熱核， Poisson 核の情報幾何学と Damek-Ricci 空間

(1)

熱核，

Poisson

^{核の情報幾何学と}

Damek-Ricci

^空間

^∗

佐藤弘康^†

(

筑波大学大学院数理物質科学研究科準研究員

)

1

^はじめに

X

を向きづけられた可微分多様体とする．

X

上の正値確率測度全体のなす空間

P(X)

^上には

Fisher

^{情報計量とよばれる}

Riemann

^計量

G

が定義できる．これは統計モデルにおける

Fisher

^情

報行列の自然な拡張である．

Itoh-Shishido[9]

^は

Hadamard

^多様体

(X, g)

^の

Poisson

^{核を用いて，写像}

ϕ : X → P (∂X )

^を定義し（

∂X

^は

X

の理想境界とよばれる多様体），

X

^が階数

1

非コンパクト型対称空間のとき，

ϕ

が相似的埋め込みになることを示した（さらに極小的である）．その後の研究で，階数

1

^非コンパクト型対称空間を含む，より広いクラスの空間についても同様のことが成り立つことがわかった．

定理

1.1. n

^次元

Damek-Ricci

^空間

(X, g)

^において

Poisson

^核写像

ϕ

は相似的埋め込みである．

つまり，

Fisher

^情報計量

G

^の

ϕ

^{による引き戻しは}

ϕ

^∗

G =

^ρ_n²

g

^{を満たす．ただし，}

ρ

^は

(X, g)

^の体積エントロピー

ρ(x) = lim

r→∞

1 r log vol(B(x; r))

である．ここで，

B(x; r)

^は

x

^{を中心とする半径}

r

^{の測地球．}

ρ(x)

^は

X

^{上の関数であるが，}

X

^の等質性からこの場合は定数である．

この結果の本質は，階数

1

非コンパクト型対称空間のときと同様，

Damek-Ricci

^空間の

Poisson

核が

Busemann

関数を用いて記述できることである．証明は第

4

^{節で述べる．}

また，

X

の熱核を用いることにより．時間

t > 0

で径数付けられた写像

ϕ

t

: X → P (X)

を定義することができ，

Poisson

核の場合と同様の結果が成り立つ．

定理

1.2. (X, g)

^を調和的

Hadamard

多様体とする．このとき，熱核写像

ϕ

t

: X → P (X)

^は相似的埋め込みである．つまり，

ϕ

^∗_t

G = C(t) g

^{を満たす正値関数}

C(t)

^{が存在する．}

熱核写像の場合，相似定数

C(t)

がどのような関数になるのか，一般にはわかっていない（

Euclid

第55回幾何学シンポジウム(2008年8月22日〜25日,弘前大学)講演予稿．

∗本講演は伊藤光弘氏(筑波大学)との共同研究に基づく．

†E-mail : [email protected]

(2)

空間の場合については例

3.1

^{で述べる）}^．

(X, g)

^が

Damek-Ricci

^{空間の場合，}

C(t)

^は

Shannon

^のエントロピーとよばれる情報量と関係があることがわかった．

定理

1.3. (X, g)

^が

Damek-Ricci

空間のとき，相似的埋め込み写像

ϕ

tの相似定数

C(t)

^は

C(t) = 1

n

∂

∂t H (ϕ

t

(x))

を満たす．ただし，

H (ϕ

t

(x))

^{は正値確率測度}

ϕ

t

(x)

^の

Shannon

のエントロピーである．

定理

1.2

の証明は，動径関数を用いて定義される

L

²

-

関数空間への写像について論じた

Szab´ o[12]

の方法の類似である．定理

1.2

^{および定理}

1.3

^{の証明は第}

3

^{節で述べる．}

2

^準備

2.1 Fisher

情報計量と

Shannon

のエントロピー

(X, g)

^{を向きづけられた}

n

^次元完備

Riemann

^{多様体とし，}

dv

^を

Riemann

^{体積要素とする．}

X

上の正値確率測度の集合を

P (X)

^と書く

;

P (X) = {

µ = p(x) dv(x) ¯¯

¯¯ p ∈ L

²_k

(X, dv), p > 0,

∫

X

µ = 1 }

.

ここで，

L

²_k

(X, dv)

^は

k

^{階以下の導関数が}

L

²可積分な関数全体のなす空間で，

k ≥ n/2

^とする．

これは

P (X)

の位相を考慮する際に必要な条件である（詳細は

[11]

を参照）．これにより，

P (M )

を無限次元多様体とみることができ，その接空間

T

µ

P (X)

^は

{

τ = q(x) dv(x) ¯¯

¯¯ q ∈ L

²_k

(X, dv),

∫

X

τ = 0 }

と同一視できる．

定義

2.1. T

µ

P (X)

^上の内積

G

µを

G

µ

(τ

1

, τ

2

) = E

µ

[ dτ

1

dµ dτ

2

dµ ]

=

∫

X

dτ

1

dµ dτ

2

dµ µ (2.1)

で定義する．ただし，

µ = p dv

^，

τ

i

= q

i

dv

^のとき，

dτ

i

/dµ = q

i

/p (i = 1, 2)

^．

G = { G

µ

| µ ∈ P (X) }

^を

P (X)

^上の

Fisher

^{情報計量とよぶ．}

注意

2.2. X

^{がコンパクトのとき，}

G

µ

(τ

1

, τ

2

)

^{は常に有界であり，}

G

^{は定義可能である．}

X

^が非コンパクトの場合は

G

を形式的に定義することにする．

定理

2.3 (Friedrich[6]). ( P (X), G)

^{は以下の性質を満たす}

;

(1) G

の断面曲率は一定で，その値は

1/4

^．

(3)

(2)

^{向きを保つ微分同相群}

Diﬀ

+

(X)

^は

( P (X), G)

に等長的に作用する．また，

X

^{がコンパク} トのとき，この作用は推移的である．

(3) (P (X), G)

は測地的に完備でない．

次に

Shannon

のエントロピーを定義する．これは，ある事象に対してそれがどれほど起こりに

くいかを表す尺度のひとつである．

定義

2.4. X

^{上の正値確率測度}

µ = p dv

^{にたいして}

H (µ) = E

µ

[ − log p] = −

∫

X

p log p dv (2.2)

を

µ

^の

dv

^に関する

Shannon

のエントロピーとよぶ．

2.2

^熱核

(X, g)

^を完備

Riemann

^多様体，

∆

^を

X

^上の

Laplace

作用素とする．このとき，偏微分方程式

∂u

∂t + ∆u = 0 (u ∈ C

^∞

( R

+

× X)) (2.3)

を熱方程式という．

定義

2.5.

^{次の条件を満たす関数}

H(t, x, y) ∈ C

^∞

(R

+

× X × X)

^を

(X, g)

^{の熱核とよぶ}

; i) H(t, x, y) = H(t, y, x) > 0,

ii) ( ∂

∂t + ∆

x

)

H(t, x, y) = 0,

iii) H(t, x, y) dv(y)

^は

t → +0

^のとき，

Dirac

^測度

δ

x

(y)

^{に収束する}

, iv) H(t + s, x, y) =

∫

z∈X

H(t, x, z) H(s, z, y) dv(z).

初期条件

u(0, x) = f (x) ∈ C

^∞

(X)

^{を伴う熱方程式}

(2.3)

^の解は

u(t, x) =

∫

y∈X

H(t, x, y) f (y) dv(y)

で与えられる．初期条件が恒等的に

1

に等しい関数のとき，熱方程式の解もまた恒等的に

1

^に等しい関数となる．つまり，任意の

x ∈ X

^に対し

∫

y∈X

H(t, x, y) dv(y) = 1

が成り立つ．

定義

2.6.

^写像

ϕ

t

: X 3 x 7→ H(t, x, y) dv(y) ∈ P (X)

^を

X

^{上の熱核写像とよぶ．}

(4)

2.3 Poisson

^核

(X

ⁿ

, g)

^を

n

^次元

Hadamard

多様体（つまり完備，単連結，非正曲率）とする．

X

^{上の単位速}

度半開測地線の全体に次の同値関係

∼

^{を定義する}

;

γ

1

∼ γ

2（漸近同値）

⇐⇒ d(γ

1

(t), γ

2

(t))

^が

t

^{に関して上に有界．}

この同値関係

∼

^{で類別した商空間を}

X

^{の理想境界とよび，}

∂X

^{と書く．基点}

x

0

∈ X

^{をひとつ固} 定することにより，

∂X

^は半径

1

^の球面

S

ⁿ⁻¹

(1) ⊂ T

x0

X

^{と同一視できる．}

古典的

Dirichlet

問題の類推として，無限遠

Dirichlet

問題が考えられる．つまり，境界条件

f ∈ C

⁰

(∂X)

^{にたいして}

∆u = 0, u |

∂X

= f (2.4)

を満たす関数

u ∈ C

^∞

(X) ∩ C

⁰

(X ∪ ∂X)

^{を求める問題である．}

(X, g)

^が負曲率

Hadamard

多様体のとき，境界条件にたいして，

(2.4)

の解は一意的に定まるこ

とが知られている

[10]

^．

定理

2.7 (Andersen, Sullivan). (X, g)

^{を断面曲率が}

− b

²

≤ K

X

≤ − a

²

< 0

^を満たす

Hadamard

多様体とする．このとき，

x

0

∈ X

に対して，次を満たす関数

P (x, θ)

が一意的に定まる

;

i) θ ∈ ∂X

^{にたいし，}

P ( · , θ) ∈ C

⁰

(X ∪ ∂X \{ θ } ), ii) P ( · , θ)

^は

X

^{上の正値調和関数}

,

iii) P (x

0

, θ) = 1, iv) lim

x→θ⁰

P (x, θ) =

{ ∞ (θ

⁰

= θ), 0 (θ

⁰

6 = θ).

さらに，境界条件

f ∈ C

⁰

(∂X)

^{にたいして}

(2.4)

の解は次の積分表示により一意的に与えられる

; u(x) =

∫

θ∈∂X

P (x, θ) ψ(θ) dθ. (2.5)

ただし，

dθ

^は同一視

∂X ' S

ⁿ⁻¹

(1) ⊂ T

x0

X

^の下，

S

ⁿ⁻¹

(1)

の標準的な単位体積要素である．

定義

2.8.

^定理

2.7

^の条件

i)

^〜

iv)

^及び

(2.5)

^{式を満たす関数}

P (x, θ)

^を

x

0

∈ X

^{で正規化された}

Poisson

^{核とよぶ．}

∂X

^{上恒等的に}

1

に等しい関数を境界条件とする

(2.4)

^{の解は，明らかに}

X ∪ ∂X

^{上恒等的に}

1

に等しい関数である．つまり，任意の

x ∈ X

^に対し

∫

∂X

P(x, θ) dθ = 1

が成り立つ．

定義

2.9. ϕ : X 3 x 7→ P(x, θ) dθ ∈ P (∂X )

^を

Poisson

^{核写像をよぶ．}

(5)

2.4 Busemann

^関数

定義

2.10. (X, g)

^を

Hadamard

^{多様体とする．}

x

0

∈ X

^{を基点とする}

X

^上の

Busemann

^関数

B(x, θ)

^を

B(x, θ) = lim

t→∞

(d(x, γ

θ

(t) − t)) (2.6)

で定義する．ただし，

γ

θ は

[γ

θ

] = θ ∈ ∂X

^を満たす

x

0を始点とする単位速度半開測地線である．

b

t

(x, θ) = d(x, γ

θ

(t)) − t

^{とおく（つまり，}

lim

t→∞

b

t

(x, θ) = B(x, θ)

^となる）^{．距離関数の変分} 公式

[13,

^系

2.3, p.119]

^より，

v ∈ T

x

X

^に対し

vb

t

(x, θ) = −h v, γ

_x,γ⁰ _θ_(t)

(0) i (2.7)

となる．ただし，

γ

x,γθ(t)

(s)

^は

x

^{を始点とし，}

γ

θ

(t)

を通る単位速度半開測地線である．

(2.7)

^の右辺は

t → ∞

^のとき，

x

に関して局所一様収束する（詳細は

[13, p.301]

を参照のこと）．したがって，

x

^{に関する微分と}

t

に関する極限操作は交換可能であり，次の補題が成り立つ．

補題

2.11. grad

_x

B(x, θ) = − γ

_x,θ⁰

(0). (2.8)

ただし，

γ

x,θ

(t)

^は

x

^を始点し

[γ

x,θ

] = θ

となる単位速度半開測地線である．特に，

|grad

x

B(x, θ)| = 1

^{が成り立つ．}

(X, g)

^{の向きを保つ等長変換}

ψ

^{にたいして，}

ψ(θ) = [ψ ◦ γ ]

と定義すると，これは代表元

γ

^のとり方に依らず定まる．つまり，等長変換群

Isom

+

(X, g)

^は

∂X

に作用する．この作用に関して，

Busemann

関数は次の変換公式を満たす．

補題

2.12. ψ ∈ Isom

+

(X, g)

にたいし，次が成り立つ

;

B(ψ(x), θ) = B (x, ψ

⁻¹

(θ)) + B(ψ(x

0

), θ). (2.9)

2.5

調和多様体

定義

2.13. (X, g)

を完備

Riemann

多様体とする．任意の

p ∈ X

に対し，

p

のまわりの正規座標系に関する体積密度関数

ω

p

:= √

|det(g

ij

)|

^{が動径関数}

ω

p

(q) = ω(d(p, q))

^{となるとき，}

(X, g)

^は調和的という．また，

X

^{の熱核が動径関数}

H(t, x, y) = H(t, d(x, y))

^{となるとき，}

(X, g)

^は強調和的という．

注意

2.14.

一般に，強調和的ならば調和的である．単連結な多様体については調和的であること

と強調和的であることは同値である

[12, Theorem 1.1]

．

(6)

2.6 Damek-Ricci

^空間

Damek-Ricci

^{空間とは一般}

Heisenberg

^{群とよばれる冪零}

Lie

^群を

1

^{次元拡張した可解}

Lie

^群に

左不変

Riemann

計量を備えたものであり，調和的

Hadamard

^{多様体である（詳細は}

[2]

^を参照）^．

(n, [ · , · ]

n

)

^を

2

^{ステップ冪零}

Lie

^環，

h· , ·i

nを

n

^{の内積とする．}

z

^を

n

の中心とし，その直交補空間を

v

^と書く．

Z ∈ z

^{に対し，線形写像}

J

Z

: v → v

^を

h J

Z

X, Y i

n

= h Z, [X, Y ]

n

i

n

(X, Y ∈ v)

で定義する．

定義

2.15.

^任意の

Z ∈ z

^に対し，

(J

Z

)

²

= −| Z |

²

id

vが成り立つとき，

n

^を一般

Heisenberg

^代数とよぶ．一般

Heisenberg

^代数を

Lie

^環とし，

h· , ·i

n から定まる左不変計量をもつ単連結

Lie

^群

N

^を一般

Heisenberg

^{群とよぶ．}

一般

Heisenberg

^群

N

^{は単連結冪零}

Lie

群である．したがって，

exp

_n

: n → N

^{は微分同相であ} る．

N ' v × z

^{と同一視するとき，}

N

^{の群構造は}

(X, Z ) · (X

⁰

, Z

⁰

) = (

X + X

⁰

, Z + Z

⁰

+ 1

2 [X, X

⁰

]

n

)

(X, X

⁰

∈ v, Z, Z

⁰

∈ z)

で与えられる．

一般

Heisenberg

^代数

n

^{に対し，ベクトル空間}

s := n ⊕ R

^に括弧積

[ · , · ]

sと内積

h· , ·i

s を次式で定義する

;

[(X, Z, l), (X

⁰

, Z

⁰

, l

⁰

)]

s

= ( l

2 X

⁰

− l

⁰

2 X, lZ

⁰

− l

⁰

Z + [X, X

⁰

]

n

, 0 )

, h (X, Z, l), (X

⁰

, Z

⁰

, l

⁰

) i

s

= h X, X

⁰

i

n

+ h Z, Z

⁰

i

n

+ ll

⁰

.

Lie

^環

s

^{の導来イデアル}

[s, s]

sは

n

^{に等しい．}

n

^{は冪零であるので，}

s

^は可解

Lie

^{環である．}

定義

2.16.

^一般

Heisenberg

^代数

n

に対し，上で定義される

(s, [ · , · ]

s

)

^を

Lie

^{環とし，内積}

h· , ·i

s

から定まる左不変計量

g

Sをもつ可解

Lie

^群

S

^を

Damek-Ricci

^{空間とよぶ．}

指数写像

exp

_s

= exp

_n

× exp

^により

S ' v × z × R

+と同一視すると，

S

^{の群構造は}

(X, Z, a) · (X

⁰

, Z

⁰

, a

⁰

) =

( X + √

aX

⁰

, Z + aZ

⁰

+

√ a

2 [X, X

⁰

]

n

, aa

⁰

)

.

で与えられる．

定理

2.17. Damek-Ricci

^空間

(S, g

S

)

^は調和的

Hadamard

多様体である．また，その理想境界

∂S

^は

N

^{と同一視できる．}

注意

2.18.

^負曲率の

Damek-Ricci

^{空間は階数}

1

非コンパクト型対称空間

C H

^N

, H H

^N

, O H

²^のいずれかである

[5]

^（

R H

^N も特別な場合として含む）．

(7)

3

調和多様体の熱核と情報幾何

この節では定理

1.2

^と定理

1.3

の証明について述べる（

[7]

^{も参照のこと）．}

(X, g)

^を

n

^{次元調和的}

Hadamard

^{多様体とする．}

Fisher

^情報計量

G

^の

ϕ

tによる引き戻しは次式で与えられる

;

ϕ

^∗_t

G(v, v) =

∫

y∈X

(v log H(t, x, y))

²

H(t, x, y) dv(y) (v ∈ T

x

X).

X

は強調和的であるので，距離関数の変分公式より

v log H(t, x, y) = ∂H

∂r (t, r) · ( −h v, u i )

となる．ただし，

r = d(x, y)

^，

u ∈ T

x

X

^は

x

^{を始点とし}

y

を通る半開測地線の初期ベクトルである

( | u | = 1)

^．

x

を中心とする測地座標系をとると，

dv = Ω(r)dr dv

Sⁿ⁻¹(1)と書くことができ，調和多様体の性質から

Ω(r)

^は中心

x

の選び方に依らない．したがって，

ϕ

^∗_t

G(v, v) =

∫

_∞

0

( ∂H

∂r (t, r) )

2

Ω(r) dr

∫

u∈Sⁿ⁻¹(1)

h v, u i

²

dv

Sⁿ⁻¹(1)

となる．右辺は

v ∈ T

x

X

^{に依らないことから，}

ϕ

^∗_t

G = C(t) g

となることがわかる（定理

1.2

^）．

次に

ϕ

^∗_t

G

^の

g

に関するトレースをとる

; (n C (t) = ) trace

g

(ϕ

^∗_t

G) =

∫

y∈X

| grad

_x

log H(t, x, y) |

²

H(t, x, y) dv(y). (3.1)

強調和的という性質から

|grad

x

log H(t, x, y)| = |grad

y

log H(t, x, y)|

となることがわかる．また，熱核の性質（定義

2.5 ii

^）から，

log H(t, x, y)

^は

|grad

y

log H(t, x, y)|

²

= (

∆

y

+ ∂

∂t )

log H(t, x, y) (3.2)

を満たす．

(3.2)

^を

(3.1)

^{に代入すると}

trace

g

(ϕ

^∗_t

G) =

∫

y∈X

(

∆

y

log H · H + ∂H

∂t )

dv(y) =

∫

y

∆

y

log H · H dv

さらに，

Green

^{の公式を適用すると}

=

∫

y

log H · ∆

y

H dv + lim

ρ→∞

∫

∂B(x;ρ)

∂H

∂r (log H − 1) ι (

_∂

∂r

) dv (3.3)

を得る．熱核の性質から

H(t, r)

^は

r

に関してある種の急減少性を満たすと考えられる．よって，

(3.3)

^式の第

2

項が消えることが予想される．実際に

X

^が

Damek-Ricci

^{空間のときは熱核}

H

^の

評価式

[1, (5.9) Theorem]

^および

| grad

_x

H |

^の評価式

[1, (5.49) Corollary]

^{を用いることにより}

(3.3)

^式の第

2

項は消えることがわかる．したがって，

n C (t) =

∫

y∈X

log H · ∆

y

H dv(y) = −

∫

y

log H ∂H

∂t dv = ∂

∂t (

−

∫

y

log H · H dv

)

(8)

を得る（定理

1.3

^）．

例

3.1. n

^次元

Euclid

^{空間の熱核は}

H(t, x, y) = (4πt)

⁻^n/2

exp (

− | x − y |

²

4t

)

で与えられ，相似定数は

C(t) =

_2t¹ である．また，

Shannon

のエントロピーは

H (ϕ

t

(x)) = n

2 (log(4πt) + 1)

となる．

4 Damek-Ricci

空間の

Poisson

核

定理

1.1

が成り立つための本質的要因は

Damek-Ricci

^空間の

Poisson

^核が

Busemann

^関数を用いて

P (x, θ) = exp ( − c B(x, θ)) (c ∈ R , c > 0) (4.1)

と書けることである．まず，

(4.1)

式からどのようなことが言えるか述べた後，

Damek-Ricci

^空間の

Poisson

^{核について述べる．}

以下では，

(X, g)

^を

Hadamard

^{多様体とし，}

P (x, θ), B(x, θ)

^{をそれぞれ}

x

0

∈ X

^{を基点とする}

Poisson

^核，

Busemann

^{関数とする．}

Isom

+

(X, g)

^が

X

^{の理想境界}

∂X

に作用することを

2.4

節の終わりで述べた．また，

Isom

+

(X, g)

^{は引き戻しとして}

P (∂X)

にも作用する．この作用に関して次の変換公式が成り

立つ．

補題

4.1. Poisson

^核が

(4.1)

式で与えられるならば，

ψ ∈ Isom

+

(X, g)

^{にたいして}

Poisson

^核および定理

2.7

^で述べた

∂X

^{上の単位体積要素}

dθ

^{は次を満たす}

;

P (ψ(x), θ) = P (x, ψ

⁻¹

(θ)) P (ψ(x

0

), θ), (4.2) (ψ

⁻¹

)

^∗

dθ = P (ψ(x

0

), θ) dθ. (4.3)

証明

. (4.2)

^は補題

2.12

^{から明らかである．}

ψ ∈ Isom

+

(X, g)

^{にたいして，}

f, f ◦ ψ ∈ C

⁰

(∂X)

を境界条件とする無限遠

Dirichlet

^問題の解

u, v

^{はそれぞれ}

u(x) =

∫

θ∈∂X

P (x, θ) f (θ) dθ, (4.4)

v(x) =

∫

θ∈∂X

P (x, θ) f (ψ(θ)) dθ (4.5)

(9)

で与えられる．また，初期条件の定め方より

v = u ◦ ψ

^{である．つまり，}

(4.2)

^より

v(x) =

∫

θ∈∂X

P(ψ(x), θ) f(θ) dθ

=

∫

θ∈∂X

P(x, ψ

⁻¹

(θ)) P (ψ(x

0

), θ) f (θ) dθ. (4.6)

ここで

(4.5)

^を

θ

1

= ψ(θ)

^{と変数変換し，}

θ

1を改めて

θ

^と書くと

v(x) =

∫

θ∈∂X

P(x, ψ

⁻¹

(θ)) f (θ) ( ψ

⁻¹

)

_∗

dθ (4.7)

を得る．

(4.6)

^と

(4.7)

^{を比較することにより}

(4.3)

^を得る． ^{（証明終わり）}

定理

4.2. (X, g)

^を等質

Hadamard

^{多様体とし，その}

Poisson

^核は

(4.1)

^{で与えられると仮定す} る．このとき，

Poisson

^核写像

ϕ : X → P (∂X )

は相似的埋め込みとなり，

ϕ

^∗

G = c

²

n g

を満たす．

証明

.

^補題

4.1

^{から，等長変換と}

Poisson

核写像は次の意味で可換であることがわかる

;

(ψ

⁻¹

)

^∗

◦ ϕ = ϕ ◦ ψ (ψ ∈ Isom

+

(X, g)). (4.8)

また，

Isom

+

(X, g)

^は

( P (∂X), G)

に等長的に作用する（定理

2.3

^）ので，

X

^{が等質であるという} 仮定から基点

x

0でのみ考えればよい．補題

2.11

^{より，任意の}

v ∈ T

x0

X ( |v| = 1 )

^{にたいして}

ϕ

^∗

G(v, v) =

∫

∂X

(v log P ( · , θ))

²

P (x

0

, θ) dθ

=c

²

∫

∂X

(vB( · , θ))

²

dθ

=c

²

∫

u∈Sⁿ⁻¹(1)

h v, u i

²

dθ

= c

²

n

(4.9)

となる．（証明終わり）

最後に，

Damek-Ricci

^空間

(S, g

S

)

^の

Poisson

核について結果だけを簡単に述べる．

Cygan[3]

は

S

^上の

Poisson

^核が

P

a

(n) = ca

^Q

{( a +

¹₄

| x |

²

)

2

+ | z |

²

}

Q

(a > 0, n = (x, z) ∈ v × z)

と書けることを主張した．ただし

c

^は

∫

n∈N

P

a

(n) dn = 1

を満たす定数である．また，

Q =

dimv

2

+ dim z

^{．さらに，}

Damek[4]

^{はこの関数}

P

^が

∆P = 0, (4.10)

a

lim

→0

f ∗ P

a

(n) = f (n) (f ∈ L

^p

(N )) (4.11)

(10)

を満たすことを示した．ただし，

f ∗ P

a

(n) = ∫

m∈N

P

a

(nm

⁻¹

) f(m) dm

^{．つまり，}

(4.10), (4.11)

は

P

^が

S

^{上の無限遠}

Dirichlet

問題の基本解となることを意味する．

S

^{上の測地線の表現公式}

[2, p.93, Theorem 1]

^{および距離関数の公式}

[2, p.108, Proposition 1]

^{を用いて，}

S

^上の

Busemann

関数を計算することにより，次を得る．

定理

4.3 (Itoh-S[8]). Damek-Ricci

^空間

S

^の

Poisson

^核と

Busemann

^{関数は関係式}

(4.1)

^を満たす．ただし，

c = Q

^{であり，これは}

S

の体積エントロピーに等しい．

定理

4.2

^と定理

4.3

^{から，定理}

1.1

^を得る．

参考文献

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^{リーマン幾何学}

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