微積分Ｉ 演習
(第
6回演習問題の解答
)問題6-1 次の極限を求めよ。
(1) lim
x→0
sinx
xcosx (2) lim
x→0xx (3) lim
x→0
„x−sinx
x −1−cosx x2
«
（解）
(1) lim
x→0
cosx
cosx−xsinx= 1であるから、ロピタルの定理から、lim
x→0
sinx
xcosx = 1が成り立つ。
(2) lim
x→0logxx= lim
x→0xlogx= 0である。ゆえに、logxの連続であることから、lim
x→0xx= 1 (3) lim
x→0
2−3 cosx+xsinx
2 =−1
2から、ロピタルの定理から、lim
x→0
2x−sinx−xcosx−sinx
2x =−1
2 また、lim
x→0
x2−xsinx−1 + cosx
x2 = lim
x→0
„x−sinx
x −1−cosx x2
«
=−1 2
■ 問題6-2 以下の関数をo(x3) (x→0)を用いてなるべく簡単な多項式で近似せよ。
(1) cosx (2) log(x+ 1) (3) tanx
（解）
(1) lim
x→0
cosx−(a+bx+cx2+dx3)
x3 = 0となるa, b, c, dを求める。極限が存在するため、分子は0に収束しなければなら
ない。よってa= 1となる。このとき、極限は不定形なのでロピタルの定理から lim
x→0
−sinx−(b+ 2cx+ 3dx2)
3x2 = 0であれ
ばよい。特にこの分子は0に収束するからb= 0でなければならない。このとき極限は不定形なので、ロピタルの定理から、
x→0lim
−cosx−(2c+ 6dx)
6x = 0であればよい。特にこの分子は0に収束するからc=−1
2でなければならない。このとき、極 限は不定形であるから、ロピタルの定理から、lim
x→0
sinx−6d
6 = 0であればよい。特にこの分子は0に収束するからd= 0で なければならない。つまり、cosxはx= 0で多項式1−1
2x2+o(x3)で近似できる。
(2) lim
x→0
log(x+ 1)−(a+bx+cx2+dx3)
x3 = 0となるa, b, c, dを求める。極限が存在するため、分子は0に収束しなけれ
ばならない。よってa= 0となる。このとき、極限は不定形なのでロピタルの定理からlim
x→0 1
x+1−(b+ 2cx+ 3dx2)
3x2 = 0であ
ればよい。特にこの分子は0に収束するからb= 1でなければならない。このとき、極限は不定形なので、ロピタルの定理か ら、lim
x→0
−(x+1)1 2−(2c+ 6dx)
6x = 0であればよい。特にこの分子は0に収束するからc=−1
2 でなければらない。このとき、
極限は不定形なので、ロピタルの定理から、lim
x→0 2 (x+1)3 −6d
6 = 0であればよい。特にこの分子は0に収束するからd= 1 3で なければならない。つまり、log(x+ 1)はx= 0において、x−1
2x2+1
3x3+o(x3)と近似できる。
(3) lim
x→0
tanx−(a+bx+cx2+dx3)
x3 = 0となる a, b, c, dを求める。極限が存在するため、分子は 0でなければなら
ない。よって、a = 0 となる。このとき、極限は不定形なので、ロピタルの定理から lim
x→0 1
cos2x−(b+ 2cx+ 3dx2)
3x2 =
x→0lim
1 + tan2x−(b+ 2cx+ 3dx2)
3x2 = 0であればよい。特にこの分子は0に収束するからb= 1でなければならない。この とき極限は不定形なので、ロピタルの定理から、lim
x→0
2 tanxcos12x−(2c+ 6dx)
6x = lim
x→0
2 tanx(1 + tan2x)−(2c+ 6dx)
6x = 0
であればよい。特にこの分子は0に収束するからc= 0でなければならない。このとき、極限は不定形なのでロピタルの定理 から、lim
x→0
2cos12x+ 6 tan2xcos12x−6d
6 = 0であればよい。特にこの分子は0に収束するからd= 1
3でなければならない。
つまり、tanxはx= 0でx+1
3x3+o(x3)と近似できる。
■
1
問題6-3 次の関数をx= 0においてテイラー展開せよ。
(1) sinx (2) cosx (3) log(x+ 1)
（解）
(1)
(sinx)(k)= sin
„ x+kπ
2
«
であるから、テイラーの定理より、
sinx=
n−1X
k=1
sinkπ2
k! xk+sin(ξx+nπ2 ) n! xn ただしξは0< ξ <1となる実数。もしくは、
sinx= 8>
>>
>>
>>
>>
<
>>
>>
>>
>>
>: x− 1
3!x3+ 1
5!x5+· · · − 1
(n−1)!xn−1+sin(ξx)
n! xn n= 4m x− 1
3!x3+ 1
5!x5+· · · − 1
(n−2)!xn−2+cos(ξx)
n! xn n= 4m+ 1 x− 1
3!x3+ 1
5!x5+· · ·+ 1
(n−1)!xn−1+−sin(ξx)
n! xn n= 4m+ 2 x− 1
3!x3+ 1
5!x5+· · ·+ 1
(n−2)!xn−2+−cos(ξx)
n! xn n= 4m+ 3 である。
(2)同じように(cosx)(k)= cos
„ x+kπ
2
«
であるから、テイラーの定理より、
cosx= 1 +
nX−1 k=1
coskπ2
k! xk+cos(ξx+nπ2 ) n! xn ただしξは0< ξ <1となる実数。以下略。
(3) (log(x+ 1))(k)=(−1)k−1(k−1)!
(x+ 1)k であるから、
log(x+ 1) =
n−1X
k=1
(−1)k−1
k xk+ (−1)n−1 n(ξx+ 1)nxn ただしξは0< ξ <1となる実数。
■
2
