微分積分 II 補助演習問題 No. 10 解答例

微分積分 II ^{補助演習問題} No. 10 ^解答例

1 C

^は円周

x ² + y ² = 1

^で

,

その向きは反時計まわりとする

. C

^{で囲まれる領域を}

D

とするとき

,

グリーンの定理を用いて

∫

C

(2xy + x ² ) dx + (x ² − y ² + e ^y ) dy

=

∫∫

D

(

− ∂

∂y (2xy + x ² ) + ∂

∂x (x ² − y ² + e ^y ) )

dx dy

=

∫∫

D

( − 2x + 2x) dx dy = 0

となる

.

2

曲線

C

を原点

O(0, 0)

から

,

点

P (2, 2)

を経由して点

Q(0, 1)

に至る折れ線

OP Q

とする

.

^また

,

^点

Q(0, 1)

^から原点

O(0, 0)

に至る線分からなる曲線を

C 1

とすると き

, ˜ C = C + C ₁

は閉曲線となり

, ˜ C

で囲まれる三角形領域を

D

とする

.

このとき

,

グリーンの定理を活用して

∫

C

2xy dx + (x ² − y ² ) dy +

∫

C

₁

2xy dx + (x ² − y ² ) dy

=

∫

C ˜

2xy dx + (x ² − y ² ) dy

=

∫∫

D

(

− ∂

∂y (2xy) + ∂

∂x (x ² − y ² ) )

dx dy = 0

が成り立つ

. C ₁

は

r(t) = (1 − t) j (0 ≤ t ≤ 1)

とパラメータ表示されるので

,

∫

C

₁

2xy dx + (x ² − y ² ) dy =

∫ 1 0

− (1 − t) ² × ( − 1) dt =

∫ 1 0

(1 − t) ² dt = 1

3

である

.

よって

,

求める線積分の値は

− ¹ ₃

^となる

.

3

閉曲線

C : r(t) = sin(3t) cos(t) i + sin(3t) sin(t) j (0 ≤ t ≤ π 3 ).

で囲まれた

xy

^{平面の領域}

D

^の面積を

A

^{とするとき}

A =

∫

C

x dy

=

∫

^π₃

0

sin(3t) cos t(3 cos(3t) sin t + sin(3t) cos t) dt

= 3 4

∫

^π₃

0

sin(6t) sin(2t) dt + 1 4

∫

^π₃

0

(1 − cos(6t))(1 + cos(2t)) dt

のなる

.

^{和の差の公式より}

sin(6t) sin(2t) = 1

2 (cos(4t) − cos(8t)), cos(6t) cos(2t) = 1

2 (cos(4t) + cos(8t))

なので

,

A =

∫

^π₃

0

( 1

4 cos(4t) − 1

2 cos(8t) + 1 4 − 1

4 cos(6t) + 1

4 cos(2t) )

dt

となる

.

^ここで

∫

^π₃

0

cos(2t) dt =

√ 3 4 ,

∫

^π₃

0

cos(4t) dt = −

√ 3 8 ,

∫

^π₃

0

cos(6t) dt = 0,

∫

^π₃

0

cos(8t) dt =

√ 3 16

となるので

,

^結局

A = 1

4 × ( −

√ 3 8 ) − 1

2 × (

√ 3

16 ) + π 12 + 1

4 ×

√ 3

4

= π 12

を得る

.

注

:

この曲線は極座標表示で

r(θ) = sin(3θ), 0 ≤ θ ≤ ^π ₃ )

と表せる曲線で

,

三葉線と 呼ばれるものである

.