早稲田大学大学院 先進理工学研究科
博 士 論 文 概 要
論 文 題 目
特異連続スペクトルをもつ系における 不安定量子状態の緩和過程
Relaxation Process of an Unstable Quantum State In the System with
Singular Continuous Spectrum
申 請 者
藤吉 正人
Masato FUJIYOSHI
物理学及応用物理学専攻 統計物理学研究
２ ０ １ ２ 年 ０ ３ 月
本 論 文 は 、 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル を 持 つ 系 に お け る 不 安 定 量 子 状 態 の 緩 和 過 程 を 、 解 析 的 手 法 と 数 値 計 算 の 両 面 か ら 研 究 し た も の で あ る 。
H a m i l t o n i a n の ス ペ ク ト ル は よ く 知 ら れ た 点 ス ペ ク ト ル と 絶 対 連 続 ス ペ ク ト ル の
他 に 、 ス ペ ク ト ル の L e b e s g u e 測 度 が ゼ ロ と な る 連 続 ス ペ ク ト ル で あ る 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル を 持 つ 場 合 が あ る こ と が 知 ら れ て い る 。 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル は 準 周 期 系 等 に お い て 現 れ る が 、 こ の よ う な 系 は 周 期 的 な 系 と 乱 雑 な 系 の 中 間 的 な 系 と し て の 性 質 を 有 し て い る と 考 え ら れ て お り 、 こ れ ま で に 波 動 関 数 の 広 が り や 波 束 の 拡 散 に つ い て の 研 究 が 精 力 的 に 行 わ れ て き た 。 こ れ ら は 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル を 持 つ 系 自 身 の 性 質 に 着 目 し た 研 究 で あ っ た が 、 一 方 で 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル を 持 つ 系 と 別 の 系 の 相 互 作 用 を 扱 っ た 研 究 は あ ま り 行 わ れ て は こ な か っ た 。F r i e d r i c h s モ デ ル は 、 離 散 状 態 と 連 続 状 態 と そ れ ら の 相 互 作 用 で 構 成 さ れ る 単 純 な モ デ ル で あ る が 、 量 子 力 学 的 の 基 礎 的 な 性 質 で あ る 不 安 定 状 態 の 緩 和 過 程 を よ く 記 述 す る 重 要 な モ デ ル で あ る 。 こ の モ デ ル を 、 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル を 持 つ 場 合 へ と 拡 張 す る こ と で 、 不 安 定 状 態 の 新 し い 緩 和 過 程 を 導 出 す る こ と が 、 本 論 文 の ひ と つ の 主 題 と な っ て い る 。 ま た 、 そ こ で 見 出 さ れ た 新 し い タ イ プ の 緩 和 過 程 が 、 連 続 状 態 中 の 波 動 関 数 の 振 舞 い と 密 接 に 関 わ っ て い る こ と に つ い て 、 格 子 系 で の F r i e d r i c h s モ デ ル を 用 い た 議 論 を 展 開 し て い る 。
論 文 は 4 章 構 成 で 書 か れ て お り 、 そ の 後 ろ に 付 録 と し て 計 算 に 用 い た 手 法 の 詳 細 が 記 さ れ た 構 成 と な っ て い る 。 各 章 及 び 付 録 は 、 以 下 の よ う な 構 成 で あ る 。
◆ 第 1 章 序 論
第 1 章 は 論 文 の 背 景 と な る 過 去 の 研 究 に つ い て の 紹 介 と 、 本 論 文 の 動 機 及 び 論 文 全 体 の 構 成 に つ い て 述 べ ら れ て い る 。 は じ め に 、 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル が ど の よ う な 性 質 を 持 つ か に つ い て 波 動 関 数 の 空 間 分 布 、 波 束 拡 散 現 象 の 研 究 に お け る 過 去 の 成 果 を 紹 介 し 、 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル の み を 持 つ 系 が 絶 対 連 続 ス ペ ク ト ル の み を 持 つ 系 と 点 ス ペ ク ト ル の み を 持 つ 系 の 中 間 的 性 質 を 持 つ こ と を 示 し て い る 。次 に 、 絶 対 連 続 ス ペ ク ト ル を 持 つ F r i e d r i c h s モ デ ル の M a r k o v 近 似 を 用 い た 解 法 を 紹 介 し 、 緩 和 過 程 が M a r k o v 過 程 で あ っ た 場 合 に お け る 一 般 的 な 解 析 解 が 指 数 緩 和 と な る こ と を 示 し て い る 。 ま た こ の 章 の 最 後 で は 、 論 文 の 各 章 の 概 要 を 紹 介 し て い る 。
◆ 第 2 章 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル を も つ F r i e d r i c h s モ デ ル
第 2 章 で は 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル を も つ F r i e d r i c h s モ デ ル を 用 い て 、不 安 定 量 子 状 態 の 生 存 確 率 の 解 析 的 な 導 出 法 お よ び 、 生 存 確 率 の 振 舞 い に つ い て の 考 察 を 展 開 し て お り 、 以 下 の 6 つ の 節 で 構 成 さ れ て い る 。
第 1 節 で は ヒ ル ベ ル ト 空 間 に お け る 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル の 定 義 を 述 べ 、L e b e s g u e 測 度 に 関 し て 特 異 的 な 連 続 関 数 を 用 い た 、 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル の み を 持 つ 自 己 共 役 作 用 素 の 構 成 方 法 を 解 説 し て い る 。 ま た 以 降 の 計 算 で 用 い る た め に 、 そ の よ う な 作 用 素 の D i r a c 表 記 を 定 義 し て い る 。
N o . 1
第 2 節 で は F r i e d r i c h s モ デ ル を 用 い た 不 安 定 量 子 状 態 の 生 存 確 率 を 、解 析 的 手 法 を 用 い て 導 出 す る 一 連 の 手 順 を 解 説 し て い る 。 は じ め に 前 節 に お い て 導 入 さ れ た
D i r a c 表 記 に よ る F r i e d r i c h s モ デ ル の 導 入 を 行 な っ た あ と 、第 1 小 節 に お い て 生
存 確 率 の 形 式 解 を 導 出 す る 過 程 を 示 し た 。 こ こ で 、F r i e d r i c h s モ デ ル の 連 続 ス ペ ク ト ル 部 が 特 異 連 続 ス ペ ク ト ル の み を 持 つ 場 合 の 形 式 解 は 、L e b e s g u e の 特 異 関
数 と S t i e l t j e s 積 分 を 用 い て 記 述 さ れ る こ と が 示 さ れ る 。第 3 節 で は 時 間 と 結 合 定
数 の 間 に 存 在 す る ス ケ ー リ ン グ 則 を 仮 定 し 、 弱 結 合 下 に お け る 生 存 確 率 の 具 体 的 な 解 を 導 出 し て い る 。 第 1 小 節 で は 、 こ の 議 論 の 基 と な る v a n H o v e の ス ケ ー リ ン グ 理 論 を 紹 介 し 、S t i e l t j e s 積 分 に 用 い ら れ る 測 度 が L e b e s g u e 測 度 で あ る 場 合 に は 、 生 存 確 率 が 指 数 緩 和 と な る こ と を 示 し て い る 。 第 2 小 節 で は v a n H o v e の ス ケ ー リ ン グ 理 論 を 拡 張 す る 準 備 と し て 、L e b e s g u e の 特 異 関 数 の 局 所 的 な 振 舞 い を 、H ö l d e r 連 続 性 か ら 定 め ら れ る H ö l d e r 係 数 及 び H ö l d e r 指 数 と い う 量 を 用 い て 近 似 す る 方 法 を 導 入 す る 。 第 3 小 節 で は そ れ ら を 用 い た 、 拡 張 さ れ た v a n
H o v e の ス ケ ー リ ン グ 理 論 が 展 開 さ れ る 。 こ こ で は 生 存 確 率 の 振 舞 が 、 測 度 を 定
め る L e b e s g u e の 特 異 関 数 の 共 鳴 エ ネ ル ギ ー 点 に お け る H ö l d e r指 数 に よ り 決 定 さ
れ る こ と が 示 さ れ て い る 。 ま た 、 そ の H ö l d e r 指 数 が 1 よ り も 小 さ い 場 合 に は 、 緩 和 過 程 が n o n - M a r k o v 的 と な り 、生 存 確 率 が M i t t a g - L e f f l e r 関 数 で 記 述 さ れ る こ と が 提 示 さ れ て い る 。
第 4 節 で は 前 節 に お い て 示 さ れ た 緩 和 過 程 を 確 認 す る た め に 行 わ れ た 数 値 計 算 の 結 果 を ま と め て い る 。 は じ め に ス ケ ー リ ン グ 則 の 存 在 を 確 認 し 、 ス ケ ー リ ン グ の パ ラ メ ー タ が 前 節 で の 予 想 と 矛 盾 し て い な こ と が 示 さ れ 、 生 存 確 率 の 緩 和 過 程 に お い て も 理 論 予 想 と 数 値 計 算 が よ く 一 致 す る こ と が 議 論 さ れ て い る 。 第 5 節 で は
H ö l d e r 連 続 性 を 用 い た 近 似 計 算 を 基 に 、F r i e d r i c h s モ デ ル の ス ペ ク ト ル を 調 べ 、
緩 和 過 程 が n o n - M a r k o v 的 と な る 場 合 に は 2 つ の 極 が 複 素 平 面 上 に 存 在 し 、 そ れ ら の 寄 与 が M i t t a g - L e f f l e r 関 数 的 な 生 存 確 率 の 振 舞 い を 与 え て い る こ と を 議 論 し て い る 。 第 6 節 で は 第 2 章 全 体 の ま と め を 行 な っ て い る 。
◆ 第 3 章 不 安 定 量 子 状 態 の 異 常 緩 和 と F i b o n a c c i 格 子 中 に お け る 波 の 伝 播 第 3 章 は 、前 章 で 得 ら れ た 生 存 確 率 の M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 が ど の よ う な 物 理 過 程 に よ っ て 引 き 起 こ さ れ て い る の か を 明 ら か に す る た め に 、F i b o n a c c i 格 子 と 離 散 状 態 に よ っ て 構 成 さ れ た F r i e d r i c h s モ デ ル を 構 築 し 、数 値 計 算 を 用 い た 研 究 を 展 開 し て い る 。 こ の 章 は 3 つ の 節 か ら 構 成 さ れ て い る 。
第 1 節 で は F i b o n a c c i 格 子 の Ti g h t - B i n d i n g モ デ ル を 定 義 し 、F i b o n a c c i 格 子 の バ ン ド 構 造 を 求 め る 手 法 に つ い て の あ ら ま し を 解 説 し て い る 。 ま た 、 本 論 文 で 用
い る F i b o n a c c i 格 子 の 構 造 を 明 確 に し 、 バ ン ド 構 造 を 決 定 す る パ ラ メ ー タ と し て
変 調 の 強 さ を 導 入 し て い る 。
第 2 節 は F i b o n a c c i 格 子 を 用 い た F r i e d r i c h s モ デ ル を 構 築 し 、 生 存 確 率 の
M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 と 格 子 中 で の 波 動 関 数 の 振 舞 い と の 関 係 を 調 べ て い る 。ま た 、
N o . 2
F i b o n a c c i 格 子 の バ ン ド が フ ラ ク タ ル 構 造 で あ る こ と が 説 明 さ れ 、 共 鳴 エ ネ ル ギ
ーΩ と し て バ ン ド 中 央 と バ ン ド 端 の 2 つ を 選 択 し た 理 由 が 説 明 さ れ て い る 。 第 1 小 節 で は 前 章 の 結 果 を 受 け 、実 際 に こ の モ デ ル に お い て M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 が 存 在 す る こ と を 確 認 し て い る 。 こ こ で は 、 ス ケ ー リ ン グ 則 と ス ペ ク ト ル 構 造 の 対 称 性 か ら M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 の パ ラ メ ー タ を 決 定 す る 手 法 が 用 い ら れ て い る 。Ω が バ ン ド 中 央 に 存 在 す る 場 合 と バ ン ド 端 に 存 在 す る 場 合 の 両 方 に お い て 、 生 存 確 率
は M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 と な り 、そ の 緩 和 過 程 は Ω が バ ン ド 中 央 の 場 合 に は 変 調 の
強 さ に 依 存 し た 減 衰 過 程 を 示 し 、 バ ン ド 端 の 場 合 に は 振 動 し な が ら 一 定 値 へ 収 束 す る 振 舞 い で あ る こ と が 述 べ ら れ て い る 。 第 2 小 節 で は 、M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 が 観 察 さ れ た 時 に お け る 格 子 中 の 波 動 関 数 の 振 舞 い に つ い て H u s i m i 表 示 を 用 い た 研 究 を 展 開 し て お り 、指 数 緩 和 が 観 測 さ れ る 場 合 と M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 が 観 測 さ れ る 場 合 と で は 格 子 内 で の 波 動 関 数 の 振 舞 い が 定 性 的 に 異 な っ て い る と い う 結 果 が 示 さ れ て い る 。 指 数 緩 和 の 場 合 に は 格 子 内 の 波 動 関 数 は 一 方 向 的 な 伝 搬 し か 示 さ な い の に 対 し 、M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 の 場 合 に は 反 射 波 が 存 在 す る と い う 点 で あ る 。 さ ら に 、Ω が バ ン ド 端 に 位 置 し た 場 合 に お い て は 、 格 子 内 で 波 動 関 数 の 一 部 が 局 在 化 し 前 章 に お い て 示 さ れ て い た 束 縛 状 態 が 構 成 さ れ て い る こ と も 同 様 に 示 さ れ て い る 。 ま た こ れ ら の 結 果 を 受 け 、 M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 の 原 因 で あ る
n o n - M a r k o v 過 程 が 、 反 射 波 の 存 在 に よ っ て 説 明 で き る こ と が こ こ で 議 論 さ れ て
い る 。 最 後 の 第 3 節 で は 、 第 3 章 を 通 じ た ま と め と 考 察 を 展 開 し て い る 。
◆ 第 4 章 ま と め と 考 察
こ こ で は 、第 2 章 と 第 3 章 の 内 容 を 総 括 し 、特 異 連 続 ス ペ ク ト ル を 持 つ F r i e d r i c h s モ デ ル か ら 導 出 さ れ た M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 の 特 徴 と 、 そ の 原 因 で あ っ た
n o n - M a r k o v 過 程 に つ い て の 考 察 を ま と め て い る 。
◆ 付 録
付 録 で は 、 論 文 の 中 で 省 略 し た 計 算 式 や 数 値 計 算 の 手 法 に つ い て の 詳 細 が 述 べ ら れ て い る 。
付 録 は A と B の 2 つ の 節 に 分 か れ 、A で は 理 論 的 側 面 に つ い て の 補 足 が 、B で は ス ケ ー リ ン グ 指 数 を 求 め る 際 の デ ー タ の 整 理 法 が 述 べ ら れ て い る 。
A . 1 で は デ ル タ 関 数 と 主 値 に つ い て の 計 算 が 述 べ ら れ 、A . 2 で は 第 1 章 で 扱 っ た
L e b e s g u e の 特 異 関 数 の 性 質 を 詳 細 に 解 説 し て い る 。A . 3 で は 本 文 中 で 割 愛 し た
F i b o n a c c i 格 子 の 性 質 を 述 べ 、 両 側 に 無 限 に 長 い F i b o n a c c i 格 子 を ど の よ う に 構
成 し た か に つ い て ま と め て い る 。A . 4 で は 、F i b o n a c c i 格 子 の バ ン ド 構 造 を 決 定 す る た め の 手 法 と 、 そ の 性 質 を 定 め る パ ラ メ ー タ に つ い て 述 べ ら れ て い る 。A . 5 で は 、 第 3 章 で 数 値 計 算 を 行 う 際 に 用 い ら れ て い た S y m p l e c t i c I n t e g r a t o r と い う 手 法 に つ い て の 解 説 を 行 な っ て い る 。B . 1 で は M i t t a g - L e f f l e r 緩 和 の よ う な 生 存 確 率 回 復 が 見 ら れ る 場 合 に お け る ス ケ ー リ ン グ 指 数 の 決 定 に お い て 、 サ ン プ ル の と り 方 と 用 い た 誤 差 の 評 価 法 を ま と め て い る 。
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Ｎｏ.1
早稲田大学 博士（理学） 学位申請 研究業績書
氏 名 藤吉 正人 印
（２０１２年 ２月 現在）
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
○論文
(査読有)
○論文
(査読有)
論文
(査読無) 国際会議
(ポスター)
国際会議
(ポスター)
国際会議
(ポスター)
国際会議
(ポスター)
国際会議
(ポスター)
国際会議
(ポスター)
国際会議
(ポスター)
Anomalous Decay of Unstable State and Wave Propagation in the Friedrichs Model Consisting of a Discrete State and the Fibonacci Lattice, Progress of Theoretical Physics Volume 122, November 2009, Masato FUJIYOSHI and Shuichi TASAKI
Anomalous Decay of an Unstable State Coupled with Singular Continuous States ― Weak-Coupling Limit ―, Progress of Theoretical Physics Volume 119, June 2008, Masato FUJIYOSHI and Shuichi TASAKI
特異連続スペクトルをもつFriedrichsモデル, 物性研究, Vol. 82 (2004), 藤吉正人、田崎秀 一
Decay of Unstable State Coupled with a Cantor Set Like Spectrum, The 5th 21st century COE symposium on Physics of Self-organization Systems, Waseda University, Japan, 13-14 Sep. 2007, Fujiyoshi Masato and Tasaki Shuichi
Relationship between Hölder index and Exponential Decay: the Friedrichs Model, Quantum Mechanics and Chaos，Osaka City University, 20 Sep. 2006, Fujiyoshi Masato and Tasaki Shuichi
Relationship between Hölder index and Exponential Decay: the Friedrichs Model, The 4th 21st century COE symposium on Physics of Self-organization Systems, Waseda University, 6-8 Sep. 2006, Fujiyoshi Masato and Shuichi Tasaki
Singular Continuous Spectrum brings the Mittga-Leffler Decay, International Symposium of Complexified dynamics, Tunnelling and Chaos, Ritsumei University, 25 Aug.-1 Sep. 2005, Fujiyoshi Masato, Shuichi Tasaki
The Friedrichs Model Representing the Mittag-Leffler type Relaxation, Statistical Physics of Quantum Systems 2004:,Sendai, 17-20 Jul. 2004, Fujiyoshi Masato, S. Tasaki
The Friedrichs Model Representing the Mittag-Leffler type Relaxation, Dynamic Days Asia-Pacific 2004: The Third International Conference on Nonlinear Science, National University of Singapore, 30 Jun.-2 Jul. 2004, Fujiyoshi Masato, S. Tasaki
Friedrichs Model with Singular Continuous Spectrum, The 1nd 21st century COE Symposium on Physics of Self-organization Systems, 27 Feb. 2004, Waseda University, Japan, Fujiyoshi Masato and Tasaki Shuichi
Ｎｏ.2
早稲田大学 博士（理学） 学位申請 研究業績書
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
国際会議
(ポスター)
国際会議
(ポスター)
国際会議
(ポスター)
学会発表
(登壇)
学会発表
(ポスター)
学会発表
(ポスター)
学会発表
(ポスター)
学会発表
(ポスター)
学会発表
(ポスター)
学会発表
(登壇)
学会発表
(登壇)
学会発表
(登壇)
学会発表
(登壇)
Unstable Quantum System interacting with Singular Continuous Spectrum State, The 3rd Japan-Slovenia Seminar, Tokyo, 4 Nov 2003, Fujiyoshi Masato, S. Tasaki
Fujiyoshi Masato, S. Tasaki, The Friedrichs Model with Singular Continuous Spectrum, 京大基 研研究会「量子力学とカオス」, Kyoto, 12-14 Nov. 2003
The Friedrichs Model with Singular Continuous Spectrum, Waseda International Symposium on Fundamental Physics, Waseda Univ., Nov, 12-15, 2002, Masato FUJIYOSHI and Shuichi TASAKI
不安定量子状態の異常緩和過程と波束の異常拡散, 日本物理学会 第64回年次大会, Mar.
27-30, 2009, 立教大学, 藤吉正人, 田崎秀一
Cantor集合的なスペクトルを持つ系における不安定量子状態の時間発展2, 日本物理学会
第 62 回年次大会, Sep. 21-24, 2007, 北海道大学, 藤吉正人, 田崎秀一
Cantor 集合的なスペクトルを持つ系における不安定量子状態の時間発展, 日本物理学会
2007年春季大会, Mar. 18-21, 2007, 鹿児島大学, 藤吉正人, 田崎秀一
スケーリング則と指数緩和, 日本物理学会 2006 年秋季大会, Sep. 23-26, 2006, 千葉大 学, 藤吉正人, 田崎秀一
Mittag-Leffler緩和とヘルダー指数, 日本物理学会 第61回年次大会, Mar. 27-30, 2006, 松 山大学, 藤吉正人, 田崎秀一
特異連続スペクトルをもつ環境における Mittag-Leffler 関数的な緩和現象, 日本物理学会 2005年秋季大会, Sep. 19-21, 2005, 同志社大学, 藤吉正人, 田崎秀一
特異連続スペクトルを持つ Friedrichs モデル 3, 日本物理学会 2004 年秋季大会, Sep.
12-15, 2004, 青森大学, 藤吉正人, 田崎秀一
一般的な連続スペクトルと相互作用する不安定量子状態, 日本物理学会2003年秋秋季大 会, Sep. 20-23, 2003, 岡山大学, 藤吉正人, 田崎秀一
特異連続スペクトルを持つ Friedrichs モデル 2, 日本物理学会 第 58 回年次大会, Mar.
28-31, 2003, 東北学院大学, 藤吉正人, 田崎秀一
特異連続スペクトルを持つ Friedrichs モデルにおける不安定粒子の緩和,日本物理学会 2002年秋秋季大会, Sep. 6-9, 2002, 中部大学, 藤吉正人, 田崎秀一
