回演習問題の解答

微積分Ｉ 演習

第

回演習問題の解答

問題10-1  次の積分を計算せよ。

(1)

∫ ^π

2 0

sinⁿxcosxdx (2)

∫ ¹

2 0

Arccosxdx

（解）sinx=tとおく。dt= cosxdxとなる。n̸=−1のとき、

∫ ^π

2 0

sinⁿxcosxdx=

∫ 1 0

tⁿdx= [tⁿ⁺¹

n+ 1 ]1

0

= 1

n+ 1n=−1 のとき、

∫ 1 0

t⁻¹dt= [logt]¹₀=−∞ (2)

∫ ¹

2 0

Arccosxdx= [xArccosx]₀¹² −

∫ ¹

2 0

x (

− 1

√1−x² )

dx

=π 6 −1

2

∫ ¹

2 0

√−2x

1−x²dx=π 6−1

2

∫ ³

4 1

t⁻¹²dt= π 6−1

2 [

2t¹² ]³

4 1 = π

6−

√3 2 + 1

■ 問題10-2 次の曲線の長さ、曲面の面積、及び立体の体積を求めよ。

(1) x²³+y²³ = 1（アステロイド）（Hint:三角関数を用いてパラメータづけせよ）

(3) (sinθ,sin 2θ)（リサジュー曲線） (4) 4次元球体の体積

(5) 対数螺旋r=ae^bθの中心からθ= 6πまでの面積。 （オウムガイなど）

（解）(1) x, y≥0の部分を計算して4倍すればよい。そのとき、x= cos³θ, y= sin³θ (0≤θ≤ π

2)であり、このとき、

cosθ≥0,sinθ≥0であることから、

∫ ^π

2 0

√

(3 cos²θ(−sinθ))²+ (3 sin²θ(cosθ))²dθ

= 3

∫ ^π

2 0

(cosθsinθ)√

cos²θ+ sin²θ dθ= 3

∫ ^π

2 0

cosθsinθ dθ= 3 2

∫ ^π

2 0

sin 2θdθ=3 2 [

−cos 2θ 2

]^π₂

0

= 3

2^{ゆえにアステロイドの} 長さは6. (2) 公式に代入して計算すると、

∫ 2π 0

√(sinθ)²+ (sin 2θ)²dθ=

∫ 2π 0

|sinθ|√

1 + 4 cos²θdθ= 4

∫ ^π

2 0

sinθ√

1 + 4 cos²θdθ

= 4

∫ 0 1

√

1 + 4x²dxここで、x=1

2sinhφと変換すると、2

∫Arcsinh(2) 0

cosh²φdφ=

∫ Arcsinh(2) 0

cosh 2φ−1

2 dφ

=

[sinh 2φ

4 −φ

2

]Arcsinh(2) 0

= 2√

5+Arcsinh(2)となる。(3) t=rsinθと置くと

∫ _r

−r

4π 3 (√

r²−t²)³dt=8πr⁴ 3

∫ ^π

2 0

cos⁴θdθ= π²r⁴

2 (4) 公式から、1 2

∫ 6π 0

a²e^2bθθ=a² 2

∫6π 0

e^2bθdθ=a² 2

[e^2bθ 2b

]6π 0

=a²

4b(e^12πb−1)

■

問題10-3 次の誘導に沿って

∑∞ n=1

1

n^{2 の値を求めてみよう。}

(1)

∫ 1 0

Arcsinx

√1−x²dx · · ·(⋆)の値を計算せよ。 (2) Arcsinxをテイラー級数展開せよ。

(3)

∫ ₁

0

x²ⁿ⁺¹

√1−x²dxの値と(⋆)の項別積分の値から、

∑∞ n=1

1

(2n+ 1)^{2 の値を求めよ。}

(4) (3)の結果から

∑∞ n=1

1

n^{2 の値を求めよ。}

（解）

(1) (与式)=

[(Arcsinx)² 2

]1 0

= π²

8 (2) Arcsin(x) =

∑∞ n=0

(2n−1)!!

(2n)!!

x²ⁿ⁺¹

2n+ 1 (3) x = sinθ とおくと

∫ 1 0

x²ⁿ⁺¹

√1−x² dx =

∫ ^π

2 0

sin²ⁿ⁺¹θdθ= (2n)!!

(2n+ 1)!! ^{となる。そこで、}

∫ 1 0

Arcsinx

√1−x²dx=

∑∞ n=0

(2n−1)!!

(2n)!!

1 2n+ 1

∫1 0

x²ⁿ⁺¹

√1−x²dx

1

=

∑∞ n=0

(2n−1)!!

(2n)!!

1 2n+ 1

(2n)!!

(2n+ 1)!!=

∑∞ n=0

1

(2n+ 1)^{2この式は}(1)からπ²

8 ^である。(4)

∑∞ n=1

1 n² =

∑∞ n=1

1 (2n)²+

∑∞ n=0

1 (2n+ 1)² = 1

4

∑

n=1

1 n² +π²

8 ^{となるから、}

∑∞ n=1

1 n² = π²

6 ^となる。

■

2