斜 面 に お け る リル発 達 の確 率 モデ ル に つい て 柏 谷 健 二*
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(2) も の と考 えれ ぼ,そ の発 達 過 程 を次 の よ うな 段 階 に 区 別 す る こ とは 可 能 で あ ろ う. i)シ ー ト・フ ロー(無 数 の 小 水 流 条痕 の集 合) ii)基 本 水 流 条 痕 の形 成 iii)初 期 リル の形 成(単 位 流 路 の形 成) iv)定 常 リル の形 成 この うちi)か. らii)へ 移 行 す る過 程 で は,い わ ゆ. る 二 次 流 が 関 与 し,水 底 面 に 縦 筋模 様(い わ ぼ水 流 条 痕)が 形 成 され て い く.ま たii)か らiii)へ 移 る 際 に は下 刻 作 用 等 に よ り,い わ ぼ初 期 リル(単 位 流 路 とい うべ き も の)が 出現 す る. iii)か らiv)の. 過. 程 で は,蛇 行 等 に よ る分 ・合 流 が 顕 著 とな り,や が て 形 態 の 時 間 的 変 化 が 比 較 的 少 な い 定 常 リル が 出現. 第1図. 初 期 状 態 にお け る理 想 化 され た リル,. す る.. 平面 図 Fig.. 以 上 の よ うな発 達 過 程 の うち で, i)か らii)の 過. 1. A plane the. initial. figure. of. idealized. rills. at. stage. 程 は らせ ん流 と関 係 づ け られ,流 体 力学 的 問 題 と し て 取 り扱 わ れ て お り(例 え ぼAllen,. 1969, 1971) ,. 多 い ほ ど合 流 し や す い, B)水. ii)か らiii)の 過 程 は 流 路 の 発 生 と して 水 理 学 的 な. 大 きけ れ ば分 流 しや す く,水 深 が深 く,流 路 幅 が小. 問 題 の 対 象 とな って い る(例 え ぼ 芦 田 ・沢 井, 1976).. さけ れ ぼ分 流 しに くい.. しか しな が ら,本 稿 で 取 り扱 う リル の 発 達 お よび そ の 定 常 状 態 へ の過 程 と し て はiii)か らiv)へ. 今,は. の移. 時 間 ψを経 過 した 後 に 斜 面 の あ る区 間 で流 路 本 数 が. ル の安 定 化 過 程 の モデ ル 化. こ こで はiii)→iv)を. じめ にN本 の 単 位 流 路 が 一 定 の領 域 の斜 面. に存 在 して い る場 合 か ら議 論 を す す め よ う(第2図) .. 行 段 階 が考 察 の対 象 とな ろ う. 2)リ. 深 が 浅 く,流 路 幅 が. kと な って い る確 率 をpk(t)と. モ デ ル化 す る こ とに よ り,. で仮 説A)を. す る(第3図).こ. こ. 考 えれ ぼ,短 い 時 間 Δtに 区 間dxに. そ の発 達 過 程 を 抽象 化 して 考 察 を す す め るこ とに す. お い てk本 の うち どれ か 二 つ の 流 路 が 合流 す る確 率. る.ま ず モ デ ル を単 純 化 す る た め に い くつ か の仮 定. は(1本. を設 け,理 想 化 され た 斜 面 を考 え る(第1図).す. な. で は合 流 は あ りえ な い こ とを考 えれ ぼ), Qk=ƒ¿(k-1)F(x)ƒ¢xƒ¢t. (1-1). わ ち, a)単 位 幅 あた りの 表 面 流 量,勾 配,土 質 条件. た だ し, Qkは 合 流 確 率, αは合 流 係 数,そ してF(x). が 一 定 で,一 様 な 均 質平 坦 斜 面 を対 象 と す る. b). は流 路 長 に関 係 す る関 数 で あ る.. 初 期 リル の数 は流 量 に規 定 され,そ の流 路 幅,水 深. 次 に 流 路 の 分 流 は 仮 説B)を. は それ ぞれ 一 定 で す べ て等 しい(単 位 流 路 の 存 在) . c)単. 考 え て流 路 幅/水 深. に 比 例 す る とす れ ぼ(単 位 流路 の分 流 は あ りえ な い. 位 流 路 数 の 総 和 は 保 存 され ,斜 面 へ の 浸透 は. と して),分 流 確 率Rkは. な い もの とす る.. (2-1). 以 上 の よ うな 仮 定 を基 本 に して,次 に述 べ る二 つ の 仮説 を 中心 に確 率 モデ ル を構 成 した1).す な わ ち, 一 定 領 域 の 一 定 区 間 にお い てA)流. とな り,こ こで βは 分 流 係 数, wiは. 路数が多けれぼ. 幅, Diは 流 路iの 水 深, w0は 54. 流 路iの 流 路. 単 位 流 路 の幅, G(x).
(3) 第2図 Fig.. 初期 状 態 にお け る理 想 化 され た リル,断 面 図. 2. A cross. 第3図 Fig.. 3. A cross. section. of. idealized. of idealized. rill. development. よ り多 く の 合流,. 分 流 が な い とす れ ぼ,時 刻t+Δtに. の 流 路 が 分 流 してk本. 本 の 流 路 が 合 流 してk本. initial. stage. where. k rills. are. represented. 限 を とれ ぼ, kキ1, kキNの. とき. お い て 流路本. に保 た れ る確 率Pk(t+Δt)は,短. にk‑1本. the. とな る. pk(t)を 左 辺 に 移 項 し, Δtで 両 辺 を割 り極. は 流 路 長 に 関係 す る関 数 で あ る.. 数 がk本. at. k本 とな った と きの 理 想 化 され た リル,断 面 図. section. さ らに, Δtの 間 に 同 時 に2本. rills. い 時 間 Δt. とな る確 率 とk+1. とな る確 率 お よび 流 路 本 数. (4‑1). が 変 化 しな い 確 率 の和 で あ る か ら. と な り, k=1の. とき は. Pk(t+ƒ¢t)=Rk-1Pk-1(t)+Qk+1Pk+1(t) +Pk(t)(1-Qk-Rk). (5‑1). (3-1). とな る. 今,第1図. とな る.さ ら にk=Nの. 定 して考 え れ ぼ,上 式 中 のF(x),. G(x)お. は一 定 とす る こ とは可 能 で あ る か ら,こ αF(x)Δx=a',. と きは. に示 され る よ うな理 想 化 した 斜 面 に 限. βw0G(x)Δx=β'お. よ び Δx こ で は,. よびwi/w0=wi'. (6‑1). と して 議 論 をす す め る.し た が って,式(3‑1)は で あ る.. 以 上 の よ うに, iii)初 期 リル の形 成 か らiv)定. 常. リル の 形 成 へ の発 達 過程 を表 現 す る確 率 微 分 方 程 式 が 得 られ た が,そ れ を 一般 的 に解 くこ とは困 難 で あ るか ら,ま ず 最 も簡 単 な 例 と して,水 深 の変 化 がな. (3‑2) 55.
(4) く,流 路 幅 が そ の うち に含 まれ る単 位 流 路 数 に 比 例. 入 すれば. す る よ うな 場 合 に つ い て 考 え て み る.こ の こ とは . Di=D2=…. …=DN=D0(た. だ し, D0は. (10-1). 単 位 流路. を得 る.こ の 式 は,拡 張 され た 係 数 β"と α'の比 γ. の 深 さ)を 意 味 す るか ら, β'/D0を 改 めて β"と す れ ぼ,式(4‑1),. と単 位 流 路 数Nに. (5‑1)お よび(6‑1)は そ れ ぞ れ. よ って 最 も出 現 確 率 の高 い流 路 本. 数 が 決 定 され る こ と を意 味 して い る. こ こで 示 した もの は,例 え ぼ 流 路部 の低 下 に従 い 稜 線 部 もそ れ と同 量 だ け 低 下 す る よ うな場 合 に相 当 して お り,網 状 流 路 や リル の発 達 の初 期 に近 似 的 に. (4-2). 対 応 す る が,定 常 状 態 に至 る ま で の リル の 発 達過 程. (5-2). を考 えれ ぼ,こ れ まで 観 察 した 斜 面 で は 一般 的 とは 思 わ れ な い. そ こで,い. (6-2). くつ か の 近 似 を 用 い て議 論 を す すめ る. こ とに す る。 今,単. とな る.こ れ らの 方 程 式 は 先 に 筆 者 が 提 案 した もの. 位 流 路 の 幅 がw0で. あること を. 考 えれぼ,初 期 の全流路NΣi=1wiす なわちWNは. (柏谷 ・奥 田, 1977)と 同 型 とな り,母 関 数 を用 い て 一 般 に解 くこ とが で き るが な わ ち, dPi(t)/dt=0の. WN=Nƒ°i=. ,こ こで は定 常状 態,す. 場 合 に つ い て 考 え て み よ う.. 1wi=w0N. (11-1). で あ り, k本 の流 路 とな った と きの全 流 路 幅Wkは. こ の と き, β"/α'=γとす れ ぼ Wk=kƒ°i=1Wi=W0kƒ°i=1Wi'. (12-1). (7-1) と な る.ま と な る(柏 谷 ・奥 田,. 1977参. 照).ま. た. たWk/w0をWk'と. し, Di/D0をDi'. とす れ ぼ. Wk'=kƒ°i=1Ni'/di'. と な る.こ 数 で,. こ で,. N1=w1'D1',. の 関 係 が あ る.ま. より. (12-2). Niは. 流 路iに. N2=w2'D2',… た,先. 含 ま れ る単 位 流 路 …,Nk=w'kDk'. に 述 べ て い る 仮 定c)総. 単. 位 流 路 数 の 保 存 よ り,. (8-1). k ƒ°i=1Ni=N. した が っ て と な る 。 さ ら に 式(4‑1),. (5‑1),. (6‑1)は. そ れ ぞれ. (7-2) とな り, Pkは. 二 項 分 布 を示 す.. 次 に,流 路 本数kが. 最 も高 い 出 現 確 率 を もつ 場 合. を考 え れ ぼ,条 件式. Pk-1<Pk>Pk+1. (9-1). が満 た され て い る場 合 で あ る.こ れ に式(7‑2)を. 代. (4-3) 56.
(5) (5‑3). (6‑3) と な る.前. と同 様 に β"/α'=γと お い て,定 常 状態 第4図. につ い て考 え れ ぼ,式(4‑3)は. 理 想 化 され た リル が1本. の と き(k=1)の. 様 々 な 幅 に対 応 す る リル の 種 々 の 断 面 図 Fig.. 4. Schematic cross. 慮 して,式. sections. corresponding. (4‑4) とな る.ま た,式(5‑3)お. representation. valley. give. the. width. to. of k=1,. of the. of the. probable. idealized. where. rill. numerals. probable. rills. よび(6‑3)の 定 常 状 態 を考. を整 理 すれ ぼ. (14‑2) とな り,こ こ でWk', wk'は. それ ぞれk本 の 流 路 が. (13‑1) 存 在 す る と きの平 均 全 流 路 幅 お よび1本 と な る.し た が って,こ れ か ら. あ た りの 平. 均 流 路 幅 で あ る.ま た,単 純 に1本 の流 路 幅 が 一 定 と考 え れ ば Wk'•åk. (13‑2). な る関 係 が 得 られ る.流 路 幅 とい う連 続 的 な量 の表. が 得 られ る.次 に式 の計 算 を容 易 に す る た め にWk'. 現 に は 若 干 の 問 題 が 含 まれ るが,上 述 の い ず れ の場. の 近 似 的 な 関係 式 につ い て 考 え てみ よ う.. 合 で も, Wk'はkとJ次. まず,流 路 が1本 の 場 合 す な わ ちW1'の な 値 は,ど. の流 路(第4図. て,こ. 平均的. の関 係 が あ る.し た が っ. こで は 近 似 式 と して. Wk'=pk+q. 参 照)の 出現 確 率 も等 しい. (15-1). と仮 定 す る。 た だ し, p, qは 定 数 で あ る.. とすれ ぼ. そ こで 式(15‑1)を 式(13‑2)に 代 入 すれ ぼ. (14‑1) と な る.同 様 に どの 流 路 も同 じ形 態 を と る と考 え れ ば(た だ し, Wkの. 最 大 値 をN/kと. す る),. (13‑3) と な る. し た が っ て,条 . Pk‑1<Pkは 57. 件 式(9‑1)を. 用いれぼ.
(6) 妥 当性 の検 証 と方 程 式 か ら得 られ る計 算 値 の 検 討 を 行 な う. で あ り,式(11‑1)と(15‑1)か. ら. 検 証 実 験 は,比 較 的 条 件 が 変 え や す い とい うこ と. q=N(1-p). と,現 象 の構 造 が詳 細 に は明 らか に な って い な い と. が得 られ るか ら,こ れ を用いて与式 を変形すれぼ い うこ とを踏 ま えて 室 内 にお け る模 型 実 験 を採用 し た.こ の模 型 実 験 の 是 非 につ い て は 筆 者 もす で に報 告 して い る(柏 谷, 1976)の で こ こで は ふ れ な い. 2)実 験 装 置 と実 験 の 概 要 模型 斜面 と して実 験 に使 用 した土 槽 は 幅90cm, 長 さ120cmで. 上 端 か ら20cmは. り,深 さは20cmで. 給水 部 とな って お. 上 流 端 を チ ェー ン ・ブ ロ ッ クで. つ る し,勾 配 の変 化 を可 能 と した も ので あ る(第5. (16‑1). 図).土 槽 中に は 土 試 料 を厚 さ15cmに. と な る.. 一 にな る よ うに 詰 め. ま た,Pk>Pk+1は. な るべ く均. ,、凹 凸 が で き るだ け少 な くな る. よ うに 平 面 を整 形 した. 使 用 した 土 試料 は,観 察 結 果 お よび 予備 実 験 の結 果 を参 考 に して, 1,000μ 以 下 に節 分 け した 山 砂 に 適 当 に 粘 土(ベ ン トナ イ ト)を混 入 し た も の で あ る (第6図 参 照).こ. の試 料 を用 い た実 験 では,あ. る範. 囲 の流 量 で は表 面 流 出 に よ る侵 蝕 のみ が認 め られ, 地 下 水 流 出お よび 中間 流 出 は全 くな い か,あ. (17‑1) 式(16‑1),. (17‑1)とkが. f(p, ƒÁ,. して も無 視 で き るほ ど小 さな もの で あ った.し た が. 正 と い う こ とか ら. N)+1>k>f(p, ƒÁ,. N),. った と. つて,こ の 試 料 は リル の 形 成 が 主 と して表 面 流 に よ (18-1). る とい う前 提 に は適 当 な もの と考 え られ る. 予 備 実 験 の結 果 等 を踏 まえ て,流 量 を一 定 と し, 勾 配 を変 化 させ た実 験 を行 な った.実 験 条 件 は 第1 表 に示 す.実 験 経 過 の 一 部 は写 真1に 示 す が,分. が 得 ら れ る.し た が っ て,式(18‑1)よ. り γ, p , Nが. 決 定 され れ ぼ,最 も 出現 確 率 の高 い流 路 本 数 が 求 め られ る こ とに な る. IIIモ. デルの検証. 1)序 これ ま で,リ ル の発 達 過 程 を確 率 過 程 と して考 え, い くつ か の 仮説 を導 入 す る こ とに よ り,そ れ を表 現. 第5図. す る方 程 式 を導 い て き た.こ こ で は そ れ ら の仮 説 の. Fig. 58. 5. 実 験 斜 面 の 概 要,側 面 図. Illustration. of. model. slope,. side. view. ・.
(7) 第6図 Fig.. 実 験 斜 面 に使 用 され た 土 試 料 の 粒 径 分 布 6. Grain. size. composing. distribution the. model. 第1表 Table. 1. Experimental six cases. of. soil. material. slope. 実験条件 conditions. for. the. 合 流 の 過 程 を経 な が ら定 常 的 な もの へ 移 行 して い く こ とが 認 め られ る.こ の 一 連 の 実 験 に お い て は,ほ ぼ す べ て が 同 様 の 経 過 を た どっ た.ま た,実 験 の初 期 にみ られ た水 流 に よ る小 条 痕 を考 慮 す れ ぼ,先 に 模 式 化 した リル の発 達 過 程 は ほぼ 妥 当 な もの と考 え 写 真1. 実 験 斜 面 に お け る リ ル の 発 達,そ. る こ とが で き よ う.. の 写 真 は 実 験 開 始 後15',. 次 に,形 状 変 化 の測 定 は 主 と し て35mmカ で 行 な い,補 助 的 に8mmシ. 対 応 す. る. メラ Photo.. ネ カ メ ラ を併 用 した.. また,実 験 開 始 前 と終 了 後 に ポ イ ン ト ・ゲ ー ジに よ. 1. Development of rills on the model slope, appearances at 15min, 35min and 60min respectively after the ex periment. って 斜 面 形 状 を測 定 した.供 給 流 量 は三 角 堰 で調 整 し,表 流 水 の流 速 は色 素 を用 い て8mmシ. れぞれ. 35', 60'に. started. αF(x)Δx=α'と お い た もの と,式(2‑2)を. ネカメ ラ. 対象とし. お よび ス トップ ・ウ ォ ッチ で測 定 した.流 出 土 砂量. て 検 討 を す す め る,こ れ らの 式 で 必 要 と され る流路. は適 当 な時 間 間隔 ご とに 採水 を 行 な う こ とに よ り測. 数,流 路 幅 は 上 流 端 か ら10cmご. 定 した.. 合 流 数,分 流 数 は10cm間. とに 測 定 し,ま た. ご とに 針 測 した,こ の よ. 3)合 流確 率 お よび 分 流 確 率 に 関 す る仮 説 の 検 討. うに測 定 した 合 流 数 とそ の 間 隔 の 上 端 部 の 流 路 数 の. こ こで は まず 測 定 可 能 量 を含 ん で い る式(1‑1)で. 比 を合 流 比(相 対 合 流 確 率)と し,分 流 比(相 対 分 流 59.
(8) 確 率)と して は同 様 に分 流 数 と流 路 数 の 比 を と った .. この考 え方は式 との対応上,時 間平均 と位相空商平 均 が 等 しい,す な わ ち エ ル ゴ ー ド仮 説 が 成立 して い る と した もの で あ る.さ ら に 同様 の考 え方 か ら,短' い 時 間間 隔 Δtは 表 流 水 が10cmの. 間 隔 を通 過 す る. 時 間 と し,平 均 流 速 か ら求 め た. 以 上 の 操作 に 従 い,ま ず相 対 合 流 確 率 と流 路 数 の 関 係 を み る と,例 え ぼ第7図. の よ うに な り,比 較 的. 明 確 な正 の相 関 が得 られ る.他 の実 験 で も同 様 な 結 果 が 得 ら亀 て い る こ と を 考 え れ ぼ,式(1‑1)は. 妥当. 性 を 有 す る と考 え られ る.図 中実 線 で 示 され る 回帰 直線 は. (19‑1). 第8図. 分 流 確 率(比)と 比 流 路 幅(流 路 幅/水 深) の 関係. で あ り, Qk*は. 相 対 合 流 確 率(合 流比)を 示 し,ま た. こ こで の Δtの 平 均 的 な値 は0.201secで. Fig. 8. Relation between branching probability (ratio) in the ordnate and relative of the rills in the abscissa. あ る.し. width. た が って この 場合 の 相対 合 流係 数 α*(合流 確 率 が 相. る回帰 直線 は 対 的 な も の で あ る以 上,合 流 係 数 に関 して も同様 で あ る)は 約2.85×102と. い うこ とに な る.. 次 に 式(2‑2)に つ い て 考 え よ う.こ の 式 で のWN. (20‑1). は 後 ほ ど述 べ る方法 か ら得 られ た値 を用 い る こ とに. で あ り, Rk*は. す る.第8図. の もの と同 様 で あ る.ま. が相 対 分 流 確 率 と比 流 路 幅 の関 係 を示. 相 対 分 流 確 率 を示 し, Δtは式(19‑1). して い るが,前 記 の も の と同 様 正 の 相 関 を示 す.さ. 2.05×10‑1と. らに 他 の 実 験 で も同 様 の 傾 向 が 認 め られ るの で,式. 7.19と い うこ とに な る.. (2‑2)は 妥 当 な もの と思 わ れ る.図 中実 線 で 示 され. た,相. 対 分 流 係 数 β*は. な る.し た が っ て β*/α*=γの 値 は. 以 上 の よ うに,式(1‑1)お. よび(2‑2)の 仮定 が 一応. 近 似 的 に 妥 当 な もの と考 え られ るか ら,こ こ か ら 出 発 した(4‑5),. (5‑4), (6‑4)お よび 式(13‑2)は 近 似 的. に 成 立 す る もの と認 め られ る. 4)流 路 数 と全流 路 幅 の 関係 に つ い て す で に 全流 路 幅 と流 路 数 の 間 に一 次 の関 係 が 存在 す る可 能 性 を論 じて き た.そ こで,ま ず そ の 関係 を 実 験 的 に検 討 すれ ぼ,例. えぼ 第9図 の よ うに な る.. 他 の実 験 で も同 様 に か な りよい 正 の 相 関 が得 られ て い る こ とを 考 え れ ぼ,一 般 に式(15‑1)は 妥 当 な もの 第7図 Fig.. 7. 合 流 確 率(比)と リル数 の 関係 Relation. (ratio). between Qk*/ƒ¢t. and. joining the. number. と考 え る こ とが で き よ う.さ. probability of rills. ら に,す で に述 べ た. 諸式 との対 応 を考 え る た め に,式(11‑1)お. k. 60. よび式.
(9) 水 深 が 浅 くな り分 流 しや す くな る こ とを意 味 す る も の と考 え られ る.さ らに 傾 斜 角 が25° 位 か ら,そ の 値 が急 増 して い る よ うに も見 受 け られ るが,実 験 の 範 囲 内 に限 定 すれ ぼ,二 次 曲 線 近 似 よ りも直線 近 似 の ほ うの相 関 が よい.. 図中実線 で示 す回帰直線 の式 は ƒÁ. =0. .428ƒÆ+1.79. (21-1). で あ り, θは 傾 斜角 で あ る 。 次 に,第11図 第9図. Fig. 9. 全 流 路 幅(Wk)と. リル 数 の 関 係. はpと 傾 斜 角 の 関 係 を 示 す が,こ れ. も正 の 相 関 を 有 す る.ま た, pの 値 は 傾 斜 角 の増 大. Relation between total width (Wk) and number of rills. に伴 い その 増 加 率 が 減 少 す る こ とが 認 め られ る.そ. な る よ うなkの 値 を. こで,こ れ らの 値 に 対 して 回 帰 式 を とれ ぼ,直 線 近. 実 験 式 か ら求 め,初 期 の単 位流 路 数 と し,そ れ に無. 似 よ り二 次 近 似 の ほ うが よい 近 似 とな る.し た が っ. 次 元 化 され た 単 位 流路 幅1を 掛 け た もの を 初期 の相. て,こ こで の回 帰 式 と して 二 次 近 似 を用 い れ ぼ. (15‑1)を 参 照 し, WN=Wkと. 対 的 な全 流 路 幅WN'と. した.以. 上 の 検 討 か ら式. p=-1.36•~10-4ƒÆ2+7.62•~10-3ƒÆ. (13‑3)が 近 似 的 に 成 立 す る こ とが認 め られ る. 5)諸. +8.36•~10-1. となる.. 係数の特徴について こ か ら式. 第12図 は,初 期 の単位流路数Nと 傾斜角の関係を. も 出現 確 率 の. 示 してい るが,傾 斜角 の増大 に伴いNの 値 が減少す. 前 節 で式(13‑3)の 妥 当 性 に触 れ た が,こ (18‑1)が 導 か れ る こ と を考 えれ ぼ,最 高 い 流 路 本 数 は γ,p, Nを. (22-1). るとい う傾向を示 してい る.流 路数は,例 えぼ第2. 決 定 す る こ とに よ り得 ら. れ る こ と が わ か る.そ こで,ま ず γと傾 斜 角 の関 係. 図 に示す よ うな断面積に依存す ると考 えられるか ら,. で あ る が,第10図. に 示 され る よ うに正 の相 関 を有 す. 流量 を固定 した実験では,傾 斜角の増大に伴い流速. る.こ れ は,急 傾 斜 に な れ ぼ な る ほ ど蛇 行 等 に よる. が増加 し,そ の結果断面積 が減少 する とい うことに. 合 流 が 困 難 に な る こ と と,流 速 の 増 加 に 伴 い 初期 の. な り,流 路数 も減少 する もの と思 われる. ここでの回帰式 は. 第10図. 分 流 係 数(β)と合 流 係 数(α)の 比(γ)と傾 斜 角(θ)の関 係. Fig.. 10. Relation coefficient i. e. ƒÁ. and. between. ratio. (ƒÀ") to. joining. slope. angle. of. 第11図. branching. coefficient. Fig.. (ƒ¿'). (ƒÆ). 11 (p). 61. 係 数pと 傾 斜 角(θ)の関係 Relation of. between the. width. linear and. slope. coefficient angle ƒÆ.
(10) の妥 当性 が少 な く と もこ の実 験 の範 囲 では 認 め る こ とが で き よ う. IVま. と. め. 以 上 の よ うに リル の 発 達 過 程 を 確 率過 程 と して モ デ ル 化 し,い くつ か の 仮 定 を 実 験 的 に検 証 して きた 結 果,一 定 の 領 域 の 斜 面 で は(1)流路 数 が多 けれ ぼ 合 流 しや す い, (1)分流 は流 路 幅/水 深 に比 例 す る,そ 第12図 Fig.. して(3)全流 路 幅 は流 路 数 との 間 に一 次 の関 係 が 存 在. 初 期 の リル 数 と傾 斜 角(θ)の関 係. 12. Relation the. initial. between stage. and. number. of. slope. rills. す る とい うこ とが 確認 され た.さ ら に(1)(2)および(3). at. angle. を踏 ま え て定 式 化 され た確 率 微 分 方 程 式 の定 常解 に つ いて は,そ. こか ら求 め られ る最 も出 現確 率 の高 い. 流 路 本 数 の 針 算 値 と実 験 値 に お い て か な り良 好 な一 致 を示 す こ とが わ か った. 当 然 の こ とな が ら,こ こで は 初期 の単 位 流 路 数 や 流 路 幅 の決 定 等 の計 測 上 の 問題 や リル の横 断 面 形 や い くつ か の 仮定 に よる単 純 化等 の 問題 が含 まれ て い る が,お お ま か な近 似 と して は限 定 され た 斜 面 領域 に お け る こ の よ うな モデ ル は妥 当 で はな い か と考 え 第13図. られ,さ. 傾 斜 角 に対 応 す る リル 数 の実 験 結 果(○. はい え,実 際 の リル の 発 達 過 程 を 考 察 す る際 の基 礎. 印)と 計 算 結 果(曲 線)の 比 較. Fig. 13. Comparison of the experimental results (circles) with calculated results (curved line) in the number of rills as a function of slope angle. N=-0.60ƒÆ+94.9. とな るで あ ろ う と思 わ れ る. 本研究 を遂行 する上 で,終 始有益 な御指導 と御援助を いただいた京都大学防災研究所奥 田節夫教授に深 く謝意 を表 したい.ま た,し ぼ しぼ有益 な助言 をいただいた大 阪市立大学の平野昌繁助教授お よび実験に御協力をいた だいた元京都大学学生(現AIU)福 谷仁良氏や京都 大学 院生飯田智之氏をは じめ とす る院生諸氏に も心か ら謝意 を表 したい.さ らに,常 日頃,有 益な御討論を願 った京 都大学防災研究所 地形土壌災害部門の諸先生 にも感謝の 意 を表 したい. なお,本 稿 は1977年度 お よび1978年度 春季学術大会で 発 表 したものを修正 ・加筆 した ものであ る. (投稿1978年7月21日) (受理1978年12月2日). (23-1). とな る. 6)理 論 式 に よ る計 算 結 果 と実 験 結 果 の 比 較 前 節 で, p, γ,Nの. 傾 斜角 θに対 す る近 似 的 な 関. 係 式 を導 い た.し た が って,そ の 諸 式 を 用 い れ ぼ式 (18‑1)は 近 似 的 に θの 関数 と して表 現 で き るで あ ろ う.そ こで, f(p, γ,N)=f(θ)と. ら に本 稿 で の 議 論 は限 られ た もの で あ る と. し, θの 種 々 の 値. 注. に対 応 す るf(θ)を 計算 し,図 示 した もの が 第13図. 1)こ. こ で述 べ る モ デ ル はい わ ゆ る 出生 死 亡 過 程 に. の 曲線 で あ る.ま た,実 験 に よ って得 られ た ほぼ 定. 対 応 す る もの と考 え ら れ る.こ の過 程に 関 して は. 常 と考 え られ た時 点 の流 路 本 数 は,図. 例 えぼFeller. 中 に ○印 で示. (1957)やKarlin. (1966)等 を 参 照 さ. れ た い.. して い る.こ の図 か ら もわ か る よ うに,針 算 値 と実. 2)写. 験 値 が か な りよい 一 致 を示 す よ うに思 わ れ,理 論 式. 真1,第7,. 8お よび9図 で 示 す 実 験 結 果 の. 1例 は 傾 斜 角15° の 場 合 の 一 つ で あ る. 62.
(11) Allen,. 文. 献. 芦 田 和 男 ・田 中 健 二(1975):裸. 都大学防災研究. 路の横断面形状 329. 〜343 . 柏 谷 健 二(1976):地. 評,. 49,. リ ー の 発 達 を 一 例 と し て‑.地. 理. 高 山 茂 美(1974):『. 理 評,. Howard,. A.. of. リー の 発. 47,. 304ペ. ー. ジ.. ON. THE. STOCHASTIC. marks. Jour.. Sed.. forms. flows:. due. a. to. mass. Kaleidoscope. Mech.,. 49,. of. 49•`63.. (1945):. Erosional. their. to. Soc. D.,. 56,. Keetch,. M. and. streams.. basins-. morphology. 275•`370.. E.. and. Vincent,. geometrical. W.. R.. of Hydrop. quantitative. Amer.,. Topological. braided. development. drainage. R.,. L.. C.. properties 6,. 1674•`1688.. Karlin, S. (1966): A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York and London, 502 p.. 413〜425.. 河 川 地 形 』 共 立 出 版,. Bed. Fluid. approach Geol.. (1970):. 達 に 関 す る 計 測 と 考 察.地. (1971):. E.. Bull.. ルの分布の確率モデ. 都 大 学 防 災 研 究 所 年 報,第20号B. 柏 谷 健 二 ・横 山 康 二 ・奥 田 節 夫(1974):ガ. current beds.. 607•`623.. turbulent. and. hysical. 柏 谷 健 二 ・奥 田 節 夫(1977):リ. mud. Jour.. R.. streams. 497〜504.. ル に つ い て.京 ‑1 , 265〜274.. L. in. Horton,. 形 学 にお け る模 型 実 験 の意 義 と. 問 題 点‑ガ. J. R.. phenomena.. 都 大 学 防 災 研 究 所 年 報,第19号B,. Erosional. Feller, W.(1957): An Introduction to Probability Theory and Its Applications. vol. 1, 2 nd Edi tion, John Wiley & Sons, Inc., New York, 461 p.. 地 斜 面 に お け る流 路. の 形 成 過 程 に 関 す る 研 究(2)‑流. (1969): cohesive 39,. transfer. 513〜528.. 芦 田 和 男 ・沢 井 健 二(1976):裸. .京. Allen,. 路網の確率的 シ. ミ ュ レ ー シ ョ ン を 中 心 と し て.京. L.. weakly. Petrology,. 地 斜 面 に お け る流 路. の 形 成 過 程 に 関 す る 研 究(1)‑流. 所 年 報,第18号B,. J. R.. of. MODEL OF RILL IN SLOPE SYSTEM. DEVELOPMENT. Kenji KASHIWAYA* The process. of rill development. on unvegetated. slope. is classified. into. four. stages. as. follows;. i) sheet flow (ensemble of countless small streaks) ii) formation of streaks iii) occurrence of initial rills (unit stream) iv) formation of steady rills Rills transform themselves remarkably by meandering, branching and joining in the transition from iii) to iv), which leads us to the following hypotheses in the investigation of the rill developing process in the definite region, A). joining. B). branching. Now,. we. width. (cf.. bility. that. (t,. t+ƒ¢t) Geographical. ratio. of ratio. will Figs.. start 1 and. one. rill. is equal Review. rills of. rills. with. If be. as. increases. the. 2). will. increases. as. number at. an. the the. of. number relative. initial. instant. t, the. with. another. joined. of. rills. width. rills. N. rill. (width/depth) at. number. of. a specified of. in. increases,. rills. the. has. region. increases.. with. become. section ƒ¢x. rills. k, in. the the. definite proba interval. to of Japan. 52-2. 53•`65. * Research. 1979. Institute 63. fellow , Disaster Prevention of Kyoto University.. Research.
(12) Qk=ƒ¿(k-1)F(x)ƒ¢xƒ¢t. and. the probability. that. the rills will branch. (1-1). is equal. to. (2-1) where the. Qk,. Rk. width. G (x). are. of. the. Finally,. the. i-th. functions the. probabilities,. rill,. w0 the of. stream. probabilities. a. width. the. of. length. that. a. x. rill. joining. unit (cf.. will. coefficient. stream Figs. , Di. , ƒÀ the. the. . 2 and. branch. into. depth. branching of. i-th. coefficient, rill,. and. two. rills. will. join. during. (t. , t+ƒ¢t). are. assumed. and. 3). more. than. two. rills , and. than. wi. F (x). to. that. more. be O(ƒ¢t).. We denote by Pk(t) the probability that the number of rills will be k at the instant t. The of. probability. three. that. there. are. k rills. in. the. region. at. time. (t+ƒ¢t). i. . e. Pk(t+ƒ¢t). is the. sum. probabilities;. 1). k-1. at. time. t, and. 2). k+1. at. time. t, and. 3). k. that. a. branching. has. occurred. during. (t , t+ƒ¢t),. at. time. t, and. that. that. no. a joining branching. has. occurred. or joining. during has. (t. occurred. , t+ƒ¢t), during. (t. , t+ƒ¢t);. Pk(t+ƒ¢t)=Rk-1Pk-1(t)+Qk+1Pk+1(t)+Pk(t)(1-Rk-Qk) Considering. the. constants. (3-1). idealized. Therefore,. slope. shown. replacing ƒ¿F. in (x) ƒ¢x. (3-1). Fig . 1, F(x), by ƒ¿'. G(x). and ƒ¢x. , ƒÀ(x)ƒ¢xw0. by ƒÀ'. can. be. assumed. and. wi/w0. by. to wi',. be Eq.. become. (3-2) Then, the. subtracting system. of. Pk (t). from. differential. both. sides. , dividing. them. by ƒ¢t. and. letting ƒ¢t•¨0,. we. for. k•‚1,. k•‚N. (4-1). for k=1. Next,. we investigate. obtain. equations;. the width. of rills to obtain. convenient. (5-1). for k=N approximation. (6-1) for the above. equations. Let. us. assume. that. total. width. of. initial. rills. (Nƒ°i=1wi) i . e.. WN. is equal. to. w0N.. If. the. number of rills is k, replacing WN/w0by WN' and Di/D0 by D'i , the relative total width (Wk/w0=Wk') is. with. N1=w1'D1',. N2=w2'D2'. , •c•c,. Nk=wk'Dk' 64.
(13) where Ni is the number of unit streams in i-th rill, and Dothe depth of unit stream. If. we. assume. becomes,. D1'=D2'=•c•c=Di'=•c•c=Dk',. replacing ƒÀ'/D0. by. Eq.. (2-1). R",. (2-2) Therefore, using Eq. (2-2), we can transform Eqs. (4-1), (5-1) and (6-1) into more convenient forms. Employing the results, we can also obtain a steady-state solution for them;. (12-2) where ƒÁ. is equal. Referring. to ƒÀ"/ƒ¿'.. to. Fig.. 4,. we. make. an. approximation. of. Wk'. with. an. equation,. Wk'=pk+q (14-1) where p and q are constants and q is equal to N (1-p) from the above-mentioned relation. The condition for the most probable number of rills is pk-1<Pk>Pk+1 Using Eqs. (12-2) and (14-1), we obtain for this condition f(ƒÁ, p, N)<k<f(ƒÁ,. (9-1). p, N)+1. (19-1). with. From the model experiment where the discharge of water and the soil condition were fixed but the slope angle was varied (cf. Figs. 5 and 6, Table 1, and Photo. 1), it is shown that the hypotheses A) and B) mentioned above can be duly accepted (Figs. 7 and 8 respectively). Equation (14-1) can also be justified from the experiment (Fig. 9). Empirical same Eq.. equations. series (19-1),. of we. experimental figure),. can. results we. can. of ƒÁ,. experiments. see. p. and. (Figs,. calculate (circles that. the. N 10,. the in. Fig.. proposed. depending 11,. most 13). on. and. 12. probable with. slope. theory. is. 65. (ƒÆ) are Using. number theoretical. development.. angle. respectively).. suitable. of. rills.. results for. obtained these. Then, (curved. explaining. from. the. equations. and.. comparing line the. in process. the. the same of. rill.
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