階数 1 非コンパクト型対称空間の熱核と Fisher 情報計量
伊藤 光弘
(
筑波大学大学院数理物質科学研究科)
佐藤 弘康(
筑波大学大学院数理物質科学研究科)
宍戸 雄一
(
茗溪学園中学校高等学校)
体積形式をもつ有限次元多様体 (Xn, dv)上の正値確率測度全体の集合P(X)は無限次 元多様体の構造を持つ．µ∈ P(X), σ1, σ2 ∈TµP(X)の対し，
g(σ1, σ2) =
∫
X
dσ1
dµ dσ2
dµ µ
はP(X)上のRiemann計量を与える．（ただしdσi/dµ はσi のµに関する密度関数）．
これをP(X)上のFisher情報計量と呼ぶ．(P(X), g)は正の定曲率空間であることが知 られている[2]．
伊藤–宍戸[3]は完備負曲率多様体(X, h)のPoisson核の存在性を使って，X からX の理想境界∂X 上の正値確率測度全体の空間 P(∂X)への写像 (Poisson核写像) を定義 した．また，(X, h)が階数1非コンパクト型対称空間のとき，この写像が相似埋め込みに なることを示した．
これと同様に，Riemann多様体(X, h)のラプラシアンの熱核を用いて写像ϕt :X → P(X)が定義できる．
熱方程式
∂
∂tu(x;t) = ∆xu(x;t)
u(0;x) =f(x) (初期条件)
の解は熱核k(t;x, y), t ∈R+, x, y ∈X, を用いて積分表示される：
u(x;t) =
∫
y∈X
k(t;x, y)f(y)dvy.
熱核の性質より，
ϕt :x7−→k(t;x, y)dvy
1
はX 上の正値確率測度を与える．熱核写像ϕt :X → P(X)に対して以下が成り立つ．
定理 1. (X, h)をユークリッド空間か階数1非コンパクト型対称空間とする．このとき，
P(X)のFisher情報計量g の熱核写像ϕt による引き戻し(ϕt)∗gはh に相似的である．
すなわち，ある定数Ct が存在し，(ϕt)∗g=Cthが成り立つ．
定理 2. (X, h)がユークリッド空間の場合，Ct = 2t である．
階数 1非コンパクト型対称空間の場合（例えば実双曲空間Hn(R)）については学会で 報告したい．
参考文献
[1] Anker, J.-P. and Ostellari, P. The heat kernel on noncompact symmetric spaces, Lie groups and symmetric spaces, 27–46, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 210, AMS, 2003.
[2] Friedrich, T.Die Fisher-Information und symplektische Strukturen, Math. Nachr.
153 (1991), 273-296.
[3] Itoh, M. and Shishido, Y. Fisher information metrics and Poisson kernels, to apear in Differential Geometry and its Applications.
2
