Poisson 核，熱核の情報幾何学

Poisson ^{核，熱核の情報幾何学}

Information geometry of Poisson kernels and heat kernels

佐藤 弘康（筑波大学大学院数理物質科学研究科）

Hiroyasu Satoh (University of Tsukuba) Joint work with M. Itoh (University of Tsukuba)

リーマン幾何と幾何解析 筑波大学

平成

21

2

20

はじめに

(X , g )

M

Riemann

(X , g ) −−−−−−−−−−−−−−−−→ ^φ

（計量

g

P ( M )

...

G

Fisher

• ^計量 g ^と写像 φ の性質（部分多様体としての）の関係．

• (Itoh-Shishido ’08) Poisson ^核写像 ϕ : X → P ( ∂ X )

(X , g ) : ^階数 1 非コンパクト型対称空間 = ⇒ ϕ は相似的，極小埋め込み．

1.1 ^{統計モデルと} Fisher ^計量

• ( Ω, F , λ ) ^{：測度集合}

• P (U , Ω ) ^： U ⊂ R ⁿ （開集合）で径数付けられた正値確率密度関数の族

P (U , Ω ) = {

p( x , ξ )

p( x , ξ ) > 0 ,

∫

ξ∈Ω p( x , ξ ) d λ ( ξ ) = 1 , x ∈ U }

Fisher ^計量 G = { ( g ^{i j} ( x)) } ^x _∈ ^U g ^{i j} ( x) =

∫

ξ∈Ω

∂

∂ x ⁱ log p( x , ξ ) · ∂

∂ x ^j log p( x , ξ ) · p( x , ξ ) d λ ( ξ )

= E _p

[

∂ ⁱ log p _x · ∂ ^j log p _x ]

→

1.2 正値確率測度のなす空間と Fisher ^情報計量

• M ：向き付けられた多様体

• d v M ： M ^{上の体積要素}

• P ( M ) ^： M 上の正値確率測度全体のなす集合

P ( M) : = {

µ = p d v ^M p : M → R, p > 0 ,

∫

M

µ = 1 }

• ^接空間は T _µ P ( M) ' {

τ = q d v ^M q : M → R, ∫

M q

p d v ^M < ∞, ∫

M τ = 0 }

．

Fisher ^情報計量 G = { G _µ } G _µ ( τ ¹ , τ ² ) =

∫

M

q ₁ p

q ₂

p p d v ^M , (

τ ⁱ = q _i d v ^M ∈ T _µ P ( M) , µ = p d v ^M )

.

1.2 正値確率測度のなす空間と Fisher ^情報計量

• X ^：多様体

• ϕ : X 3 x 7−→ p( x , ξ ) d v M ( ξ ) ∈ P ( M ) ^：単射

• v ¹ , v ² ∈ T _x X ^{にたいし，} G ^{の引き戻し} ϕ ^∗ G ^は ϕ ^∗ G( v ¹ , v ² ) =

∫

ξ∈ M

v ¹ p( x , ξ ) · v ² p( x , ξ )

p( x , ξ ) d v ^M ( ξ )

=

∫

ξ∈ M

v ¹ log p( x , ξ ) · v ² log p( x , ξ ) · p( x , ξ ) d v ^M ( ξ )

= E _µ [

v ¹ log p( x , ξ ) · v ² log p( x , ξ ) ] .

= ⇒

ϕ ^∗ G ^は X で径数付けられた統計モデルの Fisher ^計量

1.2 ( P ( M) , G) ^の性質

定理（ T. Friedrich, Math. Nachr. 153, 1991 ^）

¶ ³

• G ^の Levi-Civita ^接続 ∇ ^{G は}

∇ ^G _τ

τ = − 1 2

( q

p · q ₁ p −

∫

M

q

p · q ₁ p µ

) µ.

ここで， τ = q d v ^M , τ ¹ = q ₁ d v ^M ∈ T _µ P ( M) ^， µ = p d v ^{M ．ただし，} τ

は各点 µ ∈ P ( M) ^で τ となるベクトル場と見ている．

• G の断面曲率は一定で，その値は 1 / 4 ^．

• Di ff ₊ ( M ) ^は ( P ( M) , G) に引き戻しとして等長的に作用する（特に，

M がコンパクトのとき，この作用は推移的） ．

• 測地的に完備ではない．

µ ´

1.2 ( P ( M) , G) ^の性質

定理（ T. Friedrich, Math. Nachr. 153, 1991 ^）

¶ ³

• c(t) = f _t d v ^M : P ( M ) ^上の曲線

• G _c(t) (c ⁰ (t) , c ⁰ (t)) =

∫

M

( f _t ⁰ f _t

) 2

f _t d v ^M = 1

c(t) ^が測地線 ⇐⇒ f _t =

  ( f ₀ ) ² + ( f ₀ ⁰ ) ² f ₀

  cos ² (

arctan

( f ₀ ⁰ f ₀

)

− t 2

) .

µ ´

ξ ∈ M ^を固定． arctan (

f ₀ ⁰ ( ξ ) / f ₀ ( ξ ) )

∈ ( −π/ 2 , π/ 2) ^より

arctan

( f ₀ ⁰ ( ξ ) f ₀ ( ξ )

)

− T

2 = − π

2

1.2 例：離散型確率分布の場合

• P = {

p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) p _i ∈ R, p _i > 0 (i = 1 , 2 , 3) , ∑ ₃

i = 1 p _i = 1 }

• T _p P ' {

v = ( v ¹ , v ² , v ³ ) v ⁱ ∈ R (i = 1 , 2 , 3) , ∑ ₃

i = 1 v ⁱ = 0 }

• G _p ( v, v ⁰ ) =

∑ 3 i = 1

v ⁱ v ⁰ _i

p _i , v = ( v ¹ , v ² , v ³ ) , v ⁰ = ( v ⁰ ₁ , v ⁰ ₂ , v ⁰ ₃ ).

• G _p = ( ₁

p

+ _p ¹

)

(d p ₁ ) ² + _p ²

d p ₁ d p ₂ + ( ₁

p

+ _p ¹

)

(d p ₂ ) ² ( p ₃ = 1 − p ₁ − p ₂ ) p ₁ = r ² cos ² θ , p ₂ = r ² sin ² θ (0 < r < 1 , 0 < θ < π/ 2) ^{と変数変換すると}

G = 4

1 − r ² (dr) ² + 4r ² (d θ ) ² .

⇐ =

( P, G) ^は半径 2 の球面の一部（ガウス曲率 1 / 4 ^）．

1.3 Poisson ^核写像

Itoh–Shishido

• (X , g ) ^： n ^次元 Hadamard 多様体（単連結，完備，非正曲率）

• ∂ X : X ^{の理想境界（} (n − 1) ^{次元球面と同相）}

• Poisson ^{核とよばれる} X × ∂ X ^上の関数 P( x , θ ) ^{を用いて，写像} ϕ : (X , g ) → ( P ( ∂ X ) , G) ^を定義．

定理 (Itoh–Shishido, Di ff . Geom. Appl. 26, 2008)

¶ ³

(X , g ) ^：階数 1, 非コンパクト型対称空間

= ⇒ Poisson 核写像は相似的かつ極小的埋め込み ; ϕ ^∗ G = ρ ²

n g ^．

ここで， ρ ^は ( X , g ) ^{の体積エントロピー：} ρ = lim

→∞

1

r log Vol (B( x; r)) ^．

1.3 ^{問題と結果}

• Poisson ^核写像 ϕ : X → P ( ∂ X) ^{が相似的かつ極小} = ⇒ ^空間 X ^？

階数 1 非コンパクト型対称空間の場合： P( x , θ ) = exp( −ρ B( x , θ )) ^．

Busemann

– P( x , θ ) = exp ( − c B( x , θ )) ^かつ X ^は等質的 ⇒ ϕ ^{は相似的（} § 2 ^），か

つ極小（極小性の証明には調和写像の議論が必要 § 3 ^{） ．}

– Poisson ^核写像 ϕ ^{が相似的，極小} ⇒ P( x , θ ) = exp ( − c B( x , θ )) ^．（ § 3 ^） – exp ( − c B( x , θ )) ^が Poisson 核になる必要十分条件： X ^{の漸近的調和}

性と可視性， ∫

θ∈∂ X exp ( − B( x , θ )) d θ ^が x ^{に依らない． （} § 2 ^） – Damek-Ricci ^{空間は上の} 3 ^{条件を満たす． （} § 4 ^）

• 熱核でも，同様の議論ができないか？（ § 5 ^）

– ^熱核写像 ϕ ^t : X 3 x 7→ H(t , x , y ) d v ( y ) ∈ P ( X)

– X ^{が調和的等質} Hadamard ^多様体 = ⇒ ϕ ^t は相似的（極小ではない） ．

• § 1) ^{イントロダクション}

• § 2) Poisson ^核と Busemann ^関数

• § 3) φ : (X , g ) → ( P ( M ) , G) ^の調和性

• § 4) Damek-Ricci ^空間

• § 5) ^{熱核の場合}

2.1 Poisson ^核

• (X , g ) ^： n ^次元 Hadamard 多様体（完備，単連結，非正曲率多様体）

• ∂ X = {γ : [0 , ∞ ) → X : ^{半開測地線} , |γ ⁰ | = 1 }/ ∼ ( ' S ^{n − 1} (1) ⊂ T _x

X)

： X ^{の理想境界 （} γ ¹ ∼ γ ² ⇐⇒ d( γ ¹ (t) , γ ² (t)) ^が t ^{に関して上に有界）}

（ x ₀ ^{を基点とする）} Poisson ^核 P( x , θ ) = ^無限遠 Dirichlet ^{問題の基本解；}

与えられた f ∈ C ⁰ ( ∂ X ) （境界条件）にたいして，方程式 ∆ u = 0 , u | _∂ ^X = f

の解は積分表示

u( x) =

∫

θ∈∂ X

f ( θ ) P( x , θ ) d θ (

=

∫

∂ X

f d ω ^x )

で与えられる．ただし， d θ ^は同一視 ∂ X ' S ^{n − 1} (1) ⊂ T _x

X ^の下， S ^{n − 1} (1) ^の標

準的な単位体積要素（ ω ^{x ：} harmonic measure ^）．

Poisson ^核写像 ϕ : X 3 x 7−→ P( x , θ ) d θ ∈ P ( ∂ X )

2.1 Poisson 核の存在定理（負曲率の場合）

定理（ Schoen-Yau, Lect. Di ff . Geom., 1994 ^）

¶ ³

(X , g ) ^{を曲率条件} − b ² ≤ K _X ≤ − a ² < 0 ^を満たす Hadamard ^{多様体とする．}

このとき，基点 x ₀ にたいして次を満たす関数 P ^{が一意的に存在する} ;

• θ ∈ ∂ X ^{にたいし，} P( ·, θ ) ∈ C ⁰ ( X ∪ ∂ X \{θ} ),

• P( ·, θ ) ^は X ^{上の正値調和関数} ,

• P( x ₀ , θ ) = 1,

• lim

x →θ

P( x , θ ) = 0 ( θ ⁰ , θ ).

さらに，無限遠 Dirichlet ^{問題の解は} P( x , θ ) の積分表示で与えられる．

µ ´

階数 非コンパクト型対称空間の場合， −ρ , θ ^{は上の条件を満たす．}

2.2 Busemann ^関数

（ x ₀ ^{を基点とする）} Busemann ^関数 B( x , θ )

θ ∈ ∂ X ^{にたいし，} x ₀ ^{を始点とし} θ に漸近収束する半開測地線を γ _θ ^とする．

このとき，

B( x , θ ) = lim

t →∞ { d( x , γ _θ (t)) − t } .

Busemann ^{関数の性質}

• B( · , θ ) ^は X ^上の C ^{2 級の凸関数．}

• B( x ₀ , · ) = 0

• v ∈ T _x X ^{にたいし，} v B( x , θ ) = −g ( v, u) ^{．ただし，} u ^は x ^{を始点とし，} θ ^に

漸近収束する半開測地線の速度ベクトル．特に， | grad _X B( x , θ ) | = 1 ^．

• B _p ( x , θ ) = B _q ( x , θ ) + B _p (q , θ ) .

2.3 P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ )) ^{となる場合}

定理 1

¶ ³

(X , g ) ^を n ^次元等質 Hadamard ^{多様体とする．} Poisson ^核が Busemann ^関

数を用いて P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ )) ^{と書けるとき，} Poisson ^{核写像は相似}

的埋め込みである ; ϕ ^∗ G = ^c _n

g ．さらに極小埋め込みである．

µ ´

（証明）等長変換群 Isom ₊ (X , g ) ^{は理想境界} ∂ X ^{に自然に作用．} P ( ∂ X ) ^にも引

き戻しとして作用． ψ ∈ Isom ₊ ( X , g ) ^にたいし

• Busemann ^{関数の変換公式} : B( ψ x , θ ) = B( x , ψ ^{− 1} θ ) + B( ψ x ₀ , θ ) P( ψ x , θ ) = P( x , ψ ^{− 1} θ ) P( ψ x ₀ , θ ).

• ^無限遠 Dirichlet ^{問題の解の} Poisson ^積分表示 , ^{解の一意性}

2.3 P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ )) ^{となる場合}

• ^上の 2 ^{つの条件から等長変換} ψ ^と Poisson ^核写像 ϕ ^{は次の意味で可換} ; ( ψ ^{− 1} ) ^∗ ◦ ϕ = ϕ ◦ ψ.

• X ^{の等質性から，基点} x ₀ ^{でのみ考えればよい} ;

単位ベクトル v ∈ T _x

X ^にたいし ϕ ^∗ G( v, v ) =

∫

∂ X

( v log P( ·, θ ) ) 2

P( x ₀ , θ ) d θ = c ²

∫

∂ X

( v B( ·, θ )) ² d θ

= c ²

∫

u ∈ S

(1)

hv, u i ² d µ S

(1) = c ² n .

• （極小性の証明は次節）

2.3 P( x , θ ) = exp( − cB( x , θ )) ^{となる場合}

Poisson ^核が exp( − cB( x , θ )) の形で書けるための条件；

1. ∆ ^X exp( − cB( x , θ )) = 0

⇐⇒ ∆ ^X B = − c

⇐⇒ Busemann ^関数 B( ·, θ ) の等位超曲面は平均曲率一定（漸近的調和）

2. lim

x →θ

exp( − cB( x , θ )) d θ = δ _θ ( θ ⁰ )

⇐⇒

 

 





• lim

x →θ

,θ B( x , θ ) = ∞

⇔ ∂ X ^の任意の 2 ^点は X 上の測地線で結べる（可視公理）

• ^任意の x ∈ X ^{にたいして，}

∫

θ∈∂ exp( − cB( x , θ )) = 1

• § 1) ^{イントロダクション}

• § 2) Poisson ^核と Busemann ^関数

• § 3) φ : (X , g ) → ( P ( M ) , G) ^の調和性

• § 4) Damek-Ricci ^空間

• § 5) ^{熱核の場合}

3.1 φ : (X , g ) → ( P ( M ) , G) ^の調和性

• (X , g ) : Riemann ^多様体

• ( M , d v ^M ) : 向き付けられた多様体と体積要素

• M (X , P ( M)) : = {φ : X → P ( M ) | φ ^∗ G < +∞}

• E : M (X , P ( M)) → R ;

E ( φ ) = 1 2

∫

X

trace _g ( φ ^∗ G) d v _g .

• φ ∈ M (X , P ( M)) ^{が調和写像とは}

コンパクト台を持つ任意の変形 {φ ^s } _−ε< ^s _<ε ( φ ⁰ = φ , φ ^s | ^X _\ ^D = φ ) ^に対し d

ds E ( φ ^s ) _{s = 0} = 0 .

3.1 φ : (X , g ) → ( P ( M ) , G) ^の調和性

定理 2

¶ ³

写像 φ : (X , g ) → ( P ( M) , G); x 7−→ Φ ( x , ξ ) d v ^M ( ξ ) ^{が調和写像であるため}

の必要十分条件は

trace _g φ ^∗ G( x) = 2 ∆ ^X log Φ ( x , ξ ) − | grad _X log Φ ( x , ξ ) | ² . ( ∗ )

µ ´

• ^{上の条件は} ( ∗ ) ^の右辺が ξ ∈ M に依らない関数になることと同値．

• Poisson ^核写像 ϕ ^{に対して，}

(( ∗ ) ^の右辺 ) = | grad _X log P( x , θ ) | ² .

• ^さらに P( x , θ ) = exp ( − cB( x , θ )) ^{と書けるとき，} ϕ : X → P ( ∂ X ) ^は調和

3.3 Poisson 核写像が相似的かつ調和のとき

“ φ ^が調和 ⇐⇒ trace _g φ ^∗ G( x) = 2 ∆ ^X log Φ ( x , ξ ) − | grad _X log Φ ( x , ξ ) | ² ” Poisson ^核写像 ϕ ^が相似的 ( ϕ ^∗ G = c ² / n g ) ^かつ調和

= ⇒ | grad _X log P( x , θ ) | = c

= ⇒ u( x , θ ) = ¹ _c log p( x , θ ) ^とおくと | grad _X u( · , θ ) | = 1

= ⇒ u( · , θ ) ^の勾配流 σ _θ (t) ^{は測地線．} (T. Sakai, Kodai Math. J. 19, 1996)

= ⇒ lim

t →∞ σ _θ (t) = θ ^となり， d (u( · , θ ) − B( · , θ )) = 0 ^． = ⇒ u( x , θ ) = B( x , θ ) ^．

定理 3

¶ ³

X ^上の Poisson ^核写像 ϕ が相似的埋め込みで調和ならば， X ^の Poisson ^核

は Busemann 関数を用いて指数関数表示できる．さらに X ^{は漸近的調和}

3.3 ^{関連する結果}

定理 (J. Heber, Geom. Funct. Anal. 16, 2006)

¶ ³

(X , g ) を非コンパクト，単連結，等質であるとする．このとき，以下の 2

条件は同値 ;

• X ^{は漸近的調和，} Einstein ^多様体．

• X ^{は平坦空間，階数} 1 非コンパクト型対称空間， （対称空間でない）

Damek-Ricci ^{空間のいずれか．}

µ ´

• ¹ ₂ ∆|∇ u | ² = h∇ u , ∇∆ u i − Ric( ∇ u , ∇ u) − | Hess(u) | ²

• ϕ が相似的かつ調和ならば u( x , θ ) = ¹ _c log P( x , θ ) ^{にたいして，}

Ric( ∇ u , ∇ u) = −| Hess(u) | ²

• § 1) ^{イントロダクション}

• § 2) Poisson ^核と Busemann ^関数

• § 3) φ : (X , g ) → ( P ( M) , G) ^の調和性

• § 4) Damek-Ricci ^空間

• § 5) ^{熱核の場合}

4.1 ^一般 Heisenberg ^群

一般 Heisenberg ^代数

• (n , [ ·, · ] _n , h·, ·i ⁿ ) : 2-step ^冪零 Lie ^{環とその内積．}

• n = v ⊕ z ^（ z ^は n ^の中心， v ^は z ^{の直交補空間）．}

• Z ∈ z ^{にたいし，} J _Z : v → v; h J _Z V , V ⁰ i ⁿ = h Z , [V , V ⁰ ] _n i ⁿ .

• ( J _Z ) ² = −| Z | ² id _v ( ∀ Z ∈ z ) ^のとき， n ^を一般 Heisenberg ^{代数とよぶ．}

一般 Heisenberg ^群

• ^一般 Heisenberg ^代数 n ^を Lie ^環とし， h·, ·i ⁿ から定まる左不変計量を備 えた単連結冪零 Lie ^群 N ^．

• N ' v × z と同一視したときの群構造 ; (V , Z ) · (V ⁰ , Z ⁰ ) =

(

V + V ⁰ , Z + Z ⁰ + 1

[V , V ⁰ ] )

.

4.2 Damek-Ricci ^空間

• s = n ⊕ R ( n : ^一般 Heisenberg ^代数 ).

• ^{ブラケット積} [ ·, · ] _s ;

[(V , Z , l) , (V ⁰ , Z ⁰ , l ⁰ )] _s = ( l

2 V ⁰ − l ⁰

2 V , lZ ⁰ − l ⁰ Z + [V , V ⁰ ] _n , 0 )

.

• ^内積 h·, ·i ^s ; h (V , Z , l) , (V ⁰ , Z ⁰ , l ⁰ ) i ^s = h V , V ⁰ i ⁿ + h Z , Z ⁰ i ⁿ + ll ⁰ . Damek-Ricci ^空間

• s ^を Lie ^環とし， h·, ·i ^s から定まる左不変計量を備えた単連結 Lie ^群 S ^．

• S ' v × z × R ₊ と同一視したときの群構造 ;

0 0 0 ( √ _{0 0} √

a _{0 0} )

4.2 Damek-Ricci ^空間 S ^の性質

• Hadamard ^多様体． K _S < 0 ^ならば， S ^は階数 1 ^{非コンパクト型対称空}

間のいずれか

I. Dotti, Proc. Amer. Math. Soc. 125, 1997

．

• C H ^N , H H ^N , O H ^{2 （} dim z = 1 ^{） ．特別な場合として，} R H ^{N （} dim z = 0 ^）．

• γ (0) = (0 _v , 0 _z , 1) ^， γ ⁰ (0) = (U , W , l) ∈ s ^（ | U | ² + | W | ² + l ² = 1 ^{）の測地線は} γ (t) = _χ ¹ (

2r (1 − lr)U + 2r ² J _W U , 2rW , 1 − r ² ) .

ただし， r = tanh (

t 2

) , χ = (1 − lr) ² + | W | ² r ^{2 ．}

(Berndt-Tricerri-Vanhecke, Lecture Notes in Math. 1598, 1995)

• ^{理想境界は} ∂ S ' N ∪ {∞}

• 漸近的調和．また可視公理を満たす．

• ^{体積エントロピー} ρ = ¹ ₂ dim v + dim z ^（ homogeneous dimension ^{） ．}

4.3 Damek-Ricci ^空間 S ^の Busemann ^関数

定理 4

¶ ³

Damek-Ricci ^空間 S ^の Busemann ^{関数および，} ∂ S ' N ^{上の標準体積要}

素は以下で与えられる（ x = (V , Z , a) ∈ S ^）．

B( x , θ ) =  





− log

 

 ^a

( ( ¹ +

|v|

)

+| z |

)

( ^a +

|v− V |

)

+ | ^{z − Z −}

^{[V ,v ]}

|

 

 if θ = ( v, z) ∈ N

− log a if θ = ∞

d θ = c {(

1 + ¹ ₄ |v| ² ) 2

+ | z | ² } _−ρ

d v dz (( v, z) ∈ N )

さらに， ∫

N exp {−ρ B( x , θ ) } d θ = 1 ^{が成り立つ．}

µ ´

4.4 ^注意： Damek-Ricci ^空間 S ^の Poisson ^核

E. Damek (Colloq. Math. 53, 1987)

• P _a (n) = ca ^ρ {( a + ¹ ₄ | V | ² ) 2

+ | Z | ² } _ρ (n = (V , Z) , a > 0)

ただし， c ^は ∫

n ∈ N P _a (n) dn = 1 ^{となる定数．}

• ∆ P = 0.

• lim _{a → 0} f ∗ P _a (n) = f (n) ( f ∈ L ^p (N )) ^．ただし f ∗ P _a (n) =

∫

m ∈ N

P _a (nm ^{− 1} ) f (m) dm .

これは P _a (n) ^が S ^{上の無限遠} Dirichlet 問題の基本解を与えることを意味する

（ ∂ S ' N ^{） ．実際に}

P _a (nm ^{− 1} ) dm = exp ( −ρ B((n , a) , m)) d θ (m) .

• § 1) ^{イントロダクション}

• § 2) Poisson ^核と Busemann ^関数

• § 3) φ : (X , g ) → ( P ( M) , G) ^の調和性

• § 4) Damek-Ricci ^空間

• § 5) ^{熱核の場合}

5.1 ^熱核

(X , g ) ^：完備 Riemann ^多様体

熱方程式 ; ^{与えられた} f ∈ C ^∞ (X) （初期条件）にたいして

( ∂

∂ t + ∆ )

u(t , x) = 0 , u(0 , x) = f ( x) .

熱核 H(t , x , y ) = ^{熱方程式の基本解} ;

熱方程式（初期条件 f ∈ C ^∞ ( X) ^）の解は u(t , x) =

∫

y∈ X

H(t , x , y ) f ( y ) d v ( y )

で与えられる．

5.1 ^熱核写像

熱核写像 ϕ ^t : X 3 x 7−→ H(t , x , y ) d v ( y ) ∈ P ( X)

定理 5

¶ ³

(X , g ) ^：調和的 Hadamard ^多様体

= ⇒ 熱核写像は相似的埋め込み： ϕ ^∗ _t G = C (t) g ^．

µ ´

調和的 ：各点 p ∈ X ^{にたいし，} p 中心とする正規座標系に関する体積密度 関数 ω ^p = √

det( g ^{i j} ) ^{が動径関数} ω ^p ( x) = ω (d( p , x)) ^となる．

強調和的 : ^{熱核が動径的関数} ; H(t , x , y ) = H (t , d( x , y )).

5.3 ^定理 5 ^の証明

• ϕ ^∗ t G( v, v ) =

∫

y∈ X

( v log H(t , x , y ) ) 2

H (t , x , y ) d v ( y ) ( v ∈ T _x X ).

• (X , g ) は単連結，調和的．よって強調和的．

 

 v log H (t , x , y ) = _H(t ¹ _{, r)} ^∂ _∂ ^H _r (t , r ) · ( −hv, u i ) .

d v = Ω (r)dr d µ S

(1) . ^（ Ω ^は x ∈ X ^{の選び方によらない）}

以上のことから

ϕ ^∗ _t G( v, v ) =

∫ _∞

0

1 H (t , r)

( ∂ H

∂ r (t , r ) ) 2

Ω (r ) dr

∫

u ∈ S

(1)

hv, u i ² d µ S

(1)

=

∫ _∞

0

1 H (t , r)

( ∂ H

∂ r (t , r ) ) 2

Ω (r ) dr · Vol(S ^{n − 1} (1))

n .

右辺は v ∈ T _x X ^{に依らないことから，} ϕ ^∗ _t G = C (t) g ^{と書ける． （証明おわり）}

5.3 ^相似定数 C (t)

• n C(t) = trace _g (

ϕ ^∗ _t G )

=

∫

y∈ X

| grad _x log H(t , x , y ) | ² H (t , x , y ) d v ( y ) ^．

• ^{熱方程式より，} | grad _x log H(t , x , y ) | ² = (

∆ ^x + _∂ ^∂ _t )

log H (t , x , y ) ^．

• ^{強調和性より，} | grad _x log H(t , x , y ) | = | grad _y log H(t , x , y ) | ^． trace _g (

ϕ ^∗ _t G )

=

∫

y∈ X

(

∆ _y + ∂

∂ t )

log H(t , x , y ) · H(t , x , y ) d v ( y )

=

∫

y∈ X

∆ _y log H(t , x , y ) · H (t , x , y ) d v ( y ) +

∫

y∈ X

∂

∂ t H(t , x , y ) d v ( y )

=

∫

y∈ X

log H(t , x , y ) · ∆ _y H (t , x , y ) d v ( y ) _← Damek-Ricci

= ∂

∂ t (

−

∫

y∈ X

log H(t , x , y ) · H(t , x , y ) d v ( y ) )

= ∂

∂ t Ent _{(X ,g )} (t , x)

5.4 ^例） n ^次元 Euclid ^{空間の場合}

• ^熱核 : H(t , x , y ) = (4 π t) ^{− n / 2} exp (

− | x − y| ² 4t

)

• ^相似定数 C(t) = 1

2t ^{，エントロピーは} n 2

( log(4 π t) + 1 ) _．

• ϕ ^t : ( R ⁿ , g ⁰ ) → ( P ( R ⁿ ) , G) ^{は調和写像ではない．}

• (X , g ) ^：完備， Ricci ^曲率非負 = ⇒ trace _g ( ϕ ^∗ t G) ≤ n

2t = trace _{( R}

_,g

₎ ( ϕ ^∗ t G) – Li-Yau’s gradient estimate ^{： |∇} _u ^u

^|

+ ¹ _u ^∂ _∂ ^u _t ≤ _2t ^{n （} u ^{は熱方程式の解）}

– X ^が R ^{n に等長的でなければ，} trace _g ( ϕ ^∗ t G) < n

2t ^． (L. Ni, 2004)

• (X , g ) ^{：コンパクト，} Ricci ^曲率非負

= ⇒ trace _g ( ϕ ^∗ _t G) + 1

t Ent _{(X ,g )} ≤ trace _{( R}

_,g

₎ ( ϕ ^∗ _t G) + 1

t Ent _{( R}

_,g

₎ – ^熱核 H = (4 π t) ^{− n / 2} exp( − f ) ^のとき， t (

2 ∆ f − |∇ f | ² )

+ f − n ≤ 0 ^．

(L. Ni, J. Geom. Anal. 14 (2004), 87–100)