微積分Ｉ 演習
(第
10回演習問題の解答
)問題10-1 次の積分を計算せよ。
(1)
∫ π
2 0
sinnxcosxdx (2)
∫ 1
2 0
Arccosxdx
（解）sinx=tとおく。dt= cosxdxとなる。n̸=−1のとき、
∫ π
2 0
sinnxcosxdx=
∫ 1 0
tndx= [tn+1
n+ 1 ]1
0
= 1
n+ 1n=−1 のとき、
∫ 1 0
t−1dt= [logt]10=−∞ (2)
∫ 1
2 0
Arccosxdx= [xArccosx]012 −
∫ 1
2 0
x (
− 1
√1−x2 )
dx
=π 6 −1
2
∫ 1
2 0
√−2x
1−x2dx=π 6−1
2
∫ 3
4 1
t−12dt= π 6−1
2 [
2t12 ]3
4 1 = π
6−
√3 2 + 1
■ 問題10-2 次の曲線の長さ、曲面の面積、及び立体の体積を求めよ。
(1) x23+y23 = 1（アステロイド）（Hint:三角関数を用いてパラメータづけせよ）
(3) (sinθ,sin 2θ)（リサジュー曲線） (4) 4次元球体の体積
(5) 対数螺旋r=aebθの中心からθ= 6πまでの面積。 （オウムガイなど）
（解）(1) x, y≥0の部分を計算して4倍すればよい。そのとき、x= cos3θ, y= sin3θ (0≤θ≤ π
2)であり、このとき、
cosθ≥0,sinθ≥0であることから、
∫ π
2 0
√
(3 cos2θ(−sinθ))2+ (3 sin2θ(cosθ))2dθ
= 3
∫ π
2 0
(cosθsinθ)√
cos2θ+ sin2θ dθ= 3
∫ π
2 0
cosθsinθ dθ= 3 2
∫ π
2 0
sin 2θdθ=3 2 [
−cos 2θ 2
]π2
0
= 3
2ゆえにアステロイドの 長さは6. (2) 公式に代入して計算すると、
∫ 2π 0
√(sinθ)2+ (sin 2θ)2dθ=
∫ 2π 0
|sinθ|√
1 + 4 cos2θdθ= 4
∫ π
2 0
sinθ√
1 + 4 cos2θdθ
= 4
∫ 0 1
√
1 + 4x2dxここで、x=1
2sinhφと変換すると、2
∫Arcsinh(2) 0
cosh2φdφ=
∫ Arcsinh(2) 0
cosh 2φ−1
2 dφ
=
[sinh 2φ
4 −φ
2
]Arcsinh(2) 0
= 2√
5+Arcsinh(2)となる。(3) t=rsinθと置くと
∫ r
−r
4π 3 (√
r2−t2)3dt=8πr4 3
∫ π
2 0
cos4θdθ= π2r4
2 (4) 公式から、1 2
∫ 6π 0
a2e2bθθ=a2 2
∫6π 0
e2bθdθ=a2 2
[e2bθ 2b
]6π 0
=a2
4b(e12πb−1)
■
問題10-3 次の誘導に沿って
∑∞ n=1
1
n2 の値を求めてみよう。
(1)
∫ 1 0
Arcsinx
√1−x2dx · · ·(⋆)の値を計算せよ。 (2) Arcsinxをテイラー級数展開せよ。
(3)
∫ 1
0
x2n+1
√1−x2dxの値と(⋆)の項別積分の値から、
∑∞ n=1
1
(2n+ 1)2 の値を求めよ。
(4) (3)の結果から
∑∞ n=1
1
n2 の値を求めよ。
（解）
(1) (与式)=
[(Arcsinx)2 2
]1 0
= π2
8 (2) Arcsin(x) =
∑∞ n=0
(2n−1)!!
(2n)!!
x2n+1
2n+ 1 (3) x = sinθ とおくと
∫ 1 0
x2n+1
√1−x2 dx =
∫ π
2 0
sin2n+1θdθ= (2n)!!
(2n+ 1)!! となる。そこで、
∫ 1 0
Arcsinx
√1−x2dx=
∑∞ n=0
(2n−1)!!
(2n)!!
1 2n+ 1
∫1 0
x2n+1
√1−x2dx
1
=
∑∞ n=0
(2n−1)!!
(2n)!!
1 2n+ 1
(2n)!!
(2n+ 1)!!=
∑∞ n=0
1
(2n+ 1)2この式は(1)からπ2
8 である。(4)
∑∞ n=1
1 n2 =
∑∞ n=1
1 (2n)2+
∑∞ n=0
1 (2n+ 1)2 = 1
4
∑
n=1
1 n2 +π2
8 となるから、
∑∞ n=1
1 n2 = π2
6 となる。
■
2
