Damek-Ricci 空間の Poisson 核と Fisher 情報計量
伊藤 光弘（筑波大学大学院数理物質科学研究科）
佐藤 弘康（筑波大学大学院数理物質科学研究科）
日本数学会 2008 年度秋季総合分科会 平成 20 年 9 月 25 日
東京工業大学
はじめに
Poisson 核写像
( X , g ) −−−−−−−→
ϕ( P ( ∂ X ) , G)
Hadamard 多様体 理想境界 ∂X 上の正値確率測度の全体，
Fisher 情報計量 G
主定理（伊藤 - 佐藤）
¶ ³
(X , g ) ： Damek-Ricci 空間
= ⇒ Poisson 核写像は 相似的 ; ϕ
∗G = ρ
2n g ，かつ 極小的 埋め込み．
ここで， ρ は ( X , g ) の体積エントロピー： ρ = lim
r→∞
1
r log Vol (B( x; r)) ．
µ ´
Poisson 核
(X , g ) ： n 次元 Hadamard 多様体（完備，単連結，非正曲率多様体）
∂ X = {γ : [0 , ∞ ) → X : 半開測地線 , |γ
0| = 1 }/ ∼ ( ' S
n−1(1) ⊂ T
x0X )
： X の理想境界（ γ
1∼ γ
2⇐⇒ d( γ
1(t) , γ
2(t)) が t に関して上に有界）
Poisson 核 P( x , θ ) : 無限遠 Dirichlet 問題の基本解 ; 与えられた f ∈ C
0( ∂ X)
（境界条件）にたいして ∆ u = 0 , u |
∂X= f を満たす関数は
u( x) = Z
θ∈∂X
P( x , θ ) f ( θ ) d θ.
で与えられる．ただし， d θ は同一視 ∂ X ' S
n−1(1) ⊂ T
x0X の下， S
n−1(1) の標
準的な単位体積要素．
Poisson 核写像 ϕ : X 3 x 7−→ P( x , θ ) d θ ∈ P ( ∂ X )
確率測度のなす空間と Fisher 情報計量
(X , g ) ：向きづけられた n- 次元完備 Riemann 多様体 d v ： g から定まる体積要素
P ( X) : = n
µ = p d v p ∈ L
2k(X) , p > 0 , R
X
µ = 1 o
：正値確率測度のなす空間
T
µP ( X) ' n
τ = q d v q ∈ L
2k(X) , R
X
τ = 0 o
Fisher 情報計量 G = { G
µ} : P (X ) 上の Riemann 計量 G
µ( τ
1, τ
2) =
Z
X
q
1p
q
2p p d v,
τ
i= q
id v ∈ T
µP (X ) , µ = p d v .
定理（ T. Friedrich ’91 ）
¶ ³
• G の断面曲率は一定で，その値は 1 / 4 ．
• Di ff
+(X ) は ( P (X) , G) に等長的に作用する．
• 測地的に完備ではない．
µ ´
Damek-Ricci 空間
• Damek-Ricci 空間 S とは，一般 Heisenberg 群 N を一次元拡張した可解 Lie 群に左不変計量を備えたもの．
• Hadamard 多様体（ ∂ S ' N ∪ {∞} ）．
• 負曲率の Damek-Ricci 空間は階数 1 非コンパクト型対称空間に限る．
• 調和多様体（十分小さい半径の測地球面は平均曲率一定）．
• 可視公理を満たす（ ∂ X の任意の 2 点は測地線で結ばれる）．
• Damek-Ricci 空間の Poisson 核は群構造を用いて具体的に記述できる
(Damek ’87, Cygan ’81) ．
補題（伊藤 - 佐藤）
¶ ³
Damek-Ricci 空間の Poisson 核は P( x , θ ) = exp( −ρ B( x , θ )) ．
µ ´
• 主結果の証明：空間の等質性と Busemann 関数の性質
P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ )) となる場合
• （ x
0を基点とする） Busemann 関数 : B( x , θ ) = lim
t→∞(d( x , γ
θ(t) − t)) ．
ただし， γ
θは x
0を始点とし θ ∈ ∂ X に漸近収束する半開測地線．
• ∆ P = 0 ⇐⇒ ∆ B = −ρ （漸近的調和 : ホロ球面は平均曲率一定） ⇐ 調和
• 主定理の証明
– ϕ
∗G( v, v ) = R
∂X
