曲線と曲面演習

(1)

曲線と曲面演習

担当丹下基生：研究室

(B622) mail([email protected]

）

第

2

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’13

年

11

月

18

日：

Keywords · · ·

曲率の定義、曲率半径．）

[平面曲線の曲率]・・・弧長パラメータ表示をもつ平面上の曲線C(s)のsでの位置ベクトルをp(s)とするとき、

p^′(s) =e1(s)とおく．そのsでの曲率κ(s)はe^′₁(s)のe^′₁(s) =κ(s)e2(s)となる実数のことである．ここで、e2(s) はe1(s)を90^◦回転させたものである．つまり曲率の大きさは加速度の大きさである．

[曲率の公式(1)]・・・弧長パラメータp(s) = (x(s), y(s))の場合、

κ(s) =x^′(s)y^′′(s)−x^′′(s)y^′(s) [曲率の公式(2)]・・・一般のパラメータ表示p(t) = (x(t), y(t))の場合、

κ(t) =x^′(t)y^′′(t)−x^′′(t)y^′(t) ((x^′(t))²+ (y^′(t))²)³² . [曲率の公式(3)]・・・平行移動、回転を施して、y= 1

2ax²+o(x²)の形に書けたとすると、

κ(x) =a [曲率の公式(4)]・・・その点での曲率半径をrとすると、

κ= 1 r

[空間曲線の曲率]・・・弧長パラメータ表示をもつ空間上の曲線C(s)のsでの位置ベクトルをp(s)とするとき、

p^′(s) =e₁(s)とおく．||e^′₁(s)||=κ(s)とおき、e^′₁(s) =κ(s)e₂(s)となるベクトルe₂(s)を定める．このκ(s)を空間上の曲率という．

[平面曲線のフレネセレの公式]ここでsは弧長パラメータ．

d ds

[ e1(s) e₂(s) ]

= [

0 κ(s)

−κ(s) 0 ] [

e1(s) e₂(s) ]

例題

-2-1. [

加速度ベクトル

]

s

を弧長パラメータとして、

e

₁

(s) = p

^′₁

(s)

とする．このとき、

e

₁

(s)

と

e

^′₁

(s)

は直交することを示せ．つまり加速度ベクトルは速度ベクトルに直交することを示せ．

例題

-2-2. [y = cosh(x)

の曲率

] y = cosh(x)

の曲率を求めよ．

例題

-2-3. [

曲率半径

]

以下の問題に答えよ．

(a) y = ax

²の曲率半径を求めよ．

(b)

曲率は平行移動、回転で不変であることを用いて、y

= 1

x

の

(1, 1)

での曲率を求めよ．

(c) y = 1

x

の各点での曲率を求めよ．

例題

-2-4. [平面曲線のフレネセレの公式]

平面曲線

C(s)

に対して、

e

^′₂

(s) = − κ(s)e

₁

(s)

であることを証明せよ．

例題

-2-5. [2

階微分の公式．]

関数

y = f (x)

が、パラメータ表示

(x(t), y(t))

されているとき、

f

^′′

(x) = y

^′′

(t)x

^′

(t) − y

^′

(t)x

^′′

(t) (x

^′

(t))

³

であることを証明せよ．

(2)

例題

-2-6. ^{[楕円の曲率]}

曲線を

x = a sin θ, y = b cos θ

とする楕円とする．このとき、各点における曲率が次のように与えられることを示せ．

κ(t) = ab

(a

²

sin

²

t + b

²

cos

²

t)

³²

例題

-2-7. [

空間曲線のフレネセレの公式．

]

以下の公式を証明せよ．ここで、パラメータ

s

は全て弧長パラメータで、

e

₁

(s)

は

d ds



  e

₁

(s) e

₂

(s) e

3

(s)



  =



 

0 κ(s) 0

− κ(s) 0 τ (s) 0 − τ(s) 0



 



  e

₁

(s) e

₂

(s) e

3

(s)



 

このとき、

κ(s)

が

s

での曲率を表し、

τ(s)

を捩率（れいりつ）である．

例題

-2-8. ^{[平面曲線の曲率]}

次の曲線のパラメータ

θ

での曲率の大きさを求めよ．

 



x = a cos θ − b sin θ y = a cos θ + b sin θ

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–

問題

-2-1. [

平面曲線

][10pt]

グラフ

y = log x (x > 0)

からなる曲線において、曲率の絶対値が最も大きくなる点を求

めよ．

問題

-2-2. [

曲率半径

][5pt]

y = 1 − cos x

の

x = 0

での曲率半径を求めよ．

問題

-2-3. [

極座標

][10pt]

曲線

C

が極座標

(r, θ)

を用いて

r = F (θ)

と与えられているとき、曲率は

κ(r, θ) = r

²

+ 2 (

_dr

dθ

)

2

− r

^d_dθ²^r2

{

r

²

+ (

_dr

dθ

)

2

}

³₂

と表されることを示せ．

Hint:一点上の曲率はテイラー展開を使うとわかる．

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