微分積分 II 補助演習問題 No.8 解答例

微分積分

II

No. 8

1 (1) ^{スカラー場}ϕ(x, y, z) = 5z−x² −y^{2に対して},

grad ϕ = (−2x) i−2y j+ 5 k.

(2) ^曲面ϕ(x, y, z) = 0^上の点P (1,3,2)における単位法ベクトルn^は, n = ± grad ϕ

∥grad ϕ∥ = 1

√65(−2i−6j+ 5k).

よって, P における接平面の方程式は, −2(x−1)−6(y−3) + 5(z−2) = 0, すな わち

−2x−6y + 5z + 10 = 0 となる.

2 ベクトル場F = 2x²y i−2(xy² +y³z) j+ 3y²z² k に対して, div F = 4xy+ (−4xy −6y²z) + 6y²z = 0.

また

rot F =





i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

2x²y −2(xy² +y³z) 3y²z²





= (6yz² + 2y³)i+ (−2y² −2x²)k.

3 スカラー場ϕ(x, y, z) = 3xy²z³に対して,

grad ϕ = 3y²z³i+ 6xyz³j+ 9xy²z²k.

よって

∆ϕ = div(grad ϕ) = 6xz³ + 18xy²z

= ^を得る.