Poisson 核，熱核の情報幾何学

Poisson ^{核，熱核の情報幾何学}

Information geometry of Poisson kernels and heat kernels

佐藤 弘康（筑波大学大学院数理物質科学研究科）

Hiroyasu Satoh (University of Tsukuba)

（伊藤光弘氏（筑波大）との共同研究に基づく）

Joint work with M. Itoh (University of Tsukuba)

幾何学コロキウム 平成 20 ^年 12 ^月 12 ^日

北海道大学

1.1 ^{統計モデルと} Fisher ^計量

情報幾何

=

確率分布（測度）の族に幾何構造を導入し，微分幾何学の手法で研究

• ( Ω, F , λ ) ^{：測度集合}

• P ( Ω, U ) ^： U ⊂ R

（開集合）で径数付けられた正値確率密度関数の族

P ( Ω, U ) = {

p( x , θ ) p( x , θ ) > 0 ,

∫

θ∈Ω

p( x , θ ) d λ ( x) = 1 , x ∈ U }

Fisher ^計量 g = { ( g

( x)) }

g

( x) =

∫

θ∈Ω

∂

∂ x

log p( x , θ ) · ∂

∂ x

log p( x , θ ) · p( x , θ ) d λ ( θ )

1.2 正値確率測度のなす空間と Fisher ^情報計量

• M ：向き付けられた多様体

• d v

： M ^{上の体積要素}

• P ( M ) ^： M 上の正値確率測度全体のなす集合

P ( M) : = {

µ = p d v

p : M → R, p > 0 ,

∫

M

µ = 1 }

• ^接空間は T

P ( M) ' {

τ = q d v

q : M → R, ∫

X q²

p

d v

< ∞, ∫

M

τ = 0 }

．

Fisher ^情報計量 G = { G

}

G

( τ

, τ

) =

∫

M

q

p

q

p p d v

, (

τ

= q

d v

∈ T

P ( M) , µ = p d v

)

.

1.2 正値確率測度のなす空間と Fisher ^情報計量

• X ^：多様体

• ϕ : X 3 x 7→ p( x , θ ) d v

( θ ) ∈ P ( M) ^：単射

• v

, v

∈ T

X ^{にたいし，} G ^{の引き戻し} ϕ

G ^は ϕ

G( v

, v

) =

∫

θ∈M

v

p( x , θ ) · v

p( x , θ )

p( x , θ ) d v

( θ )

=

∫

θ∈M

v

log p( x , θ ) · v

log p( x , θ ) · p( x , θ ) d v

( θ ) .

= ⇒

ϕ

G ^は X で径数付けられた統計モデルの Fisher ^計量

1.2 ( P ( M) , G) ^の性質

定理（ T. Friedrich, Math. Nachr. 153, 1991 ^）

¶ ³

• G ^の Levi-Civita ^接続 ∇

^は

∇

τ = − 1 2

( q

p · q

p −

∫

M

q

p · q

p µ

) µ.

ここで， τ = q d v

, τ

= q

d v

∈ T

P ( M) ^， µ = p d v

^{．ただし，} τ

は各点 µ ∈ P ( M) ^で τ となるベクトル場と見ている．

• G の断面曲率は一定で，その値は 1 / 4 ^．

• Di ff

( M ) ^は ( P ( M) , G) に引き戻しとして等長的に作用する（特に，

M がコンパクトのとき，この作用は推移的） ．

• 測地的に完備ではない．

µ ´

1.2 例：離散確率分布の場合

• P = {

p = ( p

, p

, p

) p

∈ R, p

> 0 (i = 1 , 2 , 3) , ∑

i=1

p

= 1 }

• T

P ' {

v = ( v

, v

, v

) v

∈ R (i = 1 , 2 , 3) , ∑

i=1

v

= 0 }

• G

( v, v

) =

∑

v

v

p

, v = ( v

, v

, v

) , v

= ( v

, v

, v

).

G

= (

1

p₁

+

)

(d p

)

+

d p

d p

+ (

1

p₂

+

)

(d p

)

( p

= 1 − p

− p

) p

= r

cos

θ , p

= r

sin

θ (0 < r < 1 , 0 < θ < π/ 2) ^{と変数変換すると}

G = 4

1 − r

(dr)

+ 4r

(d θ )

.

⇐ =

( P, G) ^は半径 2 の球面の一部（ガウス曲率 1 / 4 ^）．

1.3 Poisson ^核写像

Itoh–Shishido

• (X , g ) ^： n ^次元 Hadamard 多様体（単連結，完備，非正曲率）

• ∂ X : X ^{の理想境界（} (n − 1) ^{次元球面と同相）}

• Poisson ^{核とよばれる} X × ∂ X ^上の関数 P( x , θ ) ^{を用いて，写像} ϕ : (X , g ) → ( P ( ∂ X ) , G) ^を定義．

定理 (Itoh–Shishido, Di ff . Geom. Appl. 26, 2008)

¶ ³

(X , g ) ^：階数 1, 非コンパクト型対称空間

= ⇒ Poisson 核写像は相似的かつ極小的埋め込み ; ϕ

G = ρ

n g ^．

ここで， ρ ^は ( X , g ) ^{の体積エントロピー：} ρ = lim

r→∞

1

r log Vol (B( x; r)) ^．

µ ´

1.3 ^{問題と結果}

• Poisson ^核写像 ϕ : X → P ( ∂ X) ^{が相似的かつ極小} = ⇒ ^空間 X ^？

階数 1 非コンパクト型対称空間の場合： P( x , θ ) = exp( −ρ B( x , θ )) ^．

Busemann ^関数

– exp ( − c B( x , θ )) ^が Poisson 核になる必要十分条件： X ^{の漸近的調和}

性と可視性， ∫

θ∈∂X

exp ( − B( x , θ )) d θ ^が x ^{に依らない． （} § 2 ^）

– P( x , θ ) = exp ( − c B( x , θ )) ^かつ X ^は等質的 ⇒ ϕ ^{は相似的，極小．}

（ § 2 ^）

– Damek-Ricci ^{空間は上の} 3 ^{条件を満たす． （} § 3 ^）

– Poisson ^核写像 ϕ ^{が相似的，極小} ⇒ P( x , θ ) = exp ( − c B( x , θ )) ^．（ § 4 ^）

• 熱核でも，同様の議論ができないか？

– ^熱核写像 ϕ

: X 3 x 7→ H(t , x , y ) d v ( y ) ∈ P ( X)

– X ^{が調和的等質} Hadamard ^多様体 = ⇒ ϕ

^{は相似的埋め込み．（} § 5 ^）

• § 1) ^{イントロダクション}

• § 2) Poisson ^核と Busemann ^関数

• § 3) Damek-Ricci ^空間

• § 4) ϕ : (X , g ) → ( P ( ∂ X) , G) ^の調和性

• § 5) ^{熱核の場合}

2.1 Poisson ^核

• (X , g ) ^： n ^次元 Hadamard 多様体（完備，単連結，非正曲率多様体）

• ∂ X = {γ : [0 , ∞ ) → X : ^{半開測地線} , |γ

| = 1 }/ ∼ ( ' S

(1) ⊂ T

X)

： X ^{の理想境界 （} γ

∼ γ

⇐⇒ d( γ

(t) , γ

(t)) ^が t ^{に関して上に有界）}

（ x

^{を基点とする）} Poisson ^核 P( x , θ ) = ^無限遠 Dirichlet ^{問題の基本解；}

与えられた f ∈ C

( ∂ X ) （境界条件）にたいして，方程式 ∆ u = 0 , u |

= f

の解は積分表示

u( x) =

∫

θ∈∂X

P( x , θ ) f ( θ ) d θ

で与えられる．ただし， d θ ^は同一視 ∂ X ' S

(1) ⊂ T

X ^の下， S

(1) ^の標

準的な単位体積要素．

Poisson ^核写像 ϕ : X 3 x 7−→ P( x , θ ) d θ ∈ P ( ∂ X )

2.1 Poisson 核の存在定理（負曲率の場合）

定理（ Schoen-Yau, Lect. Di ff . Geom., 1994 ^）

¶ ³

(X , g ) ^{を曲率条件} − b

≤ K

≤ − a

< 0 ^を満たす Hadamard ^{多様体とする．}

このとき，基点 x

にたいして次を満たす関数 P ^{が一意的に存在する} ;

• θ ∈ ∂ X ^{にたいし，} P( ·, θ ) ∈ C

( X ∪ ∂ X \{θ} ),

• P( ·, θ ) ^は X ^{上の正値調和関数} ,

• P( x

, θ ) = 1,

• lim

x→θ⁰

P( x , θ ) = 0 ( θ

, θ ).

さらに，無限遠 Dirichlet ^{問題の解は} P( x , θ ) の積分表示で与えられる．

µ ´

階数 1 非コンパクト型対称空間の場合， exp( −ρ B( x , θ )) ^{は上の条件を満たす．}

2.2 Busemann ^関数

（ x

^{を基点とする）} Busemann ^関数 B( x , θ )

θ ∈ ∂ X ^{にたいし，} x

^{を始点とし} θ に漸近収束する半開測地線を γ

^とする．

このとき，

B( x , θ ) = lim

t→∞

{ d( x , γ

(t)) − t } .

Busemann ^{関数の性質}

• B( · , θ ) ^は X ^上の C

^{級の凸関数．}

• B( x

, · ) = 0

• v ∈ T

X ^{にたいし，} v B( x , θ ) = −g ( v, u) ^{．ただし，} u ^は x ^{を始点とし，} θ ^に

漸近収束する半開測地線の速度ベクトル．特に， | grad

B( x , θ ) | = 1 ^．

• B

( x , θ ) = B

( x , θ ) + B

(q , θ ) .

2.3 P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ )) ^{となる場合}

Poisson ^核が exp( − cB( x , θ )) の形で書けるための条件；

1. ∆

exp( − cB( x , θ )) = 0

⇐⇒ ∆

B = − c

⇐⇒ Busemann ^関数 B( ·, θ ) の等位超曲面は平均曲率一定（漸近的調和）

2. lim

x→θ⁰

exp( − cB( x , θ )) d θ = δ

( θ

)

⇐⇒

 

 





• lim

x→θ⁰,θ

B( x , θ ) = ∞

⇔ ∂ X ^の任意の 2 ^点は X 上の測地線で結べる（可視公理）

• ^任意の x ∈ X ^{にたいして，}

∫

θ∈∂X

exp( − cB( x , θ )) = 1

2.3 P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ )) ^{となる場合}

定理 1

¶ ³

(X , g ) ^を n ^次元等質 Hadamard ^{多様体とする．} Poisson ^核が Busemann ^関

数を用いて P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ )) ^{と書けるとき，} Poisson ^{核写像は相似}

的埋め込みである ; ϕ

G =

g ．さらに極小埋め込みである．

µ ´

（証明）等長変換群 Isom

(X , g ) ^{は理想境界} ∂ X ^{に自然に作用．} P ( ∂ X ) ^にも引

き戻しとして作用． ψ ∈ Isom

( X , g ) ^にたいし

• Busemann ^{関数の変換公式} : B( ψ x , θ ) = B( x , ψ

θ ) + B( ψ x

, θ ) P( ψ x , θ ) = P( x , ψ

θ ) P( ψ x

, θ ).

• ^無限遠 Dirichlet ^{問題の解の} Poisson ^積分表示 , ^{解の一意性}

( ψ

)

(d θ ) = P( ψ ( x

) , θ ) d θ .

2.3 P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ )) ^{となる場合}

• ^上の 2 ^{つの条件から等長変換} ψ ^と Poisson ^核写像 ϕ ^{は次の意味で可換} ; ( ψ

)

◦ ϕ = ϕ ◦ ψ.

• X ^{の等質性から，基点} x

^{でのみ考えればよい} ;

単位ベクトル v ∈ T

X ^にたいし ϕ

G( v, v ) =

∫

∂X

( v log P( ·, θ ) )

P( x

, θ ) d θ = c

∫

∂X

( v B( ·, θ ))

d θ

= c

∫

u∈Sⁿ⁻¹(1)

hv, u i

d µ

= c

n .

• ^{（極小性）} ∑

i

∇

d ϕ (e

) = 0 ^．（ { e

} ^は T

X ^{の正規直交基底）}

（証明おわり）

• § 1) ^{イントロダクション}

• § 2) Poisson ^核と Busemann ^関数

• § 3) Damek-Ricci ^空間

• § 4) ϕ : (X , g ) → ( P ( ∂ X) , G) ^の調和性

• § 5) ^{熱核の場合}

3.1 ^一般 Heisenberg ^群

一般 Heisenberg ^代数

• (n , [ ·, · ]

, h·, ·i

) : 2-step ^冪零 Lie ^{環とその内積．}

• n = v ⊕ z ^（ z ^は n ^の中心， v ^は z ^{の直交補空間）．}

• Z ∈ z ^{にたいし，} J

: v → v; h J

V , V

i

= h Z , [V , V

]

i

.

• ( J

)

= −| Z |

id

( ∀ Z ∈ z ) ^のとき， n ^を一般 Heisenberg ^{代数とよぶ．}

一般 Heisenberg ^群

• ^一般 Heisenberg ^代数 n ^を Lie ^環とし， h·, ·i

から定まる左不変計量を備 えた単連結冪零 Lie ^群 N ^．

• N ' v × z と同一視したときの群構造 ; (V , Z ) · (V

, Z

) =

(

V + V

, Z + Z

+ 1

[V , V

] )

.

3.2 Damek-Ricci ^空間

• s = n ⊕ R ( n : ^一般 Heisenberg ^代数 ).

• ^{ブラケット積} [ ·, · ]

;

[(V , Z , l) , (V

, Z

, l

)]

= ( l

2 V

− l

2 V , lZ

− l

Z + [V , V

]

, 0 )

.

• ^内積 h·, ·i

;

h (V , Z , l) , (V

, Z

, l

) i

= h V , V

i

+ h Z , Z

i

+ ll

. Damek-Ricci ^空間

• s ^を Lie ^環とし， h·, ·i

から定まる左不変計量を備えた単連結 Lie ^群 S ^．

• S ' v × z × R

と同一視したときの群構造 ; (V , Z , a) · (V

, Z

, a

) =

(

V + √

aV

, Z + aZ

+

√ a

2 [V , V

]

, aa

)

.

3.2 Damek-Ricci ^空間 S ^の性質

• Hadamard ^多様体． K

< 0 ^ならば， S ^は階数 1 ^{非コンパクト型対称空}

間のいずれか （ I. Dotti, Proc. Amer. Math. Soc. 125, 1997 ^） ．

• C H

, H H

, O H

^（ dim z = 1 ^{） ．特別な場合として，} R H

^（ dim z = 0 ^）．

• γ (0) = (0

, 0

, 1) ^， γ

(0) = (U , W , l) ∈ s ^（ | U |

+ | W |

+ l

= 1 ^{）の測地線は} γ (t) =

(

2r (1 − lr)U + 2r

J

U , 2rW , 1 − r

) .

ただし， r = tanh (

t 2

) , χ = (1 − lr)

+ | W |

r

^．

(Berndt-Tricerri-Vanhecke, Lecture Notes in Math. 1598, 1995)

• ^{理想境界は} ∂ S ' N ∪ {∞}

• 漸近的調和．また可視公理を満たす．

• ^{体積エントロピー} ρ =

dim v + dim z ^（ homogeneous dimension ^{） ．}

3.3 Damek-Ricci ^空間 S ^の Busemann ^関数

定理 2

¶ ³

Damek-Ricci ^空間 S ^の Busemann ^{関数および，} ∂ S ' N ^{上の標準体積要}

素は以下で与えられる（ x = (V , Z , a) ∈ S ^）．

B( x , θ ) =  





− log

 



(

(

)

(

)

|

|

 

 if θ = ( v, z) ∈ N

− log a if θ = ∞

d θ = c {(

1 +

|v|

)

+ | z |

}

d v dz (( v, z) ∈ N )

さらに， ∫

N

exp {−ρ B( x , θ ) } d θ = 1 ^{が成り立つ．}

µ ´

= ⇒ Damek-Ricci ^空間 S ^上の Poisson 核写像は相似的かつ極小．

3.4 ^注意： Damek-Ricci ^空間 S ^の Poisson ^核

E. Damek (Colloq. Math. 53, 1987)

• P

(n) = ca

{( a +

| V |

)

+ | Z |

}

(n = (V , Z) , a > 0)

ただし， c ^は ∫

n∈N

P

(n) dn = 1 ^{となる定数．}

• ∆ P = 0.

• lim

f ∗ P

(n) = f (n) ( f ∈ L

(N )) ^．ただし f ∗ P

(n) =

∫

m∈N

P

(nm

) f (m) dm .

これは P

(n) ^が S ^{上の無限遠} Dirichlet 問題の基本解を与えることを意味する

（ ∂ S ' N ^{） ．実際に}

P

(nm

) dm = exp ( −ρ B((n , a) , m)) d θ (m) .

• § 1) ^{イントロダクション}

• § 2) Poisson ^核と Busemann ^関数

• § 3) Damek-Ricci ^空間

• § 4) ϕ : (X , g ) → ( P ( ∂ X) , G) ^の調和性

• § 5) ^{熱核の場合}

4.1 ϕ : (X , g ) → ( P ( ∂ X ) , G) ^の調和性

定理 3

¶ ³

写像 φ : (X , g ) → ( P ( ∂ X)); x 7→ p( x , θ ) d θ が調和写像であるための必要十 分条件は f ( x , θ ) : = 2 ∆

log p( x , θ ) − | grad

log p( x , θ ) |

^が θ ∈ ∂ X ^に依ら

ない関数になることである．

µ ´

Poisson ^核写像 ϕ ^が相似的 ( ϕ

G = c

/ n g ) ^かつ極小

= ⇒ ϕ ^{は調和写像．} = ⇒ | grad

log P( x , θ ) | = c

= ⇒ u( x , θ ) =

log p( x , θ ) ^とおくと | grad

u( · , θ ) | = 1

= ⇒ grad

u( · , θ ) ^の勾配流 σ

(t) ^{は測地線．}

(T. Sakai, Kodai Math. J. 19, 1996)

= ⇒ lim

t→∞

σ

(t) = θ ^となり， d (u( · , θ ) − B( · , θ )) = 0 ^．

= ⇒ , θ = , θ ^． = ⇒ は漸近的調和かつ可視公理を満たす．

4.2 ^{関連する結果}

定理 ( ^酒井 , Riemann ^幾何学 , 1992)

¶ ³

1

2

∆|∇ u |

= h∇ u , ∇∆ u i − Ric( ∇ u , ∇ u) − | Hess(u) |

µ ´

u( x , θ ) =

log P( x , θ ) ^{にたいして，} Ric( ∇ u , ∇ u) = −| Hess(u) |

定理 (J. Heber, Geom. Funct. Anal. 16, 2006)

¶ ³

X を非コンパクト，単連結，等質空間とする．このとき，以下は同値 ;

• X ^{は漸近的調和，} Einstein ^多様体．

• X ^{は平坦空間，階数} 1 非コンパクト型対称空間， （対称空間でない）

Damek-Ricci ^{空間のいずれか．}

µ ´

• § 1) ^{イントロダクション}

• § 2) Poisson ^核と Busemann ^関数

• § 3) Damek-Ricci ^空間

• § 4) ϕ : (X , g ) → ( P ( ∂ X) , G) ^の調和性

• § 5) ^{熱核の場合}

5.1 ^熱核

(X , g ) ^：完備 Riemann ^多様体

熱方程式 ; ^{与えられた} f ∈ C

(X) （初期条件）にたいして

( ∂

∂ t + ∆ )

u(t , x) = 0 , u(0 , x) = f ( x) .

熱核 H(t , x , y ) = ^{熱方程式の基本解} ;

熱方程式（初期条件 f ∈ C

( X) ^）の解は u(t , x) =

∫

y∈X

H(t , x , y ) f ( y ) d v ( y )

で与えられる．

5.1 ^熱核

熱核の性質

• H(t , x , y ) ∈ C

( R

× X × X)

• H(t , x , y ) = H (t , y, x) > 0

• (

∂t

+ ∆

)

H (t , x , y ) = 0

• lim

H (t , x , y ) d v ( y ) = δ

( y ) ^： Dirac ^測度

• H(t + s , x , y ) = ∫

z∈X

H (t , x , z) H( s , z , y ) d v (z)

熱核写像 ϕ

: X 3 x 7−→ H(t , x , y ) d v ( y ) ∈ P ( X)

定理 4

¶ ³

(X , g ) ^：調和的 Hadamard ^多様体

= ⇒ 熱核写像は相似的埋め込み： ϕ

G = C (t) g ^．

µ ´

5.2 ^{調和多様体}

調和的 ：次のいずれかの条件を満たす ;

1. ^各点 p ∈ X ^{にたいし，} p ^{の正規座標近傍} U ^と U \{ p } ^{上の動径的調和関}

数 f ( x) = φ (d( p , x)) ^{が存在する．}

2. ^各点 p ∈ X の近傍で定義された任意の調和関数 f ^{にたいし，平均値の}

定理が成立する ; f ( p) =

∫

S(p;r)

f d µ

.

3. ^各点 p ∈ X ^{にたいし，} p 中心とする正規座標系に関する体積密度関数

ω

= √

det( g

) ^{が動径関数} ω

( x) = ω (d( p , x)) ^となる．

強調和的 : ^{熱核が動径的関数} ; H(t , x , y ) = H (t , d( x , y )).

• ^強調和的 = ⇒ 調和的．多様体が単連結ならば，強調和的 ⇐⇒ ^調和的．

• ^調和 = ⇒ 漸近的調和（共役点をもたない空間において）

5.3 ^定理 4 ^の証明

• ϕ

G( v, v ) =

∫

y∈X

( v log H(t , x , y ) )

H (t , x , y ) d v ( y ) ( v ∈ T

X ).

• (X , g ) は単連結，調和的．よって強調和的．

 

 v log H (t , x , y ) =

(t , r ) · ( −hv, u i ) .

d v = Ω (r)dr d µ

. ^（ Ω ^は x ∈ X ^{の選び方によらない）}

以上のことから

ϕ

G( v, v ) =

∫

0

1 H(t , r)

( ∂ H

∂ r (t , r) )

Ω (r) dr

∫

u∈Sⁿ⁻¹(1)

hv, u i

d µ

.

右辺は v ∈ T

X ^{に依らないことから，} ϕ

G = C (t) g ^{と書ける．}

（証明おわり）

5.3 ^相似定数 C (t)

• n C(t) = trace

(

ϕ

G )

=

∫

y∈X

| grad

log H(t , x , y ) |

H (t , x , y ) d v ( y ) ^．

• ^{強調和性より，} | grad

log H(t , x , y ) | = | grad

log H(t , x , y ) | ^．

• ^{熱方程式より，} | grad

log H (t , x , y ) |

= (

∆

+

)

log H (t , x , y ) ^． trace

(

ϕ

G )

=

∫

y∈X

(

∆

+ ∂

∂ t )

log H(t , x , y ) · H(t , x , y ) d v ( y )

=

∫

y∈X

∆

log H(t , x , y ) · H (t , x , y ) d v ( y ) +

∫

y∈X

∂

∂ t H(t , x , y ) d v ( y )

=

∫

y∈X

log H(t , x , y ) · ∆

H (t , x , y ) d v ( y ) _← Damek-Ricci ^{空間のとき成立}

= ∂

∂ t (

−

∫

y∈X

log H( x , t , y ) · H(t , x , y ) d v ( y )

)

5.4 ^例） n ^次元 Euclid ^{空間の場合}

• ^熱核 : H(t , x , y ) = (4 π t)

exp (

− | x − y|

4t

)

• ^相似定数 : C(t) = 1 2t

• ^{エントロピー} : n 2

( log(4 π t) + 1 )

Li-Yau’s gradient estimate

(X , g ) ^を Ricci ^{曲率が非負の完備} Riemann 多様体とする．このとき，熱方程

式の解 u(t , x) は以下の不等式を満たす ;

|∇ u |

u

+ 1 u

∂ u

∂ t ≤ n 2t . (

= ⇒ 1

n trace

( ϕ

G) ≤ 1 2t

)