等差数列×等比数列の和

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等差数列×等比数列の和

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等差数列×等比数列の和

解

例題

次の初項から   項までの和を求めなさい。

n

1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3

+ 7 ⋅ 3

+ ⋅ ⋅ ⋅

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

（Step１）等差数列と等比数列の       （      ）を求める

S_n = 1⋅1 + 3⋅3 + 5⋅3²+⋅ ⋅ ⋅+ (2n−1)⋅3ⁿ⁻¹

(Step１)

(Step２)

(Step３)

一般項

（Step２）和   に対して（     ）を         かけたものを引く

S

（Step３）式変形していき，（       ）       に帰着させる

等比数列の和

S

= ∑

k=1

a

⋅ b

ただし，

a

:

b

:

復習 等比数列の和（初項  ，公比   ）

a r

 または 

S

= a(1 − r

)

1 − r S

= a(r

− 1) r − 1

両辺に 3 ^{をかけると，}

3S_n = 1⋅3 + 3⋅3²+⋅ ⋅ ⋅+ (2n−3)⋅3ⁿ⁻¹ + (2n−1)⋅3ⁿ

辺々を引くと，

S_n−3S_n = 1⋅1 + 2⋅3 + 2⋅3²+ 2⋅3ⁿ⁻¹−(2n−1)⋅3ⁿ

−2S_n= 1 + 2(3ⁿ−1)

3−1 −(2n−1)⋅3ⁿ

−2S_n= 1 + 3ⁿ−1−(2n−1)⋅3ⁿ

−2S_n= 2(1−n)⋅3ⁿ S_n = (n−1)⋅3ⁿ

初項から   項までの和を   とする。

n S

初項：1，交差：2 の等差数列  初項：1，公比：3 の等比数列