微積分Ｉ 演習 ( 第 5 回演習問題の解答 )

微積分Ｉ 演習 ( 第 5 回演習問題の解答 )

問題

5-1

 次の関数の

n

階微分を計算せよ。

(1) cos x (2) e

^x

sin x (3) log x

（解）

(1) (cos x)

^′

= − sin x = cos

“ x + π

2

”

である。

(cos x)

⁽ⁿ⁻¹⁾

= cos

„

x + (n − 1)π 2

«

と仮定する。

(cos x)

⁽ⁿ⁾

= d dx cos

„

x + (n − 1)π 2

«

= − sin

„

x + (n − 1)π 2

«

= cos “ x + nπ

2

”

ゆえに帰納法により、

(cos x)

⁽ⁿ⁾

= cos “ x + nπ

2

”

である。

(2) (e

^x

sin x)

^′

= e

^x

sin x + e

^x

cos x = √

2 e

^x

sin(x + π

4 )

である。

(e

^x

sin x)

⁽ⁿ⁻¹⁾

= 2

ⁿ⁻¹²

e

^x

sin

„

x + (n − 1)π 4

«

と仮定する。このとき、

(e

^x

sin x)

⁽ⁿ⁾

= 2

ⁿ⁻¹²

e

^x

„

sin(x + (n − 1)π

4 ) + cos(x + (n − 1)π

4 )

«

= 2

ⁿ²

e

^x

sin “ x + nπ

4

”

ゆえに、帰納法から、

(e

^x

sin x)

⁽ⁿ⁾

= 2

ⁿ²

e

^x

sin “

x + nπ 4

”

が成り立つ。

(3) (log x)

^′

= 1

x

^である。

(log x)

⁽ⁿ⁻¹⁾

= ( − 1)

ⁿ⁻²

(n − 2)! 1

x

^{n−1 と仮定する。（}

0! = 1

と定義する。）このとき、

(log x)

⁽ⁿ⁾

= ( − 1)

ⁿ⁻²

(n − 2)!( − n+1)) 1

x

ⁿ

= ( − 1)

ⁿ⁻¹

(n − 1)! 1

x

ⁿとなる。ゆえに、帰納法から、

(log x)

⁽ⁿ⁾

= ( − 1)

ⁿ⁻¹

(n − 1)! 1 x

ⁿ が成り立つ。

■ 問題

5-2

 次の

n

階微分を計算せよ。

(1) 1

x

²

− x − 2 (2)x

³

e

^2x

（解）

(1) 1

x

²

− x − 2 = 1 3

„ 1

x − 2 − 1 x + 1

«

である。

一般に、

(x

^α

)

⁽ⁿ⁾

= α(α − 1) · · · (α − n + 1)x

^α−nであることを使うと、

„ 1 x

²

− x − 2

«

(n)

= 1 3

„ (−1)(−2) · · · (−n)

(x − 2)

ⁿ⁺¹

− (−1)(−2) · · · (−n) (x + 1)

ⁿ⁺¹

«

= (−1)

ⁿ

n!

3

„ 1

(x − 2)

ⁿ⁺¹

− 1 (x + 1)

ⁿ⁺¹

« (2) n = 1

のとき、

(x

³

e

^2x

)

^′

= 3x

²

e

^2x

+ x

³

2e

^2x

= (2x

³

+ 3x

²

)e

^2x

n = 2

のとき、

(x

³

e

^2x

)

^′′

= ((2x

³

+ 3x

²

)e

^2x

)

^′

= (6x

²

+ 6x)e

^2x

+ 2(2x

³

+ 3x

²

)e

^2x

= (4x

³

+ 12x

²

+ 6x)e

^x ライプニッツの公式から、

n ≥ 3

のとき、

X

n

r=0

n r

!

(x

³

)

^(r)

(e

^2x

)

^(n−r)

= 2

ⁿ

e

^2x

X

3

r=0

n r

!

(x

³

)

^(r)

2

^−r

= 2

ⁿ

e

^2x

(x

³

+ n · 3x

²

2

⁻¹

+ n(n − 1)

2 6 · x · 2

⁻²

+ n(n − 1)(n − 2)

6 · 6 · 2

⁻³

)

= 2

ⁿ

e

^2x

„ x

³

+ 3

2 nx

²

+ 3n(n − 1)

4 x + n(n − 1)(n − 2) 8

«

= 2

ⁿ⁻³

e

^2x

(8x

³

+ 12nx

²

+ 6n(n − 1)x + n(n − 1)(n − 2))

■ 問題

5-3

 次の等式を証明せよ。

X

n

r=0

n r

!

(−2)

^r

= (−1)

ⁿ

（解）

1

(e

^−2x

e

^x

)

⁽ⁿ⁾を計算する。このとき、ライプニッツの公式から

X

n

r=0

n r

!

(e

^−2x

)

^(r)

(e

^x

)

^(n−r)

= X

n

r=0

n r

!

( − 2)

^r

e

^−2x

e

^x

= e

^−x

X

n

r=0

n r

! ( − 2)

^r

一方、

(e

^−2x

e

^x

)

⁽ⁿ⁾

= (e

^−x

)

⁽ⁿ⁾

= ( − 1)

ⁿ

e

^−x ゆえに、

e

^−x

X

n

r=0

n r

!

( − 2)

^r

= ( − 1)

ⁿ

e

^−xが成り立つ。両辺に

x = 0

を代入して、

X

n

r=0

n r

!

( − 2)

^r

= ( − 1)

ⁿがいえる。

■ 問題

5-4

 

(1) √

³

0.99, (2) cos

„ 61 180 π

«

の近似を計算せよ。

（解）

一次近似を用いて計算する。

(1) (0.99)

¹³

= . . 1 − 1

3 · 0.01 = 1 − 0, 003333. · · · = . . 0.99666 (2) cos

“ π 3 + π

180

”

= . . cos π

3 − sin π 3 · π

180 = 1 2 −

√ 3π

360 = 0.5 − 0.015114... = . . 0.48488

■

2