曲線と曲面演習

(1)

曲線と曲面演習

担当丹下基生：研究室

(B622) mail([email protected]

）

第

3

^回^（

’13

年

11

月

25

日：

Keywords · · ·

フレネセレの公式．捩率）

[空間曲線の動標構]・・・空間曲線C(t)上に沿って動く直交基底{e1(t),e2(t),e3(t)}のことである．

[フレネセレ標構]・・・弧長パラメータの空間曲線C(s)の動標構{e₁(s),e₂(s),e₃(s)}が、

(1)e1=C^′(s)（接単位ベクトル）

(2)e₂(s) = e^′₁(s)

||e^′₁(s)||

(3)e₃(s) =e₁(s)×e₂(s) を満たしているときをいう．

[曲率、捩率]・・・κ(s) =||e^′(s)||,τ(s) =e^′₂(s)·e₃(s) [フレネセレの公式]・・・フレネセレ標構を微分した公式．

d ds

[ e1(s) e2(s) ]

= [

0 κ(s)

−κ(s) 0 ] [

e1(s) e2(s) ]

d ds



 e1(s) e₂(s) e3(s)



=





0 κ(s) 0

−κ(s) 0 τ(s)

0 −τ(s) 0







 e1(s) e₂(s) e3(s)





[外積]・・・p= (p1, p2, p3),q= (q1, q2, q3)とするとき、外積p×qは p×q=

( p2 q2

p₃ q₃ ,−

p1 q1

p₃ q₃ ,

p1 q1

p₂ q₂ )

として定義する．また、|p×q|=||p||||q||sin|θ|=||p|||q||√

1−cos²θ=√

||p||²||q||²−(p·q)²である．ここで、

θはpとqの間の角．

例題

-3-1. [

外積と内積

]

(a) p

₁

, p

₂

, p

₃を空間ベクトルとすると、

p

₁

· (p

₂

× p

₃

) = | p

₁

p

₂

p

₃

|

となることを証明せよ．

右辺は、p₁

, p

₂

, p

₃を縦ベクトルとして、並べて行列を作ったときの行列式を表す．

(b)

次の恒等式を示せ．

(p

₂

q

₃

− p

₃

q

₂

)

²

+(p

₁

q

₃

− p

₃

q

₁

)

²

+(p

₁

q

₂

− p

₂

q

₁

)

²

+(p

₁

q

₁

+p

₂

q

₂

+p

₃

q

₃

)

²

= (p

²₁

+p

²₂

+p

²₂

)(q

₁²

+q

₂²

+q

²₃

)

例題

-3-2. [

弧長パラメータ

]

一般のパラメータをもつ曲線

C(t)

に対して

t

でのベクトルを

p(t)

とする．

s = s(t)

を弧長パラメータに直す変換関数とする．このとき、

( ds dt

)

2

= p

^′

(s) · p

^′

(s) = || p

^′

||

²であることを示せ．

例題

-3-3. [

弧長パラメータの空間曲線の曲率の公式

]

空間曲線の弧長パラメータによるベクトル表示を

p(s)

とする．この曲線の曲率

κ(s)

は

κ(s) = || p

^′

(s) × p

^′′

(s) ||

であることを示せ．

例題

-3-4. [

一般のパラメータの空間曲線の曲率の公式

]

空間曲線の一般パラメータによるベクトル表示を

p(t)

とする．この曲線の曲率

κ(t)

は

κ(t) = || p

^′

(t) × p

^′′

(t) ||

|| p

^′

(t) ||

³

(2)

であることを示せ．

(t = s

の場合は

|| p

^′

(s) || = 1

であることに注意せよ．

)

例題

-3-5. [

捩率の公式（弧長パラメータ）

]

空間上の弧長パラメータをもつ曲線

C(s)

のベクトルを

p(s)

とする．このとき、捩率

τ (s)

に関して次の等式を示せ．

τ (s) = e

^′₂

(s) · e

₃

(s) = (e

₁

× e

₂

) · e

₃

= | p

^′

(s)p

^′′

(s)p

^′′′

(s) | κ(s)

²

例題

-3-6. [

捩率の公式（一般パラメータ）

]

空間上の曲線

C(t)

のベクトルを

p(t)

とする．このとき、捩率

τ (t)

に関して次の等式を示せ．

τ(t) = | p

^′

(t)p

^′′

(t)p

^′′′

(t) |

|| p

^′

(t) × p

^′′

(t) ||

²

= | p

^′

(t)p

^′′

(t)p

^′′′

(t) | κ(t)

²

|| p

^′

(t) ||

⁶

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–

問題

-3-1. [

双曲的常螺旋

][10pt]

a, b > 0

として、

p(t) = (a cosh(t), a sinh(t), bt)

とする．この曲線の曲率と捩率を求めよ．

問題

-3-2. [空間曲線の向きと捩率][5pt]

捩率

τ ( − t) = − τ (t)

であることを証明せよ．捩率の公式を用いてよい．

問題

-3-3. [

香取線香

][15pt]

空間曲線（蚊取り線香）を

p(t) = (t cos(t), t sin(t), − t)

とする．このとき、以下の問題に答えよ．

(a) p

^′

(t), p

^′′

(t)

を求めよ．

(b) κ(t)

を求めよ．

(c) τ (t)

を求めよ．

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