Shannon のエントロピー 熱核の情報幾何学と

熱核の情報幾何学と

Shannon ^{のエントロピー}

伊藤 光弘（筑波大学大学院数理物質科学研究科）

佐藤 弘康（筑波大学大学院数理物質科学研究科）

日本数学会 2008 ^{年度秋季総合分科会} 平成 20 ^年 9 ^月 25 ^日

東京工業大学

はじめに

熱核写像

(X , g ) _{−−−−−−−→}

( P (X ) , G)

完備 Riemann ^多様体 X 上の正値確率測度の全体，

Fisher ^情報計量 G

¶ 主定理 ³

(X

, g ) ^：調和的 Hadamard ^多様体

= ⇒ ^{熱核写像は 相似的} ; ϕ

G = C (t) g ^．

さらに， (X , g ) ^が Damek-Ricci ^{空間ならば} C (t) = 1

n

∂

∂ t

{ ϕ

( x) ^の Shannon ^{のエントロピー} } .

µ ´

熱核

熱核 H(t , x , y ) : ^{熱方程式の基本解} ; ^{与えられた} f ∈ C

(X ) ^{（初期条件）に}

たいして (

∂t

+ ∆ )

u(t , x) = 0 , u(0 , x) = f ( x) ^の解は u(t , x) =

∫

y∈X

H(t , x , y ) f ( y ) d v ( y )

で与えられる．

熱核写像 ϕ

: X 3 x 7−→ H(t , x , y ) d v ( y ) ∈ P ( X)

• H(t , x , y ) ∈ C

( R

× X × X) ^， H(t , x , y ) = H (t , y, x) > 0

• (

∂t

+ ∆

) H (t , x , y ) = 0

• lim

H (t , x , y ) d v ( y ) = δ

( y ) ^： Dirac ^測度

∫

調和性と強調和性

調和的 ：次のいずれかの条件を満たす ;

1. ^各点 p ∈ X ^{にたいし，} p ^{の正規座標近傍} U ^と U \{ p } ^{上の動径的調和関}

数 f ( x) = φ (d( p , x)) ^{が存在する．}

2. ^各点 p ∈ X の近傍で定義された任意の調和関数 f ^{にたいし，平均値の}

定理が成立する ; f ( p) =

∫

S(p;r)

f d µ

.

3. ^各点 p ∈ X ^{にたいし，} p を中心とする正規座標系に関する体積密度関数

ω

= √

det( g

) ^{が動径関数} ω

( x) = ω (d( p , x)) ^となる．

強調和的 : ^{熱核が動径的関数} ; H(t , x , y ) = H (t , d( x , y )).

• ^強調和的 = ⇒ 調和的．多様体が単連結ならば，強調和的 ⇐⇒ ^調和的．

定理の証明

• ϕ

G( v, v ) =

∫

y∈X

( v log H(t , x , y ) )

H (t , x , y ) d v ( y ) ( v ∈ T

X ).

• (X , g ) は単連結，調和的．よって強調和的．

 

 v log H (t , x , y ) =

(t , r) · ( −hv, u i ) .

d v = Ω (r)dr d µ

. ^（ Ω ^は x ∈ X ^{の選び方によらない）}

以上のことから

ϕ

G( v, v ) =

∫

0

( ∂ H

∂ r (t , r ) )

Ω (r ) dr

∫

u∈Sⁿ⁻¹(1)

hv, u i

d µ

.

右辺は v ∈ T

X ^{に依らないことから，} ϕ

G = C (t) g ^{と書ける．}

相似定数 C (t)

• n C(t) = trace

(

ϕ

G )

=

∫

y∈X

| grad

log H(t , x , y ) |

H (t , x , y ) d v ( y ) ^．

• ^{強調和性より，} | grad

log H(t , x , y ) | = | grad

log H(t , x , y ) | ^．

• ^{熱方程式より，} | grad

log H (t , x , y ) |

= (

∆

+

)

log H (t , x , y ) ^． trace

(

ϕ

G )

=

∫

y∈X

(

∆

+ ∂

∂ t )

log H(t , x , y ) · H (t , x , y ) d v ( y )

=

∫

y∈X

∆

log H (t , x , y ) · H(t , x , y ) d v ( y ) +

∫

y∈X

∂

∂ t H (t , x , y ) d v ( y )

=

∫

y∈X

log H(t , x , y ) · ∆

H (t , x , y ) d v ( y )

^のとき

= ∂

∂ t (

−

∫

y∈X

log H( x , t , y ) · H (t , x , y ) d v ( y )

)

Shannon ^{のエントロピー} ; − ∫

X p( x) log p( x) dx

• コイン投げの例；表が出る確率が p ^のとき

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

• Poisson ^核写像と Shannon ^{のエントロピー}

n trace ( ϕ

G) = ∆ (

−

∫

P( x , θ ) log P( x , θ ) d θ )

.

さいごに

• ^相似定数 C(t) ^の挙動（ t に関して単調非増加？）

• n ^次元 Euclid ^{空間の熱核} : H (t , x , y ) = (4 π t)

exp (

− | x − y|

4t

)

– ^相似定数 : C (t) = 1 2t

– Shannon ^{のエントロピー} : H ( ϕ

( x)) = n 2

( log(4 π t) + 1 )

• Li-Yau’s gradient estimate; (X , g ) ^を Ricci ^{曲率が非負の完備} Riemann ^多

様体とする．このとき，熱方程式の解 u(t , x) ^は

|∇ u |

u

+ 1 u

∂ u

∂ t ≤ n 2t

(

= ⇒ 1

n trace

( ϕ

G) ≤ 1 2t

)

.