熱核の情報幾何学と
Shannon
のエントロピー伊藤 光弘*1 (筑波大学大学院数理物質科学研究科) 佐藤 弘康*2 (筑波大学大学院数理物質科学研究科)
(X, g)を完備Riemann多様体とする．Poisson核の場合（[5]を参照）と同様にして熱 核を用いることにより，X 上の正値確率測度全体のなす空間への写像ϕt :X → P(X)を 定義することができる．熱核とは次の条件を満たす関数H(t, x, y)∈ C∞(R+×X ×X) である;
i) H(t, x, y) =H(t, y, x)>0, ii)
(∂
∂t + ∆x
)
H(t, x, y) = 0（∆はXのLaplace作用素）,
iii) H(t, x, y)dv(y)はt→+0のとき，Dirac測度δx(y)に収束する, iv) H(t+s, x, y) =
∫
z∈X
H(t, x, z)H(s, z, y)dv(z).
熱核写像ϕt についてもPoisson核の場合と同様の結果が成り立つ．
定理 1. (X, g)を調和的Hadamard多様体とする．このとき，熱核写像ϕt :X → P(X) は相似的埋め込みである．つまり，ϕ∗tG=C(t)gを満たす正値関数C(t)が存在する．
任意のp∈Xに対し，pのまわりの正規座標系に関する体積密度関数ωp :=√
|det(gij)| が動径関数ωp(q) =ω(d(p, q))となるとき，(X, g)は調和的という．また，Xの熱核が動 径関数H(t, x, y) =H(t, d(x, y))となるとき，(X, g)は強調和的という．一般に，強調和 的ならば調和的である．単連結な多様体については調和的であることと強調和的であるこ とは同値である[4]．
定理 1の証明は，動径関数を用いて定義されるL2-関数空間への写像について論じた Szab´o[4]の方法の類似である（[3]を参照のこと）．
熱核写像の場合，相似定数C(t)がどのような関数になるのか，一般にはわかっていな い．(X, g)がDamek-Ricci空間（[2]を参照）とよばれる調和的Hadamard多様体のと
き，C(t)はShannonのエントロピーとよばれる情報量（ある事象に対してそれがどれほ
ど起こりにくいかを表すひとつの尺度）と関係があることがわかった．
2008年度日本数学会秋季総合分科会(2008年9月24日〜27日, 東京工業大学)講演予稿．
*1E-mail : [email protected]
*2E-mail : [email protected]
定理 2. (X, g)がDamek-Ricci空間のとき，相似的埋め込み写像ϕtの相似定数C(t)は Shannonのエントロピーの時間微分の n1 倍に等しい;
C(t) = 1 n
∂
∂tH(H(t, x, y)dv(y)) = 1 n
∂
∂t (
−
∫
X
logH·H dv )
.
例 3. n次元Euclid空間の熱核は以下の式で与えられる; H(t, x, y) = (4πt)−n/2 exp
(
−|x−y|2 4t
) .
そして，相似定数はC(t) = 2t1，Shannonのエントロピーは n2 (log(4πt) + 1)である．
定理 2の証明の概略を述べる．ϕ∗tGのgに関するとレースを計算すると，強調和性，
熱核の性質 ii) ，Greenの公式より n C(t) =
∫
y∈X
|gradxlogH|2H dv
=
∫
y
logH ·∆yH dv+ lim
ρ→∞
∫
∂B(x;ρ)
∂H
∂r (logH−1)ι(∂
∂r
)dv (1)
を得る．X がDamek-Ricci空間のとき，熱核H および|gradxH|の評価式[1]を用いる ことにより，(1)式右辺の第2項は消えることがわかる．また，第1項はShannonのエ ントロピーの時間微分に等しい．
参考文献
[1] J.-P. Anker, E. Damek and C. Yacoub, Spherical analysis on harmonic AN groups, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 23 (1996), 643-679.
[2] J. Berndt, F. Tricerri and L. Vanhecke, Generalized Heisenberg groups and Damek-Ricci harmonic spaces, Lecture Notes in Math. 1598, Springer-Verlag, Berlin, 1995.
[3] M. Itoh and H. Satoh, Fisher information geometry of Poisson kernels and heat kernels on Riemannian manifolds, to appear in Proc. 12th Int. Workshop on Differential Geom.
[4] Z. I. Szab´o, The Lichnerowicz conjecture on harmonic manifolds, J. Differential Geom. 31 (1990), 1-28.
[5] 伊藤 光弘, 佐藤 弘康, Damek-Ricci空間のPoisson核とFisher情報計量, 2008年度 日本数学会秋季総合分科会 幾何学分科会講演アブストラクト, 2008.
