10
２重積分 問題演習 演習問題解答例基本演習
1
次の２重積分を計算して下さい：ZZ
(y2 ≤x3+ 17 0≤x≤2,0≤y
y dxdy
ZZ
(y2≤x3+ 17 0≤x≤2,0≤y
y dxdy = Z
20
Z
√x3+17 0y dydx
= Z
20
∑ 1 2 y
2∏
√x3+17 0dx
= Z
20
1
2 (x
3+ 17)dx
= 1 2
∑ 1
4 x
4+ 17x
∏
20
= 19
この積分領域はちょっと絵が描きにくいですがこんな感じになります：
基本演習
2 (
問題集8.2(4))
次の累次積分の積分順序を交換して計算して下さい：Z
1 0Z
2x x2x
2y dydx.
まずこの積分領域（
D
とします）を不等式で表すと
x ≤ y ≤ 2x 0 ≤ x ≤ 1
となり、これを図示すると下図左の様になっています：
先ほどの不等式はこの領域をたて切りにした不等式でしたので今度は横切りにしてみ ましょう。これは上図右の通りで、切る位置によって
x
の動く範囲を表す関数が変わっ て来ますので注意しますと
y
2
≤ x ≤ 1 1 ≤ y ≤ 2
または
y
2
≤ x ≤ y 0 ≤ y ≤ 1
が得られます。これを元にもとの累次積分（これを
J
とします）を横切りの累次積分に 直せばJ = Z
21
Z
1y 2
2x
2y dxdy + Z
10
Z
yy 2
2x
2y dxdy
ですので後はこの積分を計算します。
J = Z
21
∑ 2 3 x
3∏
1y 2
y dy + Z
10
∑ 2 3 x
3∏
yy 2
y dy
= 2 3
Z
2 1µ y − y
42
3∂ dy + 2
3 Z
10
µ y
4− y
42
3∂ dy
= 2 3
∑ y
22 − y
540
∏
2 1+ 2 3
∑ 1 5 y
5− y
540
∏
1 0= 2 3
µ 2 − 4
5 − 1 2 + 1
40 + 1 5 − 1
40
∂
= 3 5
基本演習
3 (
問題集8.11(4)) a > 0
の時に次の２重積分をたて切り・よこ切りの２ 通りの累次積分に直して計算して下さい：ZZ
D
x dxdy, D :
a
2≤ x
2+ y
2≤ 2ay x ≥ 0, y ≥ 0.
まずこの積分領域
D
を図示すると、x
2+ y
2≤ 2ay x
2+ y
2− 2ay ≤ a
2x
2+ (y − a)
2≤ a
2に注意すれば左図の様な２円と座標軸に囲ま れた領域となります。
それではこの領域をまずたて切りにして不等式で表現し累次積分へと変形します。
図の通り、たて切りにする場合、切る位置が√3a
2 の右側である場合と左側である場合と では
y
の範囲を指定する関数が変わって来ます。領域を表す不等式は
√ a
2− x
2≤ y ≤ a + √ a
2− x
20 ≤ x ≤
√23aまたは
a − √
a
2− x
2≤ y ≤ a + √ a
2− x
2√3a
2
≤ x ≤ a
となり、これに応じて累次積分に変形すれば題意の積分J
はJ = Z
√23a0
Z
a+√ a2−x2√a2−x2
x dydx + Z
a√3a 2
Z
a+√ a2−x2 a−√a2−x2
x dydx
= Z
√23a0
ax dx + Z
a√3a 2
2x p
a
2− x
2dx
= h a 2 x
2i
√23a0
+
∑
− 2 3
° a
2− x
2¢
32∏
a√3a 2
= 3a
38 + 2a
33 · 8
= 11
24 a
3 となる事が分かります。次に横切りにすると図の様にこちらも切る位置が
a
を境にしてx
の動く範囲を記述す る関数が変わります。領域を表す不等式は
0 ≤ x ≤ p
a
2− (y − a)
2a ≤ y ≤ 2a
または
p a
2− y
2≤ x ≤ p
a
2− (y − a)
2a
2
≤ y ≤ a
となり、これに応じて累次積分に変形すれば題意の積分J
はJ = Z
2aa
Z √
a2−(y−a)2 0
x dxdy + Z
aa 2
Z √
a2−(y−a)2
√
a2−y2x dxdy
= Z
2aa
∑ 1 2 x
2∏ √
a2−(y−a)2 0
dy + Z
aa 2
∑ 1 2 x
2∏ √
a2−(y−a)2
√
a2−y2dy
= 1 2
Z
2a a© a
2− (y − a)
2™ dy + 1
2 Z
aa 2
© a
2− (y − a)
2− a
2+ y
2™ dy
= 1 2
∑ ay
2− 1
3 y
3∏
2a a+ 1 2
£ ay
2− a
2y §
aa 2
= 1 2
µ 4a
3− 8
3 a
3− a
3+ 1
3 a
3+ a
3− a
3− a
34 + a
32
∂
= 11 24 a
3 です。基本演習
4 (
問題集8.7(4))
次の２重積分をたて切り・よこ切りの２通りの累次積分に直して計算して下さい：
ZZ
x2≤y≤2−x
x
2dxdy.
この積分領域を
D
とすればこれは左図の様 になっています。そこでまずこの領域をたて切りにして不等式 で表すと
x
2≤ y ≤ 2 − x
− 2 ≤ x ≤ 1
ですから、題意の２重積分J
はJ = Z
1−2
Z
2−x x2x
2dydx
= Z
1−2
° 2 − x − x
2¢ x
2dx
=
∑ 2 3 x
3− 1
4 x
4− 1 5 x
5∏
1−2
= 1 60
£ 40x
3− 15x
4− 12x
5§
1−2
= 1
60 (40 − 15 − 12 + 320 + 240 − 384)
= 63
20
となる事が分かります。次にこの領域を横切りにしてみましょう。図の通り、切る位置
y
が1
より大きい場合 と小さい場合ではx
の動く範囲を示す関数が違って来ます：従ってこの領域を不等式で書けば
− √ y ≤ x ≤ 2 − y 1 ≤ y ≤ 4
または
− √ y ≤ x ≤ √ y 0 ≤ y ≤ 1
となり、これを使って累次積分を計算すればJ = Z
41
Z
2−y−√y
x
2dxdy + Z
10
Z
√y−√y
x
2dxdy
= Z
41
∑ 1 3 x
3∏
2−y−√y
dy + Z
10
∑ 1 3 x
3∏
√y−√y
dy
= 1 3
Z
4 1© (2 − y)
3+ y √ y ™ dy + 1
3 Z
10
2y √ ydy
= 1 3
∑
− 1
4 (2 − y)
4+ 2 5 y
52∏
4 1+ 1 3
∑ 4 5 y
52∏
1 0= 1 3
µ
− 4 + 64 5 + 1
4 − 2 5 + 4
5
∂
= 1
60 ( − 80 + 256 + 5 − 8 + 16)
= 63 20
となってさっきの答えと一致します。
基本演習
5 (
問題集8.3(4))
次の２重積分を計算して下さい：ZZ
y≤2x, y≥2x2
(3y
2− xy)dxdy.
問題の積分領域
D
は左図の通りであっ て、これをたて切りにして不等式で表現 すると
2x
2≤ y ≤ 2x 0 ≤ x ≤ 1
となりますのでこれを元に累次積分を計 算して行きます。
ZZ
y≤2x, y≥2x2
(3y
2− xy)dxdy = Z
10
Z
2x 2x2(3y
2− xy)dydx
= Z
10
∑ y
3− 1
2 xy
2∏
2x 2x2dx
= Z
10
° 8x
3− 2x
3− 8x
6+ 2x
5¢ dx
=
∑ 2x
4− 1
2 x
4− 8 7 x
7+ 1
3 x
6∏
10
= 2 − 1 2 − 8
7 + 1 3
= 1
42 (84 − 21 − 48 + 14)
= 29 42
横切りでも同様に計算出来るでしょうが、ルートの計算を含む分だけ面倒になるかも知 れません。
基本演習
6 (
問題集8.19)
次の２重積分を計算して下さい：ZZ
|x|+|y|≤1
(x
2+ y
2)dxdy.
被積分関数の性質から、第１象限のみ計算して４倍すれば良い事が分かります。
Z Z
|x|+|y|≤1
x
2y
2dxdy =4 Z Z
x+y≤1 0≤x,0≤y
x
2y
2dxdy
まず積分領域を
x, y
の連立不等式で書けば=4 Z Z
(0≤x≤1−y 0≤y <1
x
2y
2dxdy
となりますのでこれを逐次積分に直して計算してゆけば
=4 Z
10
Z
1−y 0x
2y
2dxdy
=4 Z
10
∑ y
23 x
3∏
1−y 0dy
=4 Z
10
1
3 y
2(1 − y)
3dy
= 4 3
Z
1 0(y
2− 3y
3+ 3y
4− y
5)dy
= 4 3
∑ 1 3 y
3− 3
4 y
4+ 3 5 y
5− 1
6 y
6∏
10
= 4 3
µ 1 3 − 3
4 + 3 5 − 1
6
∂
= 4 3
20 − 45 + 36 − 10 60
= 1 45
ですね。基本演習
7 (
問題集8.18(2))
次の２重積分を計算して下さい：ZZ
D
y dxdy, D :
p
x2
+ p
y3
≤ 1 x ≥ 0, y ≥ 0.
問題の積分領域
D
は左図の通りであって、これ をたて切りにして不等式で表現すると
0 ≤ y ≤ 3 ° 1 − p
x2
¢
20 ≤ x ≤ 2
となりますのでこれを元に累次積分を計算して行 きます。
ZZ
D
y dxdy = Z
20
Z
3(
1−√
x 2)
20
y dydx
= Z
20
9 2
µ 1 −
r x 2
∂
4dx
= 9 Z
10
(1 − √ t)
4dt
= 9 Z
10
