

GKl

　　 2E∬ 　　　

11E

‘ 2 GKl 　　 2EI 　　　

l

　　　　　2EI 　　　

l

“

T4EI

　l 　　 4Ef 　　　

l

6 　　　 6 　　　　

・

…

一・

・

…

　（4

幽

2）　ここに_，

A

_， ∬ はパ _イプ部材の断面積，断面2次モ

ー

メント，

1

は部材長さ，

E

，　

G

はヤング率

，

せん断剛性

，

K はサンブナンのねじり定数である

。

（4

．

1）

，

（4

．

2

）式に対応する内力ベクトル ’踟

，fT

．も次式で評価する。

・監・

一

・与

ズ

’駈…

………・

・

…・

……・

…

（・

・

3

）

fT

・

− cz

∬

frdedx………『

・

…・

・

……

（… ）艦 7＝

P

・

…

一…

9・

・

…

一・

一

（495＞

(4)

fPde

一

2M2

−

_（

_{6x − 21}

_）

_Mz

− 2M

ッ

ー

_（₆_こ_じ

一

₂_の_My 　　Msv

一・

…

一・

・

…

_（₄

_．

_6）　

CT，．

、

C

β は部材座標と

一

般化座標を結びつける変換マトリクスである（

Appendix

参照）

。

部材軸方向の積分においては

，

両端での軸力

PI，

P

，

モ

ー

メント脇1

，

Ms

”

，

M 。

i

，

M2n，

Msn ，

Msva

を_{線形補間}している

。

要素座標系での剛性マ _{トリ}クス K4

，

KX および内力ベクトル f扮

，

f

融は前節の _（3

．

8_）

，

_（3

．

9_）式を用いて上述の式を変換することより求められるが

，

ここで要素の相対変位

AU ’

（＝ _〈

Au ’

t　

A

θ

’

t＞りの _{関数}である

Ap ，

ATm

を

AU ’

に関して線形化する。　　　

AA ＝

＝

MT ・

∠

1U ’・

・

…

曾

・

…

t−・

・

一

・

（4

．

7）　　　△ 丁野』

6 ；

M 尹

・

△U

「

…

∴

・

…

（4

．

8）　　　

A

｛

1 ’

t

；

_〈

_Au

…t　∠

L

θ

St

Augt

　∠

Legt

＞

『

曁

…

曁

・

…

　（4

．

9

）　　　

M7 ＝

s［

− M

，　

M

；

M

，　

・

］ 12

…・

………・

…

（4

．

10）

暁

［

− Ml

Mlt

ih

1］

”

・

…・

…

_（_… _{11 ）} 　ここに_，

M

_，，　

M

；，　

M

夛，　

M

ダは要素座標系に対する変形前の部材座標軸方向余弦ベクトル λ7 の関数である（Appendix 参照｝。（4

．

7）式

〜

（4

．

11）式を（3

．

8＞，（3

．

9｝式に代入した変換式を用い

，

要素座標系での剛性マトリクス_等は

_次

式のように_表せる。　　　 s　　　

　　　κ￥； Σ ［_丁穿

・

K

_？

・

_路

一

雌

・

7 譖

・

K_晋

・

Tr ，

・

M 、　　　 ‘

覃

1 　　　　　十Mft

°

K尹

幽

Mr

｝

’

”一’

・

…

　（4

．

12

）　　　 s 　　　　　　　

K

督

＝

Σ】［丁審

・

K

詈

。

丁施

一M7 。T

？e・　

KP ・

τ覧

・

M2

　　　 t

＝

t

・

一

←Mr

／

t

・

K翠・M _『

’

］

…

一・

・

一…

幽

・

…

∵

・

…

（4

．

13）　　　 e　　　

　　　f

Y

。

_T

＝

_Σ

1

_躍

・

_艦・7 雌

・

丁欝

・

’隔＋

Mrt ・

fr

．” 　　　 t

＝

1 　　　　　　　　　

・

…

一・

・

…

…・

・

…

　（4

．

14

）

fi

　　　f撫

，

Σ｛丁階イ翫

一

Ml醒

・

₇

▼

齋イ鑑β十M 奮

’

己イ制　　　 ‘

＝

1 　　　　　　　　　

・

…

一

・

…

t−・

・

…

　（

4．

15

）

M

，一

［

：

瀦

：

］

・

……・

…・

……

… 4

・

16・・

M

・一

［

．M

，　。

f

］

……一・

………

_・₄

_・

₁₆

_・

_b．

_）

冴

・一

［

1 ：

］

…………・

……・

一 …

・… 6・ _・

耐

。，

．

］

……・

・

…………一

_（₄

_・

・16d ・　これらを変位前の要素座標系，さらに全体座標系へ変換することにより，全体座標系での並進成分，回転成分に対する剛性方程式は各々次のようになる

。

　　　Σ ［Tα

・

_T ￥t

・

KY

・

四

・

T 『△Ug

一

Σ［

TG

‘

・

T

旱t

・

齶

・

R7

・

△

9

］＋Σ ［TGε

・

畔ε

・

（’踟

一

環∬）］

＝o

　　　　　　　・

一・

・

髄

・

：

・

…

_（₄

_．

_{17 ）}

Σ ［TCt

・

丁髫へκ

9 ・

TU

・

T

_『_】

4e

_．

一

Σ］［

TGt・

丁冒

・

K9 ・

R

£ 　　　　

・

A9 ］＋Σ］［

T

α

・

τ髫‘

・

（’紬

一

’翌工8）］

＝0

・

一…

一一・

t・

tt・

・

…

　（4

．

18 ＞　ここに

，TC

は全体座標系から要素の変位前座標系

xyz

への_{変換行列}であり

，

　 AUg ，　

Aeg

は各々，全体座標系における節点の並進変位成分

，

回転変位成分である

。

　2

．

5

　解析法検討のための数値解析例　本解析法の_妥_{当性}を 1部材

12

自由度を有する解析法fi）

L

の比較を通じて検討する。対象としたトラス構造 Z ↑

↑

図

＿

_、。、

−

y 乂

1 　　

翼

！

△

「

L

_∠

_皿

「_滴 L

−

_L

−

」」

一

_し

一呷

L

−

_L

一

蘇 _L

−

4

　　　Fig

．

6

　Analyzed 　mode 監_（Case2

−

1

_，

　2

_，

　3

_，

　4）

LEA

α1

_め

1

．

0 0

，

5 0

．

O 　o

．

o

・

。

　Pregent 　Sd凵lion Conventi αl　F且ほ

r

P

亅

H

噛

0

．

5 1

．

0 1

．

5　　W／H

Fig

_．

₇Load

−

deflection　curve （Case　2

−

1）

Table　lMember 　Properties

co

鵠

1

−

11

−

11

−

31

−

4 〜 lc

鵬

21　A

騨

lCmりlflcm

し

［■

冒

〔c醐 Xt k賢　　H ’尻 0

．

503　　　　0

．

503　　　　　0

．

116 0

．

50］　　　　　0

、

50ヨ　　　　　0

畠

lZ5 0

．

503 　　　　 0

，

5Dコ　　　　　O

．

126 0

．

503　　　　0

．

5D田　　　　　0

．

126 o

．

126　　　　GO

．

0　　　42

．

G　　　 o

．

05 0

．

ZS3　　　　60

．

0　　　30

．

O　　　O

、

05 0

．

犂26 　　　　　GO

．

O 　　　　昌276 　　　　0

鹽

05 0

．

OZ】　　　　50

．

0　　　100

．

0　　　 0

．

05

矩

詈二：：：纏暫‘ 認覊

「

6

1

も瀧瓢

讐

il噺i

、

謡

瓢じ繍朧 5 篤；：

1 隠

繼：：：

li

：：：二留瓢

畿

「

5

(5)

2EA

＝

3ix10 1

．

0 05 P／

e

　　o

go o ム

ム

e

　　O

Oo

　　囗

0

口

o

elll

・°

aeo 　oo_Case2

−

_{2 （Xw}

目

30_）

ム

　baCase2

−

3_｛漏

口

42

．

6_〕

・囗。

Oase　2

−

4｛Xw

■

100 ）

−

_ConTventlena_巳F

、

E

．

M

．

OO 　OO　　　　　O

．

5　　　 1

．

O　　　 1

．

5　　　 W／H

　　Fig

．

8　Load

・

deflection　Curves_（Case　2

−

2

，

3

，

4_）

の形状および荷重，支持条件を

Fig．

6に

，

諸量を

Ta −

ble

　l_に_{示す} 。　

Fig．

7は集中荷重を受ける単

一

要素の非線形挙動を追跡した例であり

，

Fig

．

8

は腹材の_細長比をパラメ

ー

タとした平版状トラスの荷重

一

変形曲線である

。

後者においては従来の解析法との比較は腹材の細長比 JLw

＝・

42

．

6の場合のみ行った

。

図中の実線が従来の解析法による結果を示したものであるが

，

本解析法による結果は大変形域においても

，

これと良く

一

致しており

，

定式化および数値計算のアルゴリズムは妥当なものと思われる

。

　§

3．

部材挙動のモデル_化による弾塑性座屈解析　

3．1

概　要　立体トラス構造では構成部材の塑性化

，

座屈等が全体挙動に_及ぼす影響を把握することは重要である

。

本節では，本論文で誘導した解析法の特性を生かし，部材の挙動をモデル化することにより計算の省力化を図った解析法を展開し

，

その_{妥当性}を検証する。さらに，複層立体トラス平版を対象とし，載荷条件，部材細長比をパラメ

ー

タとした解析を行い _，個材の崩壊が全体挙動に及ぼす影響について_考察する

。

　3

．

2 部材挙動のモデル化　本解析法においては

，

（4

．

1

＞式に示すように部材の並 P／Py _c pressio冖 1

．

0A E岨

自

2100〔t’c ） EB匚 3E 匪 B C

＝

E ’10000

．

5 σy

＝

2

．

41電’cm り

一

4

、

0　　　　

−

2

．

0 0 20 4

，

06 ’6y

一

_〇_5ADel α5電ic　ronge 葉ension AB8Ccompressive residuq 口OαdfoiI 凵re OE 量en5ile 蟹oilure E D

一

1

．

0

Fig

_．

₉ideahzation　of 　member 　characteristics

進成分に_対する剛性を EAII のみで表していることから

，

Fig

．

9に示すように部材の_{荷重変位}_{関係}を塑性化，座屈および座屈後のつり_合い経路を含めモデル化する

。

座屈点および座屈後のつり合い経路は内部節点とガウス点を設け

，

数値積分より求めた単材の荷重

一

変位関係に基づき決めているfi〕

_。

部材両端の_境界条件は

，

隣接部材の_拘束度

，

その状況（弾性あるいは塑性）によりそのつど異なってくるが_，その完全なモデル化は困難であること

，

および

，

ここでは個材挙動が全体挙動に及ぼす影響を把握することを主眼としているため

，一

律に両端固定とした。　 3

．

3　複層立体トラス平版の大変形挙動　解析対象とした_複層立体トラス平版の幾何形状

，

境界

Table2　Member　Properties

：

t

：：：器：

1

二諸留鷲：

「

s

l

：；：：鵄：：

1

：纔

lli

：：

1

芻賭繍畿

「

‘

k

：翻：

za

’

：：識

i

：：

1

靆暫緇諜

閃

Z

ト

・

T

・

r

・

T

・

T

・一

「

RIPy

1

．

0 Q5 　　　 N

b

n

＿

1 　

＿

」　」　」　　

＿

」→ Yx ←

＿

Fig

．

10　Geometry　of　doubte

−

layer　_grid

一

0

．

O

．

O　　　　 O5　　　　 1

_．

₀　　　　 1

．

₅　　 W／H（翼10

−

z）　　　 Fig

．

11　Load

−

deflection　curve （Case　3

−

3）

時

胃

16’伍d ソAw ▽ oo0oO

O00oooPq o A仔 Aw ワoo λf

一

汽四

一

609 0 1 o ∠ ∠ o

一

₃₀

一

(6)

条件を

Fig．

10 に_，部材特性を

Table

　2_に_示_す

。

Fig

．

10 中に黒丸印で示す支持点は_；固定の境界条件とした。　

Fig，

11，　

Fig．

13は上層の節点に等分布荷重および中央集中荷重を加えた場合の荷重

一

変形曲線である。縦軸 P／Py1

．

0 O

．

5 32

23

21 12

卜

2132 23

　　　　 faited　ten5ion　member

層

o

−■昌

fai【ed　compression 　member

1

．

2

．

3

，

．

_、

faiLureseq 凵ence

’

　 oloαd　point

　 ●suppert _point

Fig

．

12　Collapse　mechanism （Case　3

−

3）

は全荷重 P を初期部材塑性化時の荷重 Peで_，横軸は_中央節点の鉛直変位 W を層間隔 H で

，

それぞれ無次元化している。

Fig．

12，　

Fig．

14はそれぞれの荷重

一

変形曲線に対応する崩壊メカニ _ズムを示したものであり

，

太い実線は部材の塑性化，破線は個材座屈の発生

，

図中の数字は発生順序を示している

。

等分布荷重を受ける場合

，

Fig

，

12に示すように_，支持点に接続する斜材が順に塑性化していくにつれ，全体の剛性も低下していき

，

最終的には

，

支持点に接続する斜材がすべて塑性化することにより

，

荷重は横ばいとなる

。

なお

_，

荷重

一

変形曲線での _白三角印は

，

部材が塑性化した点を示したものである

。

同じモデルに中央集中荷重を加えた場合

，Fig．

14 にみるようにまず中央の下弦材が塑性化することにより剛性を低下を起こし

，

続いて中央の _{斜材}が座屈することにより荷重の急激な低下を生じている。荷重

一

変形曲線での黒三角印は_，部材が座屈した点を示すものである。　以上示した2つの_例は

，

局所的な部材の _{塑性化}

，

あるいは座屈により，構造物全体の耐力も規定されている。　

Fig．

15は上層の 4つの_節点に等荷重を加えた場合の荷重

一

変形曲線である

。

_本モデルの_{場合}

_，Fig．

16に_示す PTt　

Py

翫5　 1

．

0 Q5

O，

0

．

O 　O

，

0 　　　　 05 　　　　 1

．

0　　　　 1

．

5　　W ／H（xlO

−’

2_）_O

．

O

　　　Fig

．

13　Load

−

deflection　curve _（Case3

−

4_｝

　　　　 10　　　　　　20　　　　W ！H（x10

−

2） Fig

．

15　Load

−

defLection　culve _（Case　3

−

5_）

　　　　「α阻ed　tenSion　member

−一■冒

−

faited　cOrnpreSSiOn 　member 1

_、

2

、

3

，

＿

’

fai【ure　sequence

　　o【oαdpoint

　　●support _poi冂t

Fig

．

14　Coilapse　mechanism （Case　3

−

4_）

フ

．

4171 ス熾52653 グ 52 26

’

4 22 25 グ

3

識 7 ， 5 51 グ 4 ス

　　　　 fCtited　tension_rnember

一帥

一一一

_fα「巳ed　compression rrlember

1

_，

2

_．

3

_，

．

，

．

fai［uresequence

　　oloadpoint

　　●support　point

(7)

ように

，

まず支持点に接続する斜材

，

次に載荷点下の下弦材が塑性化する

。

続いて

，

_載荷点に_接続する斜材が座馬 α 四 1 a5 α 監

。

　 1

。

　、。　 W，、、

．

1。

一

・

，

。

Fig

．

17_Axial　forceof 　tensileFig

_．

₁₈

　　　 members （Case　3

−

5_）

一

∈

一

脇 1

．

O o5 00

凸

＿

．

−

6 F 丶〆

＼

．

’

＼

／＼　　Ψ ミ

ー

　　／＼　　＼

匸

　一一

凹

　＼

＼

　　　　　／　　　｝　　　　＼

　丶

哢1馬 1

．

5 1

．

0 05 10　　　　　20　　　　W

’

出

見

1r

聖

，

Axial　force　of 　com

−

P匸essive 　members

（Case　3

−

5）

O

．

O

．

010 _{20 　　　　 W}’H（xlO

疊

2）

　　　Fig

．

1g　Load

・

deflectめn　cロ rve ｛Case　3

−

6｝

U

酵

1 95 鴨。

　　　　 faited

tension　member

卿・

一

■−

_faited　compre 弱 ion　member

1

_，

₂

_．

₃

_．

＿

faiture　sequence

　 oloαd　point

　 ●

．

Support poiDt

Fig

_．

₂₀_CoHapse　mechanism 〔Case　3

−

6_）

＾　

8

’

「

讎

一

　．

　覧

Fig

．

21

」

．

O　　　　　 to 　　　　 WH【

匸

10

−■

〕

Axial　

force

　of　tensile members _（

Caes

　3

−

6_＞

．

oo　　　　ro　　　　〜O　　　WtHtSTO →〕

Fig

_．

₂₂Axial　force　o ｛com

−

　　　 pressive　members 　　　〔Case　3

−

6）屈することにより

，

急激な剛性低下を生じるが

，

前モデルとは異なり

，

構造物の崩壊には至らず，荷重の増加は続く。以後

，

次々に下弦材が塑性化していくにつれ

，

剛性の低下を生じていき

，

最終的には

，

8本の斜材が座屈することにより荷重低下を生じているが_，最大耐力は最初に部材が塑性化した荷重の約

L5

倍まで上昇している

。

　 Fig

．

17

，

Fig．

18はそれぞれ図中に示す引張材

，

圧縮材の_{軸力}の _変化を示したものである。縦軸は降伏軸力

Ny

で無次元化してあり

，

横軸は

Fig．

15

の荷重

一

変形曲線と対応している

。

部材が塑性化あるいは座屈するのに伴い軸力の分担にも変化が生じていくが，座屈した部材（A）の座屈後の荷重低下も緩かである。　

Fig．

19は前モデルと同様に

，

_{上層}の 4つの _節点に_等荷重を加えた場合の荷重

一

変形曲線を示したものであるが，斜材の細長比 λ．を

90

と，上下弦材に比べて大きくしている

。

部材の断面積は上下弦材

，

斜材とも同じである

。

本モデルの場合も

，Fig．

20に示すように最初に支持点に接続する斜材

，

次に載荷点下の下弦材が塑性化していき

，

前モデルとほぼ同じつり合い経路をたどるが

，

支持点に接続する斜材が座屈すると

，

斜材の _細長比が大きいため全体の_荷重も低下する

。

しかし，座屈した部材が安定した状態にもどると

，

再び全体の荷重も増加する

。

最終的には

，

前モデルよりも早い段階で

Fig．

20に示す斜材が座屈することにより荷重の低下を生じているが

，

この時の荷重は

，

初期座屈時の荷重よりも上昇している。　Fig

．

21

，

Fig．

22_は_{引張材}

，

_圧_{縮材}の軸力の_変化をみたものであるが

，

座屈する部材

A

は座屈荷重に_達すると

，

細長比が大きいため

，

前モデルと異なり

，

急激な荷重低下をおこし

，

引張材にも荷重の低下がみられる

。

しかし

，

座屈した部材が安定した状態に移行すると

，

ほかの部材の軸力は再び増加し始め，構造物全体の荷重増加と対応している。　ここに示した 2つの例では最初の_部材の_{座屈}では耐力が規定されておらず

，

最大耐力も最初に部材が塑性化した荷重の

1．

3−

1

．

5倍程度になっている

。

初期座屈後の変形性状も概して良好であり

，

同様な複層立体トラス平版による_実_{験結果}t2jと同様な性状を示している。　 §4

，

結　び　本論文では

，

部材の剛性を線形剛性のみで評価し

，

並進成分と回転成分を分離した集合要素による幾何学的非線形解析法を誘導し

，

その妥当性を示すとともに

，

部材の挙動をモデル化した解析法を用いて

，

平版状複層立体トラスの _弾塑性座屈挙動を明らかにしてきた

。

以下，得られた結果を要約すれば

，

　（1＞部材の剛性行列を線形とし

，

並進成分と回転成分を分離しても，集合要素，部材系での剛体変位，剛体回転を正確に評価することで

，

構造物全体の幾何学的非

一

₃₂

一

(8)

線形性状を十分表現し得る

。

　（2 ）並進成分と回転成分の分離により剛性行列の大きさを半分にできること

，

および部材の剛性を線形剛性のみで評価しているため剛性行列

，

内力ベクトルの作成に要する時間

，

連立

一

次方程式の解法に要する時間

，

計算機の記憶容量を低減することができる

。

このため

，

本解析法は自由度の大きい複層立体トラスの _{大変形挙動}の追跡に有用である。　（3 ）部材挙動のモデル化により

，

部材をさらに分割したり

，

数値積分等を用いることなく部材の塑性化あるい_{は座屈}を評価でき

，

個材の挙動で_規

定

される複層立体トラス平版の弾塑性座屈性

状

を把握できる

。

　（4）　中央集中荷重を受ける場合の _{解析例}のように_，局所的に集中する部材の崩壊により構造物の耐力が規定される場合

，

その塑性変形性状は良好とは言えない

。

しかし

，

4点荷重を受ける例のように

_，

_{最初}の_{部材}の座屈では崩壊に至らず，応力の再配分が可能な立体トラスの塑性変形性状はかなり良好である

。

特に後者の解析例は

Schmidt

らによる_実験結果lz ｝にほぼ対応している

。

　追　記　本論文での計算は

，

東京工業大学総合情報処理センタ

ー

のM200H による

。

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1476

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1492 Appendix 〔i）座漂変換行列

D

八（

”

ー

．

r ノ　　　〜　　〜

．

　〜

．

　〜〜〜

♂

丿　

一

｝

一

ー

＝

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篤

1 ⊥

臨

一

…・

・r・

…・

_（_A

_．

2）

ー

　　　　 75 　　　　 R 　　　　〜

⊥

＼

訂

R：

＝

Rn＋尺B＋s；＋s署B

・

……

R：

−

s＃＋s藍B

…・・

☆

戛

_司

6 舘

＝一

垢 1　

，

　1　

”

喜Vn 　　互ω

・ −

Un l　

，

互” n

”

・

_（_A

_．

3〕〔A

．

4）

一

・

−

P・

・

…

_（_A

_．

5）

…・

…

……・

…・

_（_A

_，

₆_｝

…・

・…・

・

…・

・

_〔_A

_，

₇_）

°

−

_Un 　 r　　　　 1　

，

r

−

Wn 　

°

iUn

−

Wn　

i

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［

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5 1　

〆

，

百　Wn

’

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，

……

_（_A

_．

8）

…・

……

…

_〔_A

_．

₉_）

q

メ

l

：

1 ：

：

_lll

l

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＿

＿．

＿

＿．

．

＿．

＿・

〔A

．

10）

一

(9)

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M, N= s[ t. mt CB 1-lfl M', M.,tx Mx 1/l 111-1!" Mv

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15>

Mi=RiM---･---･---･(A.16}

Mt'=R.M'---･---･---･･---･{A.17)

R'=

[i(msnxLn.'m.}

i{n,tsLi,n.)i(t.m.Lm.ts}13

sLt{m.nrLnam=) t{niG-lgn.} l(lirtx-mzla)J

.""HH"."".""""""HH".HH-

(A.

18}

SYNOPSIS

UDC:624.e23.85:624.04

LARGE

DEFQRMATION

ANALYSIS

eF

SQUARE-ON

SQUARE

FLAT

DOUBLE-LAYER

GRIDS

WITH

MEMBER

BUCKLING

AND

YIELDING

by Dr.

TOSHIRO

SUZUKI, Prof, of Tokyo Instituteof nelogy, Dr.TOSHIYUKI OGAWA, ResearchAssociateef

Tokye

Instituteef Technology.

HITOSH]

OZAKI,

NikkenSekkeiCo., Ltd.. Members of A.I.

J.

In this _paper, a new

development

of nonlinear analysis using collective elements

is

described.

In

the

analytical _procedure,member _post

buckling

and _yielding

behavior

ismodeled on numerically

derived

curves.

Several

collapse _precedures of sqllare-on square

double-layer

_gridsare shown.

It

is

noted that

double-layer

grids

have

geod

deformation

capacity when theiiultimate strength

is

not

determined

by

the

first

buckling

of struts. This

feature

shows a similar tendency with the results of the model experiment

個材の座屈, 塑性化で耐力の定まる複層立体トラス平板の大変形解析

1

1

．

．

．

・

個材

の

座 屈

塑

性 化

で

耐 力

の

定

ま

る

複

層

立

体

ト

ラ

ス

平

版

の

大

変

形

解析

鈴

小

小

木

河

崎

敏

利

郎

行

均

1．

。

，

，

，

・

。

，

，

・

。

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，一

。

，

，

。

，

，

一

，

，

一

，

ー

，

，

，

。

，

，

。

。

ー

，

。

2．

座屈

_塑

_{性化}

耐力

_ま

_。

_，

_，

_．