曲線と曲面演習
担当 丹下 基生：研究室(B622) mail([email protected]）
第
5
回（’13年12
月9
日：Keywords· · ·
回転面、第一基本量、第一基本形式、等温座標）[回転面]・・・x=f(z)を正の値をとる関数として、それをz軸周りに回転してできる曲面．S(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, u) となる曲面のこと．
[第一基本量]・・・E=Su·Su、F =Su·Sv、G=Sv·Sv．
[第一基本形式]・・・正則曲面Sの各点p∈Sの接平面TpS上の内積で2次形式I=Edu2+ 2F dudv+Gdv2とな るもの．
[等温座標]・・・第一基本形式IがE(du2+dv2)となる形の座標．
例題
-5-1. [正定値 2
次形式]E, F, G
を実数とし、2× 2
行列M
を(
E F
F G
)
とおく．このとき、
R
2上のベクトルx, y
に対して、I(x,y) =
txM y
とおくとき、IがR
2上で内積を定めるための必要十分条件はE > 0
かつ、EG− F
2> 0
であることを示せ．例題
-5-2. [正定値 2
次形式]上の問題の行列
M
に対して、Iが内積を定めることと、その固有値が全て正であることと 同値であることを示せ．このとき、固有値がひとつだけであることとE = G
かつF = 0
が成り立つことは同値であることを示せ．(Hint:実対称行列は対角化可能．)
例題
-5-3. [回転面]
関数
x = f(z)
の回転面をS
とする．このとき、Su, S
vおよび、第一基本量を求めよ．例題
-5-4. [双曲線の回転面]
(x, z)-平面における双曲線、x
2− z
2= 1
の回転面S
を考える．Sを双曲線関数を用いることによってパラメータ表示せよ．そのパラメータ表示に従って、第一基本量および第一基 本形式を求めよ．
例題
-5-5. [z = cosh(x)
の回転面]x = cosh(z)
をz
軸に沿って回転して得られる回転面に関して、第一基本量E, F, G
を求めよ．
例題
-5-6. [回転面]
R
3上の直線x = z, y = 1
を回転してできる曲面は何か？例題
-5-7. [面積公式]
曲面の表面積を求める．ここでは、集合
S
の面積を絶対値|S|
を使って表す．(1) (u, v)-平面上において、R { (u, v) ∈ R
2| u
0≤ u ≤ u
0+ ∆u = u
1, v
0≤ v ≤ v
0+ ∆v = v
1}
とし、|R |
を積分を用いて表せ．(2) s : R
2→ R
3をrank = 2
の線形写像とし、u = (1, 0), v = (0, 1)
の像s(u), s(v)
とする．このとき、
| s(R) |
| R |
をs(u), s(v)
を使って表せ．(3)
今、(u, v)平面R
2からR
3への正則な曲面S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
を考える．このとき、p
= (u, v) ∈ R
2として、|S(R) |
に関して、∆u→ 0
かつ∆v → 0
とすると き、S(R)がR
3のある平面に近づくことから、lim
∆u→0,∆v→0
| S(R) |
| R |
をS
の偏微分S
u, S
vを使って求めよ．
(4) (3)
で求めた極限はR
とS(R)
の面積比の極限であることから、S(R)の面積を求めよ．例題
-5-8. [du, dv]
ここで使われる
du, dv
は積分の時に出てくるdx, dy
とは役割が違う．どう違うのか考察せ よ．またなぜ異なるのか？例題
-5-9. [(x, y)-平面上のグラフの場合]
R
3上のグラフz = f(x, y)
を曲面とするときの第一基本形式とその面積の公式f
の偏微分 を用いて示せ．例題
-5-10. [球の極座標表示]
次の球面上の局所座標表示
S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (r cos u cos v, r cos u sin v, r sin u)
はu, v
において単射な写像となるのは(u, v)
のどのような範囲のときか？また、そのとき、第一基本形式を求めよ．
例題
-5-11. [球面の第一基本形式]
上記の球面の局所座標表示で表したとき、各点での第一基本量
E, F, G
を求めよ．例題
-5-12. [曲面上の曲線]
曲面
S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
上の曲線C(t)
を(u, v)
平面の曲線D(t) = (u(t), v(t))
の像となるものを考える．(1) C
′(t)
をS
u, S
vの一次結合で表せ．(2) t
でのC
′(t)
の長さを求めよ．(3) t = 0
からt = τ
までの曲線の長さを求めよ．例題
-5-13. [以前の問題の訂正問題]
空間曲線の捩率
τ (t)
はτ( − t) = τ(t)
を満たすことを示せ．例題
-5-14. [第一基本形式と座標変換]
第一基本形式は座標変換に因らないことを示せ．
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問題
-5-1. [第一基本形式][10pt]
R > 2r
とし、R3上の曲面S(u, v) = ((R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sin v, sin u)
を考える．(1)
この曲面はどのような曲面か？考察せよ．(2)
この曲面の第一基本形式を求めよ．問題
-5-2. [線織面][15pt]
R
3上の2
本の直線{ (x, 1, z) | x = z }
と{ (x, − 1, z) | x = − z }
を考える．(1)
この2
本の直線と面x = u
が交わる2
点を結んでできる直線の族で構成される曲面S
をR
3内の曲面S
をパラメータづけせよ．(2) (1)
で選んだパラメータ表示に関して第一基本形式を求めよ．(3) S
のうち、x2+ y
2= 1
で囲まれる領域の面積を求めよ．(Hint:(3)
極座標表示をして重積分せよ．)—————————————————————————————————————————————–
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