Damek-Ricci
空間のPoisson
核とFisher
情報計量伊藤 光弘*1 (筑波大学大学院数理物質科学研究科) 佐藤 弘康*2 (筑波大学大学院数理物質科学研究科)
(Xn, g)をn次元Hadamard多様体（完備，単連結，非正曲率Riemann多様体）とす る．このとき，理想境界とよばれるコンパクト多様体∂X('Sn−1) が定まる．これはX 上の単位速度半開測地線の全体に同値関係
「γ1 ∼γ2 ⇐⇒d(γ1(t), γ2(t))がtに関して上に有界」
で類別した商空間である．古典的 Dirichlet問題の類推として，無限遠Dirichlet 問題が 考えられる．つまり，境界条件f ∈C0(∂X)にたいして
∆u = 0, u|∂X =f (1)
を 満 た す 関 数 u ∈ C∞(X) ∩ C0(X ∪ ∂X) を 求 め る 問 題 で あ る ．(X, g) が 負 曲 率 Hadamard 多様体のとき，Poisson 核とよばれる X ∪∂X 上の関数 P(x, θ) が一意的 に定まり，境界条件を伴う(1)の解はPoisson核積分表示により与えられる（[5]を参照）． このことから，Poisson核は∫
θ∈∂XP(x, θ)dθ= 1を満たすことがわかる．
向きづけられた多様体の正値確率測度の全体 P には Fisher 情報計量とよばれる Riemann 計量 Gが定まり，(P, G) を無限次元 Riemann 多様体と見ることができる．
Itoh-Shishido[4] は Hadamard 多様体 (X, g) の Poisson 核を用いて，写像 ϕ : X → P(∂X)を定義し，X が階数1非コンパクト型対称空間のとき，ϕが相似的埋め込みにな ることを示した（さらに極小的である）．その後の研究で，Damek-Ricci空間とよばれる
等質的Hadamard多様体のクラス（階数1非コンパクト型対称空間を含む）についても，
同様の結果が成り立つことがわかった．Damek-Ricci空間とは一般Heisenberg群とよば れる冪零Lie群N を1次元拡張した可解 Lie群N Aに左不変Riemann計量を備えたも のである（詳細は[1]を参照）．
定理 1. n次元Damek-Ricci空間(X, g)においてPoisson核写像ϕは相似的埋め込みで ある．つまり，Fisher情報計量Gのϕによる引き戻しはϕ∗G= ρn2gを満たす．ただし，
ρは(X, g)の体積エントロピーである．
2008年度日本数学会秋季総合分科会(2008年9月24日〜27日, 東京工業大学)講演予稿．
*1E-mail : [email protected]
*2E-mail : [email protected]
この結果の本質は，階数 1非コンパクト型対称空間のときと同様，Damek-Ricci 空間 のPoisson核がBusemann関数B(x, θ)を用いて
P(x, θ) = exp (−c B(x, θ)) (c∈R, c >0) (2) と記述できることである（Busemann関数については[6]を参照）．一般に，次のことが 成り立つ．
定理 2. (X, g)をn次元等質Hadamard多様体とし，そのPoisson核は(2)式で与えら れると仮定する．このとき，Poisson核写像ϕ: X → P(∂X) は相似的埋め込みとなり，
ϕ∗G= cn2gを満たす．
Damek-Ricci空間のPoisson核については，Cygan[2]やDamek[3] の仕事により，具 体的な形がわかっている．我々はDamek-Ricci 空間の測地線および距離関数[1]の公式 を用いて，Busemann関数を計算することにより，次のことを得た．
定理 3. Damek-Ricci空間のPoisson核とBusemann関数は関係式(2) を満たす．ただ し，cは体積エントロピーである．
参考文献
[1] J. Berndt, F. Tricerri and L. Vanhecke, Generalized Heisenberg groups and Damek-Ricci harmonic spaces, Lecture Notes in Math. 1598, Springer-Verlag, Berlin, 1995.
[2] J. Cygan,Subbadditiveity of homogeneous norms on certain nilpotent Lie groups, Proc. Amer. Math. Soc. 83(1981), 69-70.
[3] E. Damek,A Poisson kernel on Heisenberg type nilpotent groups, Coll. Math.53 (1987), 239-247.
[4] M. Itoh and Y. Shishido,Fisher information metric and Poisson kernels, Differ- ential Geom. Appl. 26(2008), 347-356.
[5] R. Schoen and S.-T. Yau, Lectures on Differential Geometry, Conf. Proc. Lecture Notes Geom. Topology, 1, International Press, Cambridge, 1994.
[6] 酒井 隆, リーマン幾何学, 数学選書11,裳華房, 1992.
