微分積分 II 補助演習問題 No. 2 解答例

微分積分 II ^{補助演習問題} No. 2 ^解答例

1 F(x, y) = x⁴ −x²y² + y⁴ −1^{とおくとき},

F_x = 4x³ −2xy², F_y = −2x²y+ 4y³.

そこで, F_x = 0かつF = 0を満たす(x, y)を求めよう. F_x = 2x(2x² −y²) より x = 0^またはy² = 2x^2となる.

(a) まずx = 0の場合：F = 0より, y⁴ = 1となるのでy = ±1を得る. この ときF_y(0,±1) = ±4 ̸= 0であるので(0,±1)の近くで陰関数y = f(x)が定まる. F_xx = 12x² −2y²なのでF_xx(0,±1) = −2となる. 従って, (0,1)では

y^′′ = −F_xx

F_y = −(−2) 4 = 1

2 > 0

をなり, (0,1)の近くでy = f(x)は極小値1を取る. (0,−1)では y^′′ = −F_xx

Fy

= −(−2)

(−4) = −1 2 < 0 をなり, (0,1)の近くでy = f(x)は極大値−1を取る. 

(b) y² = 2x²の場合: F(x, y) = 0に代入して, 3x⁴ = 1, すなわちx = ±₃^{1/41 となる}. このときy = ±₃^{√1/42 となり}, 求める点は４点

(± 1 3^1/4,±

√2 3^1/4)

となる. いずれの点でもF_y ̸= 0となることが確かめられる. それぞれの点(±₃^1/41 ,±₃^√1/42) の近くで陰関数y = f(x)が定まり, y^′′ = −^F_F^xx_y を用いて計算した結果、(±₃^1/41 ,

√2 3^1/4) では, y^′′ = −^F_F^xx_y = −_6y¹ < 0 ^{となるので極大値}y =

√2

3^1/4 を取り, (±₃^1/41 ,−₃^√1/42 ) ^では, y^′′ = −^F_F^xx_y = −_6y¹ > 0 となるので極小値y = −₃^{√1/42 を取る}.

2 x⁴ +y⁴ = 1を満たす集合が有界かつ閉集合なので, x+ 8yはその上で最大値を 持つことが保証される. 今, (a, b)で最大値をもつとすると, ある定数λが存在して

1 = λ(4a³), 8 = λ(4b³), a⁴ +b⁴ = 1

を満たす. 最初の２式より, λを消去してb³ = 8a³となる. よってb = 2a. これを 第３式に代入して, a⁴ + 16a⁴ = 1. つまりa = ±₁₇^11/4. b = 2aからb = ±2₁₇¹_1/4. こ の２点のうち最大値を与えるのは, (a, b) = (₁₇¹1/4,2₁₇¹1/4) ^であって, ^{求める最大値} はa+ 8b = ₁₇¹⁷1/4 = 17^3/4.

3 放物線y = x²と点P = (2,¹₂)との距離を求める問題は, 条件x² −y = 0の下で, (x−2)² + (y − ¹₂)²を最小にする問題と同じである. ^{放物線上の点}(x, y)^のうちで x → +∞^{となる点では}(x−2)²+ (y−¹₂)²の値はいくらでも大きくなりうるが, 最 小値は存在することに注意しよう.

そこで放物線上の点(x, y)で(x−2)²+ (y −¹₂)²を最小となる点を(a, b)とすると, ある定数λ^{が存在して}, ^{次を満たす}:

2(a−2) = λ(2a), 2(b− 1

2) =λ(−1), b = a².

最初の２式からλを消去して2(a−2) + 4a(b−¹₂) = 0. よってab = 1となる. 第３式 のb = a²を代入して, a³ = 1. よってa = 1. またb = 1となるので, (a, b) = (1,1) を得る. ^{従って求める距離は}

√

(a−2)² + (b− ¹₂)² =

√5

2 となる.