微分積分 II 補助演習問題 No. 7 解答例
1 (1) 3点A (1,2,1), B (3,0,0), C (2,1,3)に対して,
−→AB = 2 i−2 j − k, −→
AC = i− j+ 2 k となる. よって
−→AB ×−→
AC =
i j k 2 −2 −1 1 −1 2
= −5 i−5 j
となる. また A, B, Cを通る平面に垂直な単位ベクトルをnとすると,
n = ±
−→AB ×−→
AC
∥−→
AB ×−→
AC∥ = ±( 1
√2 i+ 1
√2 j).
(2) 三角形ABCの面積をSとおくと S = 1
2∥−→
AB×−→
AC∥ = 5 2
√2.
2 直線l 上の点Qに対して, P Qの長さが最短となるのは−→
P Q ⊥ bのときなので, (a+t b −p)·b = 0
を解いて
t = −(a−p)·b
∥b∥2 . このとき求める距離をdとすると
d2 = |P Q|2 = ∥(a−p)− (a−p)·b
∥b∥2 b∥2
= ∥a−p∥2 − |(a−p)·b|2
∥b∥2 = ∥(a−p)×b∥2
∥b∥2 となる. これより結論を得る.
別解法: Qを始点としての2つのベクトル−→
QP ,bからできる長方形の面積を考え ると, S = ∥(a−p)×b∥ = d× ∥b∥ となるべきなので, これからもすぐにわかる.
(2) 2点a= −→
OA = 2 i+ 2 j, b = −→
AB = −4 i−3 j+kとして, このとき直線l の原 点からの距離をdとすると,
d2 = ∥a×b∥2
∥b∥2 = ∥a∥2 − |a·b|2
∥b∥2 = 8− 142 26 = 6
13. よってd =
√6 13 =
√78 13 .
3 m > 0, ωを定数として, ベクトル関数 r(t) = (1−cos(ωt)
ω ) i+ (sin(ωt)
ω ) j+t k に対して,
r′(t) = sin(ωt) i+ cos(ωt) j+ k, mr′′(t) =mωcos(ωt) i−mωsin(ωt) j.
一方, Bを定数として, B = B kなので,
r′(t)×B =
i j k
sin(ωt) cos(ωt) 1
0 0 B
= Bcos(ωt) i−Bsin(ωt) j
となるので, B = mωとして
mr′′(t) =r′(t)×B が成り立つことが確かめられた. よってB = mω k.
