階差数列の漸化式

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階差数列の漸化式

例題

解

よって，数列{a_n}は n ≧ 2 のとき

a_n = a₁+ ∑ⁿ⁻¹

k=1

3^k

次の条件によって定められる数列 {a_n} の一般項を求めなさい。

a₁ = 2 ，a_n+1 = a_n + 3ⁿ

条件より数列{a_n}の階差数列の一般項は 

a_n+1−a_n = 3ⁿ

= 2 + 3(3ⁿ⁻¹ −1) 3−1

すなわち a_n = 3ⁿ+ 1 2

初項は   なので，この式は   のときにも  成り立つ。

a₁ = 2 n = 1

したがって，一般項は a_n = 3ⁿ + 1 2

 は 

初項   ，公比   ，  項数   の  等比数列の和である から，等比数列の和 の公式を活用

n−1

∑k=1

3^k

3 3

n−1

 (   の式 ) の一般項

a

= a

+ n

例

階差数列 a_n = a₁ +b_n

初項 …

…

 (階差)

+b₁ +b₂  +b₃ +b_n 

a

= a

+ b

よって，階差   の階差数列の漸化式はb_n

a_n a_n+1

第   項2 ^{第   項}3 ^{第   項}4 ^{第   項}n ^第 n+ 1 ^項 a₁ a₂ a₃ a₄

の一般項が決まれば，あとは階差数列として一般項 を求めていくだけ。

{b_n} {a_n}

a

= a

+   b

漸化式     のとき，数列 は

(     ) 数列となり，階差は (      )

a

= a

+ b

{a

}

階差 階差

a

= pa

+ q

p = 1 q =    ^の式 n

b