領域シンポ発表

○ 1次元の減衰運動の中の強制振動

) ( 2 2₀ 2 2 t f x t d x d t d x d _{    }

t

d

t

t

e

t

f

e

t

e

c

x



 t

cos

(



)



1

 t



t

(



)

 t

sin



(





)









  

ω

2

＝

ω

02

－

γ

2

とおくと、一般解は

○ 外力ｆ（ｔ）＝f

₀

sinΩｔの場合

t f x t d x d t d x d _{   } sin 2 ₀2 ₀ 2 2  















































 













































 

t

f

t

e

c

t

t

f

t

e

c

x

t t

sin

2

)

(

cos

2

cos

2

sin

)

(

cos

2 2 2 0 2 0 0 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 0

この一般解は

1

φ は外力と変位との間の位相差で



2



2





2 0 2 0 0 2        f D 2 0 2 0 2 tan        

時間が経つと、第１項は無視できる。この場合の振幅を

Dとすると

これに対して一定の外力（

_{Ω=０）の場合の変位をD}

₀

と

すると、



2



2 2 2 0

1

4

1





h

D

D







0 0 ,     _   h

ただし

2

外力の振動数に

対する振幅

外力の振動数に対する

位相のずれ

・h=０,ξ ＝１（粘性がなく振動数が同じ）場合、共鳴が起こり、 時間と共に発達する。 ・位相に関して、外力の振動数が小さい時は、変位はそれに ついてゆく。しかし、Ω が大きくなると、外力の変位とは逆（φ =π ） になる。この境界はΩ ＝ω である。 ・時間がたった時の変位は ・速度は x  Dcos



t  



で変位に対してπ /2だけ位相が進む



  



 D t x sin

3

○ パラメータ励振

振り子の振動数_ω0の2倍で支点を 上下させる



₀2

sin

2

₀



0

2 2

















t

t

d

d

m

・ブランコをこぐときには、ブランコの周期の半分の

周期で腰を上下させる。こうして支点から重心までの

距離を周期的に変えると、ブランコの振幅を大きく

することができる。

・単振り子の糸を周期的に長くしたり短くしたりすると、

単振り子の振幅が大きくなる。

4

○ パラメータ励振するのは

0 2 sin 2 2 sin ₀    0 ₀2 2 ₀     dt t dt dt d t dW       

・時間ｄｔの間に加えられる仕事

（角

_{θを変位をみたときの仕事）は}

と、常に正であり、振り子はたえずエネルギーを増し、

ふれは次第に大きくなる。

例：ブランコ

身近な振動と共鳴の数々・ブランコ

www.osaka-kyoiku.ac.jp/~masako/exp/melde/buranko.html



















t

t

d

d

m

_{2 0}2 ₀ 2

2

sin

5

● 1次元波動の記述の仕方

6

今までは時間変動だけの振動であった

1次元進行波 －時間 ｔ と距離 ｘ－ の記述の

○一つの単色波の伝搬

η＝Re( A exp {i (k x-ωt)} )

r i i r

A

A

A

A

A

where

t

x

k

A





















tan

,

)

(

cos

2 2 2

A

ｔ=t₁ ｔ=t₂ ( >ｔ₁) 2π／ｋ

0



k



ｘ

7

○二つの単色波の重ね合わせ

)

cos(

)

(

sin

2

2

1

2

1

sin

2

1

2

1

sin

0 0 0 0 0 0

t

x

k

t

x

k

t

x

k

k

t

x

k

k

















































_

_















_

_



























_

_















_

_



搬送波 (carrier waves) 包絡線 → 振幅を表し エネルギーに関係する (envelopes) ｘ













0 0

k

k

8

k k  





0 0 x

c

k









k















0 0

k

k

○二つの速度が定義される： ○ 複数の波動の重ね合わせ：_{ω＝ｆ（ｋ）： 分散関係} ：位相速度 ：群速度 0 , 0 0 0     k k





t=t₁ t=t_２ ｋに依存しない・・・・・非分散 ｋに依存する・・・・・・・分散性がある

:

k

d

d

c

_gx





群速度（エネルギーの速度） ：位相速度 仮定

9

空間的に孤立した波にかたまりについても

波数空間では局在したところに集中して存在する

●２次元波動

 





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                        z x z x z x S            ｘ ｚ λ _x λ λ _ｚ 物理空間 ｋ ｎ 波数空間 三角形ABCの面積S A C B

 

2 2 2

2

,

2

,

n

k

K

n

k

K

z x

































ｚ方向に平行 波数空間で考える方がベクトルとしてわかりやすい！

K

k n

11

地球の自転が小さい場合の方程式系

●大気の状態を記述する方程式系（ただし地球回転と大気粘性は無視） （A2） （連続の式） k g p dt v d _{   }  1

 

 0      v t   （A1） （運動方程式） 0   dt dQ T C dt d p       _              p p T p p R p _{00 00} （A3) （熱力学第一法則の式） （A4) （温位の定義式）





エクスナー関数（無次元の圧力） 　 例えば 代表的な気圧 　 乾燥空気の気体定数 定圧比熱 　 ル 鉛直方向の単位ベクト 　 重力加速度 ：温位 　 ：密度 　 気圧 　 風の二成分 完全系 つの式がある 変数に対して、 θの ρ ， ， 二次元の場合、 : / , / , ) 1000 ( : , : , : , : , : , , , : , : ) , ( 5 5 , p, w u 00 00     p p C R hPa p R C g p w u p p      k v

12

●同高度で二つの異なる空気塊がある場合、どちらが重いか どうかは、空気塊の重さ、つまり、その密度ρ で判断する。軽 い密度(高温)の 空気塊の方が重い（低温）空気塊より上向き の力を得る (その力を「浮力」という) 。 気体の状態方程式より ｐ ∝ρ T → ρ ∝ 1/T （ｐが同圧 の場合) ●異なる高度にある空気塊間の浮力は？ → 空気塊を断熱的に別の空気塊と同じ高度まで持ってきて、 同圧にして、密度あるいはその時の温度で比較する． → すべての空気塊を規準気圧まで持ってきてその高度にお ける密度（あるいは温度の逆数）で比較する． → 温位が適している。空気塊が異なる高度であっても密度と も簡単に結びつき浮力を相互比較できる便利な量。

浮力

13

静的安定度(1) 鉛直方向の運動方程式

dw

dt

= - g - 1





p



z

静力学平衡の（空気塊が鉛直方向に運動をしない）状態

0 = - g - 1





p



z

気圧が周囲のもの と変わらないものと仮定し、 空気塊が平衡状態から僅かに断熱的に上方に移動したときの 鉛直方向の運動方程式は

p



w



t

= d

2

_z

dt

2

= - g - 1





p



z

= - g - 1



(- g



) = g



-





= g



-

_



14

静的安定度(2) ここで、



_{= T p}

p

₀ - R Cp

p =



RT



(z)





+ (d



dz

)z

（温位と気温の関係式）、 （状態方程式）、 （温位減率で成層状態を決める） よって、

d

2

_z

dt

2

= - g



(d



dz

)z



- N

2

z,

N : Brunt-Vaisala振動数

z

d

d

g

N







2 ブラント-バイサラ振動数 時間の逆数の二乗

15

Brunt-Vaisala振動数の意味 (1)

浮力により自分で上下方向に振動する振動数

--- 標準的な大気で

N



10

300

3.0

1000

= 1

100

( /s)

N

2

_{< 0: 絶対不安定大気}

N

2

_{= 0: 中立（等温位）大気}

N

2

_{> 0: 安定大気}

16

w = 0

浮力

浮力

浮力

w = -w_max w = -w_max w = 0 w = 0

断熱的に

持ち上げ

0

1/N

time

・等温位大気（

_{N = 0）：気塊を持ち上げても浮力}

を得ないので振動しない

・安定度（

_∂



_{/∂z）が高い程、浮力が大きくなり振}

動数（

_{N）が大きくなる}

Brunt-Vaisala振動数の意味 (2)

17

内部重力波

１方向に復元力が ある場合

①

②

0



N



2







1



N



0 









N

cos

どうしてこうなる？

波面の進む方向

ｚ

α

19

u

u





w



w











(z

)





  (z)  







(z

)







x

t

u



















) (  C_p

b

z

t

w

_

_



















) (b  g



 

0

















z

w

x

u

0

2













N

w

t

b

(1) (2) (3) (4)

z

g

N











2 大気の安定度： ・地球大気は正値を持つ。 ・安定成層をする

20

0 2 2 2 2 2 2 2 2 2                     N x w z w x w t )] ( exp[i kx nz t A w    )] ( exp[ 2 A i kx nz t k n _      )] ( exp[ 2 t nz kx i A i N b        )] ( exp[i kx nz t A k n u     2 2 2 2 2 k n N k    図 非静力学系（実曲線）と静力学系 （実直線）における無次元の波数 （k/n）と振動数（ω/N）の関係の比較 δ =0 δ =1 Nが与えられた時の（k,n,ω）の関係 ⇒ 分散関係

21







_{2 2}



3/2 2 / 3 2 2 2

,

k

n

N

k

n

n

k

n

N

n

k























.

2 2

k

n

N

k















_{2 2}



3/2 0 2 2 / 3 2 2 2              k n N k n k n N n k n n k k c k _g





ベクトルのｋ と c_g は直交する！

22

           cos ) / 2 ( ) / 2 ( / 2 2 2 2 2 2 2        x z z x z x k n k N 　 　 波数を波長に直すと k n

K



群速度の方向 波数空間 Λ_ｘ Λ_ｚ x 物理空間 波面の 進む方向

α

ｚ

23

物理的解釈 ある波面 流体粒子の 振動 斜面における質点の運動： 斜面方向にｇ ｃｏｓ_{αの力が働く} ｇ ω→Ｎ ω →0 内部重力波：

24