微積分Ｉ 演習 ( 第 8 回演習問題の解答 )
問題8-1 収束値を求めよ。
(1) 1− 1 2·2+ 1
3·22 − 1
4·23 +· · · (2) 1− 1 3!+ 1
5!− · · · (3) 1 + 1
2!+ 1 4!+· · ·
（解）(1) log(1 +x) =x−x2 2 +x3
3 −x4
4 +· · · であるから、log(1 +x)
x = 1−x 2 +x2
3 −x3 4 +· · · これにx= 1
2 を代入することで、1− 1 2·2 + 1
3·4− 1
4·8 +· · ·= 2 log (
1 +1 2
)
= 2 log3
2 となる。
(2) sinxを級数展開すると、sinx=x− 1 3!x3+ 1
5!x5+· · · であるから、x= 1を代入して 1− 1
3!+ 1
5!+· · ·=
∑∞ n=0
(−1)n
(2n+ 1)! = sin(1)となる。
(3) cosh(x)を級数展開すると、cosh(x) = ex+e−x
2 =
∑∞
n=0 xn n! +∑∞
n=0 (−x)n
n!
2 =
∑∞ n=0
1
(2n)!x2n この級数展開に x= 1を代入することで、1 + 1
2!+ 1
4!+· · ·=
∑∞ n=0
1
(2n)! = e+e−1
2 となる。
■ 問題8-2 次の不定積分を計算せよ。
(1)
∫
xsin(x2)dx (2)
∫
(x2+ 1)2dx (3)
∫ 1
−1
(|x| −x)2dx
（解）以下積分定数は略す。
(1)t=x2と置くと、dt= 2xdxとなり、
∫
xsin(x2)dx=
∫ 1
2sintdt= 1
2(−cost) =−1
2cos(x2)となる。
(2)
∫
(x4+ 2x2+ 1)dx= x5 5 +2x3
3 +x
(3)x|x|は奇関数であり、x2は偶関数であるから、
∫ 1
−1
(|x| −x)2dx=
∫ 1
−1
(x2−2x|x|+x2)dx
= 4
∫ 1 0
x2dx= 4 [1
3x3 ]1
0
= 4
3 となる。
■ 問題8-3 次の関数の定積分を求めよ。
(1)
∫ 3 2
x2cosxdx (2)
∫ √3
√2
e−x1
x2 dx (3)
∫ √3
2 1 2
√ x
1−x2dx (4)
∫ 2 1
logx x dx
（解）
(1) (x2sinx)′ = 2xsinx+x2cosx, (xcosx)′= cosx−xsinx= (sinx)′−xsinxより(x2sinx+2xcosx−2 sinx)′= x2cosx。ゆえに、
∫ 3 2
x2cosxdx=[
x2sinx+ 2xcosx−2 sinx]3
2= 9 sin 3 + 6 cos 3−2 sin 3−(4 sin 2 + 4 cos 2− 2 sin 2) = 7 sin 3 + 6 cos 3−2 sin 2−4 cos 2となる。
(2) t = e−x1 とおくと、dt
dx = e−x1(−1
x)′ = e−1x
x2 より、
∫ √3
√2
e−1x x2 dx =
∫ √3
√2
dt dxdx =
∫ e−
√1 3
e−
√1 2
dt = [t]e
−√1 3
e−
√1 2
=
1
e−√13 −e−√12 となる。
(3) t= 1−x2とおくと、dt
dx =−2xである。ゆえに
∫ √3
2 1 2
√ x
1−x2dx =−1 2
∫ √3
2 1 2
√1 t
dt
dxdx =−1 2
∫ 1
4 3 4
√1 tdt=
−1 2 [
2√ t
]14
3 4
=−1 2(1−√
3) =
√3−1
2 となる。
(4)t= logxとおくと、dt dx = 1
xより、
∫ 2 1
logx x dx=
∫ 2 1
tdt dxdx=
∫ log 2 0
tdt= [t2
2 ]log 2
0
= (log 2)2
2 となる。
■ 問題8-4 次の関数の（不）定積分を求めよ。
(1)
∫ π
4 0
exsinxdx (Hint:問題4-1-(2)) (2)
∫ dx
sinx (3)
∫ π
2 0
√1 + cosθ dθ (4)
∫1 0
x3dx x+ 1
（解）以下、不定積分の積分定数は略す。
(1) (exsinx)′ =√ 2exsin
( x+π
4 )
であるから、xをx−π
4に置き換えることで (
ex−π4 sin (
x−π 4
))′
=√
2ex−π4 sinx となる。両辺に eπ4
√2を掛けることで、exsinx= ( 1
√2exsin (
x−π 4
))′
となる。ゆえに、
∫ π4
0
exsinxdx= 1
√2 [
exsin (
x−π 4
)]π4
0
=− 1
√2e0sin (−π
4 )
=1
2 となる。
(2) t = cosxとおくと、dt
dx =−sinxより、
∫ dx sinx =
∫ sinxdx sin2x =−
∫ dt 1−t2 = 1
2
∫ ( −1 1−t − 1
1 +t )
dt= 1
2log (1−t
1 +t )
= 1 2log
(1−cosx 1 + cosx
)
=1 2log
(sin2x2
cos2x2 )
= log sinx2
cosx2
となる。
(3)θ= 2φとおくと0≤θ≤ π
2 のとき、√
1 + cos 2φ=√
1 + (2 cos2φ−1) =√
2 cosφであることと、dφ dθ = 1
2 であることから、
∫ π2
0
√1 + cosθdθ=
∫ π2
0
√2 cosφ·2dφ
dθ ·dθ= 2√ 2
∫ π4
0
cosφdφ= 2√
2 [sinφ]0π4 = 2√ 2 1
√2 = 2 となる。
(4)
∫ 1 0
x3dx x+ 1 =
∫ 1 0
x3+ 1−1 x+ 1 dx=
∫ 1 0
(
x2−x+ 1− 1 x+ 1
) dx=
[x3 3 −x2
2 +x−log(x+ 1) ]1
0
= 1 3−1
2+ 1−log 2 = 5 6 −log 2
■ 双曲線関数の微積分とその諸公式
（定義）sinhx= ex−ex
2 ,coshx=ex+ex
2 ,tanhx= ex−e−x ex+e−x
（公式1）cosh2x−sinh2x= 1
（偶奇）sinh(−x) =−sinhx, cosh(−x) = coshx, tanh(−x) =−tanh(x)
（微分）(sinhx)′= coshx,(coshx)′= sinhx,(tanhx)′= 1 cosh2x
（逆関数の微分）(arc sinh(x))′= 1
√1 +x2, (arc cosh(x))′= 1
√x2−1, (arc tanh(x))′ = 1 1−x2
2
