§ 9  微分積分学 基本定理 不定積分 演習問題 2 解答

熊本大学 数理科学総合教育

§ 9 ^{微分積分学} 基本定理 不定積分 演習問題 2 ^解答

^{問題 難易度 目安 【基礎】}

899

^【標準】

889

^【発展】

888

1 ( 888 ) x > − 1

定義 関数

f (x) x > − 1 2

回微分可能 ，

x > − 1

対

f (x) = 1 (x + 1)

²

+

∫

x 0

f (t) sin(x − t) dt

． ，

f (x)

求 ．

解答

. sin(x − t) = sin x cos t − cos x sin t

，

f(x) = 1

(x + 1) ² + Z x

0

f(t) (sin x cos t − cos x sin t) dt

= 1

(x + 1) ² + sin x Z x

0

f (t) cos t dt

− cos x Z x

0

f (t) sin t dt

· · · ⃝. ¹

f (t) t > − 1

微分可能 ，特 連続．

f (t) cos t, f (t) sin t

連続 ，微 分積分学 基本定理 用 ，

⃝ ¹

f

^′

(x) = − 2

(x + 1) ³ + cos x Z x

0

f(t) cos t dt

+ sin x · f (x) cos x + sin x

Z x 0

f (t) sin t dt

− cos x · f (x) sin x

= − 2

(x + 1) ³ + cos x Z x

0

f(t) cos t dt

+ sin x Z x

0

f(t) sin t dt

· · · ⃝. ²

再 両辺

x

微分 ，微分積分学 基本定理

⃝ ¹

^{用 ，}

f

^′′

(x) = 6

(x + 1) ⁴ − sin x Z x

0

f (t) cos t dt

+ cos x · f (x) cos x + cos x

Z x 0

f(t) sin t dt

+ sin x · f (x) sin x

= 6

(x + 1) ⁴ − sin x Z x

0

f (t) cos t dt

+ cos x Z x

0

f (t) sin t dt

+ f(x)

⃝ 1

= 6

(x + 1) ⁴ + 1 (x + 1) ² .

，

f

^′

(x) =

Z 6

(x + 1) ⁴ + 1 (x + 1) ²

dx + C 1

= − 2

(x + 1) ³ + − 1

x + 1 + C 1 · · · ⃝ ³ (C 1 :

積分定数

).

，

⃝ ² x = 0 f

^′

(0) = − 2

，

⃝ ³ x = 0

，

− 2 = f

^′

(0) = − 2 − 1 + C ₁ ∴ C ₁ = 1.

1

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，

f

^′

(x) = − 2

(x + 1) ³ + − 1

x + 1 + 1

，

f (x) =

Z − 2

(x + 1) ³ + − 1 x + 1 + 1

dx + C ₂

= 1

(x + 1) ² − log | x + 1 | + x + C ₂ · · · ⃝ ⁴ (C ₂ :

積分定数

).

，

⃝ ¹ x = 0 f (0) = 1

^，

⃝ ⁴ x = 0

^，

1 = f (0) = 1 − 0 + 0 + C 2 ∴ C 2 = 0.

以上 ，

f (x) = 1

(x + 1)

²

− log (x + 1) + x (x > − 1).

2 ( 888 ) x > 0

^{対 ，}

f (x) := sin x

x

^{． 非負整数}

n

^対

f ⁽ⁿ⁾ (x) = 1 x ⁿ⁺¹

Z x 0

t ⁿ cos

t + nπ 2

dt

数学的帰納法 用 証明 ． ，

f ⁽ⁿ⁾ (x) f(x)

第

n

階導関数 表 ．

， 用

lim

n

→∞

f ⁽ⁿ⁾ (1)

^{求 ．} 解答

.

f ⁽ⁿ⁾ (x) = 1 x ⁿ⁺¹

Z x 0

t ⁿ cos

t + nπ 2

dt · · · ( ∗ ) n ≧ 0

関 数学的帰納法 証明 ．

・

n = 0

1 x

Z x 0

t ⁰ cos

t + 0 · π 2

dt = 1 x

sin t x

t=0 = sin x

x = f ⁽⁰⁾ (x)

，

( ∗ ) n = 0

成 立 ．

・

n ( ∗ )

成 立 仮定 ．

( ∗ )

両辺

x

微分 ，微分積分学 基 本定理 用

f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = d

dx f ⁽ⁿ⁾ (x)

= d dx

1 x ⁿ⁺¹

Z x 0

t ⁿ cos

t + nπ 2

dt

= − (n + 1) 1 x ⁿ⁺²

Z x 0

t ⁿ cos

t + nπ 2

dt + 1

x ⁿ⁺¹ · x ⁿ cos

x + nπ 2

= − (n + 1) 1 x ⁿ⁺²

Z x 0

t ⁿ cos

t + nπ 2

dt + 1

x ⁿ⁺² · x ⁿ⁺¹ cos

x + nπ 2

= − (n + 1) 1 x ⁿ⁺²

Z x 0

t ⁿ cos

t + nπ 2

dt + 1 x ⁿ⁺²

Z x 0

t ⁿ⁺¹ cos

t + nπ 2

′

dt · · · ⃝ ¹

2

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． ，

t ⁿ⁺¹ cos

t + nπ 2

′

= (n + 1)t ⁿ cos

t + nπ 2

+ t ⁿ⁺¹

n − sin

t + nπ 2

o

= (n + 1)t ⁿ cos

t + nπ 2

+ t ⁿ⁺¹ cos

t + n + 1 2 π

· · · ⃝ ²

，

⃝ ² ⃝ ¹

^代入

f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) =

(((( (((( (((( (((( (

− (n + 1) 1 x ⁿ⁺²

Z x 0

t ⁿ cos

t + nπ 2

dt

+ (((( (((( (((( ((( (

(n + 1) 1 x ⁿ⁺²

Z x 0

t ⁿ cos

t + nπ 2

dt + 1 x ⁿ⁺²

Z x 0

t ⁿ⁺¹ cos

t + n + 1 2 π

dt

= 1

x ⁿ⁺² Z x

0

t ⁿ⁺¹ cos

t + n + 1 2 π

dt

，

n + 1 ( ∗ )

成 立 ．以上

n ≧ 0

対

( ∗ )

成 立 示 ． ， 結果

f ⁽ⁿ⁾ (1) ≦ Z 1

0

t ⁿ cos

t + nπ 2 dt

≦ Z 1

0

t ⁿ dt = 1

n + 1 → 0 (n → ∞ )

，

lim

n→∞

f

⁽ⁿ⁾

(1) = 0

．

3