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1

和の記号の計算練習（n−1）

数

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n−1までの和の記号

n−1 解

∑k=1

c = (n− 1)c

n−1

∑k=1

k = 12(n− 1)n

n−1

∑k=1

k² = 16(n− 1)n(2n− 1)

n

∑k=1

c = nc

n

∑k=1

k = 12n(n+ 1)

n

∑k=1

k² = 16n(n + 1)(2n+ 1)

 としたとき，次のように和の公式 が変わる

n ⟹ n − 1

例題

次の和を求めなさい。

(1) (2)

n−1

∑k=1

(k+ 1) ∑ⁿ⁻¹

k=1

6k²

(1)

n−1

∑k=1

(k + 1) =∑ⁿ⁻¹

k=1

k +∑ⁿ⁻¹

k=1

1

= 12(n−1)n + (n−1)

= 12n²+ 12n− 1 (2)

n−1

∑k=1

6k² = 6∑ⁿ⁻¹

k=1

k²

= 6⋅ 1

6(n−1)n(2n−1)

= 2n³ −3n+n

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例題

2

階差数列

(1) (2)

解

階差数列を考えて，次の数列の第 7 ^項と第 8 ^項を

求めなさい。

階差数列

例

一般に隣り合う２項の差

1, 2, 6, 13, 23, 36, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

を項とする数列 

を，数列 の

（      ）という

{b

} {a

} a

− a

= b

階差数列

a

a

a

a

⋅ ⋅ ⋅ a

a

b

b

b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b

 の階差数列は…

2 3 6 11 18 27

一見，規則性のない数列でも「階差」に注目すると，

その規則性が見えてくる！

初項：1^，公差：2 の等差数列が見えてくる

1 3 5 7 9

−12, − 10, − 6, 2, 18, 50, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(1) 1, 2, 6, 13, 23, 36, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,

第 7 ^項は，36 + 16 = 52

よって，

第 8 ^項は，52 + 19 = 71

(2) −12, − 10, − 6, 2, 18, 50, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2, 64, 128,

第 7 ^項は，50 + 64 = 114

よって，

第 8 ^項は，114 + 128 = 242 4, 8, 16, 32,

公差：3

等比：2

数

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例題

3

階差数列から一般項を求める

解

次の数列 {a

} の一般項を求めなさい。

階差数列と一般項

数列 {a

} の階差数列を {b

} とすると，

3, 5, 8, 12, 17, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 のとき，

n ≧ 2

a

= a

+ ∑

k=1

b

（Step1）（      ）の一般項を求める階差数列

（Step２）（    ）の式に

階差数列

{b

}

（Step３） 初項（       ）のときも        成り立つことを述べる

a

(n = 1)

※ Step２までは，  の範囲でしか示していないので，

残りの   でも成り立つことを述べる必要がある。

n ≧ 2 n = 1

（Step1） この数列の階差数列は，初項 2，公差 1 の 等差数列なので，階差数列を{b_n}とすると，

2, 3, 4, 5,

b_n = n + 1

よって，n ≧ 2 のとき，

（Step２）

a_n = a₁ +∑ⁿ⁻¹

k=1

(k + 1) = 3 + 1

2(n−1)n + (n−1)

すなわち a_n = 12n²+ 12n + 2

（Step３） 初項は   なので，この式は   のときにも  成り立つ。

a₁ = 1 n = 1

したがって，一般項は a_n = 1

2n² + 1

2n + 2

n−1

∑k=1

b_k

数

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b_n = 2 + (n−1)1

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例題

4

数列の和から一般項を求める

解

初項から第   項  までの和   が，  

で表される数列 の一般項を求めなさい。

n a_n S_n S_n = 2n²+ n {a_n}

数列の和と一般項

数列 の初項   から第   項   までの  和を   とすると，

{a_n} a₁ n a_n

S_n

初項   は a

a

= S

（Step1）（      ）を計算する

a

= S

（Step２）（      ）のときを調べる

（Step３） 初項（       ）のときも        成り立つことを述べる

（Step1） 初項   は，a₁ a₁ = S₁ = 2⋅ 1²+ 1 = 3

 のとき，

n ≧ 2

（Step２）

（Step３） ①より，  なので，この式は   のとき にも成り立つ。

a₁ = 3 n = 1

したがって，一般項は a_n = 4n² −2n+ 1

 のとき，

n ≧ 2 a

= S

− S

a

(n = 1) n ≧ 2

S_n = a₁ +a₂ +a₃+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+a_n−1+a_n

確認 ⁻⁾ S_n−1 = a₁+ a₂+ a₃ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +a_n−1 S_n −S_n−1 = a_n

a_n = S_n− S_n−1

= 2n²+ n− {2(n −1)²+ (n− 1)}

= 4n²− 2n + 1

数

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