曲線と曲面演習

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曲線と曲面演習

担当丹下基生：研究室

(B622) mail([email protected]）

第

1

回^（’13^年

¹¹

^月

¹¹

^{日：Keywords}

· · ·

平面曲線、曲線の長さ、弧長パラメータ、曲率の感覚的理解．）

[平面上の曲線]・・・C={C(t)∈R²|∀t∈I}であって、C(t)はtに関して滑らか（C^∞級）であること．このとき、

tの範囲は開（or閉or半開）区間Iである．Iは無限区間をとってもかまわない．

[曲線の長さ]・・・平面上の曲線のパラメータ表示(x(t), y(t))があるとき、そのt₀≤t≤t₁の間の曲線の長さℓは次のように計算される．x軸上のグラフy=f(x)のときはx=t、y=f(t)とせよ．

ℓ=

∫ t₁ t0

√(x^′(t))²+ (y^′(t))²dt

[弧長パラメータ]・・・平面上のパラメータづけられた曲線C: (x(s), y(s))の任意のs0における点C(s0)が、Cに沿ったs= 0からs=s₀までの弧長に等しくなっていること．

[正則曲線]・・・曲線Cが任意の点C(t)で、C^′(t)̸= 0となっていること．

[テイラー展開]・・・関数y=f(x)がいくらでも微分可能で、下の右辺のような級数に収束すること．またそのような展開のこと．

f(x) =f(a) +f^′(a)(x−a) +f^′′(a)

2! (x−a)²+· · ·+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ+· · ·

[曲率]・・・曲線の曲がり具合のことである．

[平面上の曲線上の曲率の感覚的理解]・・・曲率とは感覚的には、曲線上を速度一定で進むときに力学的に加わる力のこと．

例題

-1-1. [速度ベクトル]

平面上の曲線のパラメータ表示

(x(t), y(t))

が存在するとする．このとき、

v(t) = (x

^′

(t), y

^′

(t))

はこの曲線に接することを示せ．

例題

-1-2. [曲線の長さ]

次の曲線の長さを求めよ．

(1) { (x, y) ∈ R

²

| y = cosh(x) } (0 ≤ x ≤ t) (2) { (x, y) ∈ R

²

| x

³²

+ y

³²

, x ≥ 0, y ≥ 0 }

(3)

平面上で

r = e

^−θ

(0 ≤ θ ≤ ∞ )

として極座標表示される曲線の長さ．

例題

-1-3. [弧長パラメータ]

a

を正の定数とする．このとき以下の問題に答えよ．

(1)

カテナリー

y = a cosh ( x

a )

の

(0, a)

から

(

x, a cosh ( x

a ))

までの弧長

s = s(x)

を計算せよ．

(2)

この弧長をパラメータとして、x, yを

s

の関数として表せ．

例題

-1-4. [弧長パラメータ]

平面上の曲線

p(s)

を弧長パラメータ

s

による表示とする。このとき、

|| p

^′

(s) || = 1

であることを示せ．

（このことから、任意の

s

に対して

|| p

^′

(s) || = 1

が成り立つことを弧長パラメータの定義としてよい．）

(2)

例題

-1-5. [曲線の近くの円]

y = f(x)

を原点を通る

x

軸上のグラフとする．このとき、

(0, 0)

とその近くの

2

点

(ϵ, f (ϵ))、

( − ϵ, f( − ϵ))

が通る円の半径を求めよ．

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問題

-1-1. [円の弧長パラメータづけ][10pt]

半径

r

の円

C

に対して以下の問題に答えよ．

(1) C

を弧長パラメータ表示せよ．

(2)

原点から

C(s)

を結ぶベクトルを

p(s)

とおくとき、e1

(s) =p

^′

(s)

とおき、e1

(s)

と

e

^′₁

(s)

を計算せよ．

問題

-1-2. [曲率の感覚的理解][10pt]

e

₁

(s)

を曲線

C

において

C(s)

を始点とするベクトルで

C

に接するベクトルとする．e2

(s)

は

C(s)

を始点とし、e1に

90

^◦正の方向に回転させたベクトルとする．曲率の感覚的理解から曲線が右回りであるとすると曲率は

e

₂

(s)

に関して正の向きか？それとも負の向きか？

問題

-1-3. [曲率 0

の曲線][5pt]

上の問題を使って平面上の曲線の曲率が

0

ならばその曲線は直線であることを示せ．

問題

-1-4. [平面上を動く区間の軌跡][10pt]

xy-平面上に長さ 1

の棒を片方の端点を

y

軸上にし、もう片方の端点を

x

軸上にし、内部

を第一象限になるように動かす．このとき、棒が動く範囲の境界

C

はどのような曲線になるか？

1 x y

t θ

(1)

上の黒丸の座標

(x

0

(t, θ), y

0

(t, θ))

を直角三角形の下の角度を

θ

とし、x軸を

t

してあらわせ．

(2) t

を固定したとき、y0

(t, θ)

の最大値となる

θ

の満たす

t

と

θ

の関係を求めよ．

(3) C

を

θ

を用いてパラメータ表示せよ．

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