Damek-Ricci 空間 熱核， Poisson 核の情報幾何学と

熱核， Poisson ^{核の情報幾何学と} Damek-Ricci ^空間

Information geometry of heat kernels and Poisson kernels on Damek-Ricci spaces

佐藤 弘康（筑波大学大学院数理物質科学研究科）

Hiroyasu Satoh (University of Tsukuba)

（伊藤光弘氏（筑波大）との共同研究に基づく）

Joint work with M. Itoh (University of Tsukuba)

第

55

20

8

24

はじめに

Poisson

-

[9]

• (X , g )

n

Hadamard

• ( P ( ∂ X) , G) : X

Fisher

（無限次元

Riemann

• Poisson

ϕ : (X , g ) → ( P ( ∂ X) , G)

定理（伊藤

-

¶ ³

(X , g )

1,

= ⇒ Poisson

; ϕ

G = ρ

n g

ここで，

ρ

( X , g )

ρ = lim

r→∞

1

r log Vol (B( x; r))

µ ´

確率測度のなす空間と Fisher ^情報計量

(X , g )

n-

Riemann

d v

g

P ( X) : = {

µ = p d v p ∈ L

(X) , p > 0 , ∫

X

µ = 1 }

：正値確率測度のなす空間

T

P ( X) ' {

τ = q d v q ∈ L

(X) , ∫

X

q

/ p d v < +∞, ∫

X

τ = 0 } Fisher

G = { G

} : P (X )

Riemann

G

( τ

, τ

) =

∫

X

q

p

q

p p d v, (

τ

= q

d v ∈ T

P (X ) , µ = p d v ) . ( P (X) , G)

T. Friedrich ’91

• G

1 / 4

• Di ff

(X)

( P ( X) , G)

•

Poisson ^核

(X , g )

n

Hadamard

∂ X = {γ : [0 , ∞ ) → X :

, |γ

| = 1 }/ ∼ ( ' S

(1) ⊂ T

X )

：

X

γ

∼ γ

⇐⇒ d( γ

(t) , γ

(t))

t

（

x

Poisson

=

Dirichlet

;

与えられた

f ∈ C

( ∂ X)

∆ u = 0 , u |

= f .

¶

³

(X , g )

− b

≤ K

≤ − a

< 0

x

∈ X

された

Poisson

µ ´

Poisson ^核

Poisson

• θ ∈ ∂ X

P( ·, θ ) ∈ C

(X ∪ ∂ X \{θ} ),

• P( ·, θ )

X

,

• P( x

, θ ) = 1,

• lim

P( x , θ ) = 0 ( θ

, θ )

無限遠

Dirichlet

f ∈ C

( ∂ X)

; u( x) =

∫

θ∈∂X

P( x , θ ) f ( θ ) d θ.

ただし，

d θ

∂ X ' S

(1) ⊂ T

X

S

(1)

要素．

Poisson

ϕ : X 3 x 7−→ P( x , θ ) d θ ∈ P ( ∂ X )

問題

定理（伊藤

-

’08

¶ ³

(X , g )

1,

= ⇒ Poisson

ϕ

G = ρ

n g

ρ

(X , g )

µ ´

問題

•

•

主結果（その１）

定理

1.1

-

¶ ³

(X , g )

Damek-Ricci

= ⇒ Poisson

ϕ

G = ρ

n g

ρ

(X , g )

µ ´

• Damek-Ricci

Heisenberg

Lie

群に左不変計量を備えたもの．調和的

Hadamard

•

Damek-Ricci

1

•

Damek-Ricci

Poisson

Busemann

を用いて書き表すことができる

; P( x , θ ) = exp( −ρ B( x , θ ))

主結果（その２）

伊藤

-

-

’07

ϕ

: X 3 x 7→ H (t , x , y ) d v ( y ) ∈ P (X ) :

(X , g )

1,

= ⇒

定理

1.2

-

¶ ³

(X , g )

Hadamard

= ⇒

ϕ

G = C (t) g

µ ´

•

:

L

-

た

Szab´o

•

C(t)

Shannon

•

•

1.2

–

–

–

1.2

–

•

1.1

Poisson

– Damek-Ricci

– Damek-Ricci

Poisson

–

1.1

Damek-Ricci

Busemann

熱核

(X , g )

Riemann

熱方程式

;

f ∈ C

(X)

( ∂

∂ t + ∆ )

u(t , x) = 0 , u(0 , x) = f ( x) .

熱核

H(t , x , y ) =

;

熱方程式（初期条件

f ∈ C

( X)

u(t , x) =

∫

y∈X

H(t , x , y ) f ( y ) d v ( y )

で与えられる．

熱核

熱核の性質

• H(t , x , y ) ∈ C

( R

× X × X)

• H(t , x , y ) = H (t , y, x) > 0

• (

∂t

+ ∆

)

H (t , x , y ) = 0

• lim

H (t , x , y ) d v ( y ) = δ

( y )

Dirac

• H(t + s , x , y ) = ∫

z∈X

H (t , x , z) H( s , z , y ) d v (z)

熱核写像

ϕ

: X 3 x 7−→ H(t , x , y ) d v ( y ) ∈ P ( X)

定理

1.2

-

¶ ³

(X , g )

Hadamard

= ⇒

ϕ

G = C (t) g

µ ´

調和多様体

調和的 ：次のいずれかの条件を満たす

;

1.

p ∈ X

p

U

U \{ p }

数

f ( x) = φ (d( p , x))

2.

p ∈ X

f

定理が成立する

; f ( p) =

∫

S(p;r)

f d µ

.

3.

p ∈ X

p

ω

= √

det( g

)

ω

( x) = ω (d( p , x))

強調和的

:

; H(t , x , y ) = H (t , d( x , y )).

•

= ⇒

⇐⇒

•

定理 1.2 ^の証明

• ϕ

G( v, v ) =

∫

y∈X

( v log H(t , x , y ) )

H (t , x , y ) d v ( y ) ( v ∈ T

X ).

• (X , g )

 

 v log H (t , x , y ) =

(t , r) · ( −hv, u i ) .

d v = Ω (r)dr d µ

.

Ω

x ∈ X

以上のことから

ϕ

G( v, v ) =

∫

0

( ∂ H

∂ r (t , r ) )

Ω (r ) dr

∫

u∈Sⁿ⁻¹(1)

hv, u i

d µ

.

右辺は

v ∈ T

X

ϕ

G = C (t) g

（証明おわり）

相似定数 C (t)

• n C(t) = trace

(

ϕ

G )

=

∫

y∈X

| grad

log H(t , x , y ) |

H (t , x , y ) d v ( y )

•

| grad

log H(t , x , y ) | = | grad

log H(t , x , y ) |

•

| grad

log H (t , x , y ) |

= (

∆

+

)

log H (t , x , y )

trace

(

ϕ

G )

=

∫

y∈X

(

∆

+ ∂

∂ t )

log H(t , x , y ) · H (t , x , y ) d v ( y )

=

∫

y∈X

∆

log H (t , x , y ) · H(t , x , y ) d v ( y ) +

∫

y∈X

∂

∂ t H (t , x , y ) d v ( y )

=

∫

y∈X

log H(t , x , y ) · ∆

H (t , x , y ) d v ( y ) _← Damek-Ricci

OK

= ∂

∂ t (

−

∫

y∈X

log H( x , t , y ) · H (t , x , y ) d v ( y )

)

例） n ^次元 Euclid ^{空間の場合}

•

: H(t , x , y ) = (4 π t)

exp (

− | x − y|

4t

)

•

: C(t) = 1 2t

• Shannon

: H ( ϕ

( x)) = n 2

( log(4 π t) + 1 )

Li-Yau’s gradient estimate

(X , g )

Ricci

Riemann

式の解

u(t , x)

;

|∇ u |

u

+ 1 u

∂ u

∂ t ≤ n 2t . (

= ⇒ 1

n trace

( ϕ

G) ≤ 1 2t

)

一般 Heisenberg ^群

一般

Heisenberg

• (n , [ ·, · ]

, h·, ·i

) : 2-step

Lie

• n = v ⊕ z

z

n

v

z

• Z ∈ z

J

: v → v; h J

X , Y i

= h Z , [X , Y ]

i

.

• ( J

)

= −| Z |

id

( ∀ Z ∈ z )

n

Heisenberg

一般

Heisenberg

•

Heisenberg

n

Lie

h·, ·i

Lie

N

• N ' v × z

;

( 1 )

Damek-Ricci ^空間

• s = n ⊕ R ( n :

Heisenberg

).

•

[ ·, · ]

;

[(X , Z , l) , ( X

, Z

, l

)]

= ( l

2 X

− l

2 X , lZ

− l

Z + [X , X

]

, 0 )

.

•

h·, ·i

;

h (X , Z , l) , ( X

, Z

, l

) i

= h X , X

i

+ h Z , Z

i

+ ll

. Damek-Ricci

• s

Lie

h·, ·i

Lie

S

• S ' v × z × R

; (X , Z , a) · (X

, Z

, a

) =

(

X + √

aX

, Z + aZ

+

√ a

2 [X , X

]

, aa

)

.

Poisson 核の存在定理（負曲率の場合）

¶

³

(X , g )

− b

≤ K

≤ − a

< 0

Hadamard

このとき，基点

x

P

;

• θ ∈ ∂ X

P( ·, θ ) ∈ C

( X ∪ ∂ X \{θ} ),

• P( ·, θ )

X

,

• P( x

, θ ) = 1,

• lim

x→θ⁰

P( x , θ ) = 0 ( θ

, θ ).

さらに，無限遠

Dirichlet

P( x , θ )

µ ´

Busemann ^関数

（

x

Busemann

θ ∈ ∂ X

x

θ

γ

このとき，

B( x , θ ) = lim

t→∞

(d( x , γ

(t) − t)) .

Busemann

• B( x

, · ) = 0

• lim

x→θ⁰

B( x , θ ) = 

 −∞ ( θ

= θ ) ,

∞ ( θ

, θ ) . ←

• v ∈ T

X

v B( x , θ ) = −g ( v, u)

u

x

θ

漸近収束する半開測地線の初期ベクトル．特に，

| grad

B( x , θ ) | = 1

• (X , g )

∆ B

P = exp( − cB) ^{となる場合}

¶

³

(X , g )

n

Hadamard

Poisson

Busemann

数を用いて

P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ ))

Poisson

的埋め込みである

; ϕ

G =

g

µ ´

（証明）等長変換群

Isom

(X , g )

∂ X

P ( ∂ X )

引き戻しとして作用．

ψ ∈ Isom

(X , g )

• Busemann

: B( ψ x , θ ) = B( x , ψ

θ ) + B( ψ x

, θ ) P( ψ x , θ ) = P( x , ψ

θ ) P( ψ x

, θ ).

•

Dirichlet

Poisson

, Poisson

(?)

ψ

θ = ψ , θ θ

P = exp( − cB) ^{となる場合}

•

2

ψ

Poisson

ϕ

; ( ψ

)

◦ ϕ = ϕ ◦ ψ.

• X

x

;

単位ベクトル

v ∈ T

X

ϕ

G( v, v ) =

∫

∂X

( v log P( ·, θ ) )

P( x

, θ ) d θ

= c

∫

∂X

( v B( ·, θ ))

d θ

= c

∫

u∈Sⁿ⁻¹(1)

hv, u i

d µ

= c

n .

（証明おわり）

Damek-Ricci ^空間の Poisson ^核

J. Cygan : P

(n) = ca

{( a +

| X |

)

+ | Z |

}

(n = (X , Z) , a > 0).

ただし，

Q =

dim v + dim z

c

∫

n∈N

P

(n) dX dZ = 1

E. Damek : P

(n)

;

• ∆ P = 0.

• lim

f ∗ P

(n) = f (n) ( f ∈ L

(N ))

f ∗ P

(n) =

∫

m∈N

P

(nm

) f (m) dm .

これは

P

(n)

S

Dirichlet

Damek-Ricci ^空間の Poisson ^核

• P((n , a) , m) = 1

c P

(nm

)  



(

1 + 1 4 | x |

)

+ | z |

 



Q

(m = ( x , z) ∈ N ) : S

1

: = (0

, 0

, 1)

Poisson

• d θ (m) = c {( 1 +

| x |

)

+ | z |

}

dx dz (m = ( x , z) ∈ N )

: ∂ S ' N

定理 1.1 ^の証明

定理（伊藤

-

¶ ³

Damek-Ricci

S

Poisson

P( x , θ ) = exp( − QB( x , θ ))

µ ´

Damek-Ricci

Busemann

[2]

•

γ (0) = 1

, γ

(0) = (V , Y , s) ∈ s ; γ (t) =

( 2r(1 − sr)

χ V + 2r

χ J

V , 2r

χ Y , 1 − r

χ

) .

ただし，

r = tanh (

2

) , χ = (1 − sr)

+ | Y |

r

•

; d(1

, (X , Z , a)) = log

(

λ²−4λ 2

)

ただし，

λ =

{(

1 + a +

| X |

)

+ | Z |

}

．