曲線と曲面演習

(1)

曲線と曲面演習

担当丹下基生：研究室

(B622) mail([email protected]

）

第

7

^回^（

’13

年

12

月

25

日：

Keywords · · ·

法曲率．ワインガルテンの公式．主曲率）

[曲面の法曲率]・・・曲面Sの単位法ベクトルnと、接平面上の方向ベクトルXに対して、nとXでできる平面と Sとの交わりの曲線C(s)の曲率のこと．

[公式]・・・S_uu·n=−S_u·n_u，S_uv·n=−S_u·n_v，S_vv·n=−S_v·n_v [ワインガルテンの公式]・・・n_u,nvは接平面に平行であり、その係数は

nu=F M−GL

EG−F² Su+F L−EM

EG−F² Sv, nv =F N−GM

EG−F² Su+F M−EN EG−F² Sv

となる．

[ガウス写像の微分写像]・・・ガウス写像n:S→S²に対して、ガウス写像の微分写像dnを dn:T_pS→T_n(p)S²

dn(w) = dn(α)

dt (0)として定義する．ここで、α(t)はα(0) =p,α^′(0) =wとなるS上の曲線．このとき、平行移動によってT_n(p)S²=TpSとみなせる．つまり、dn:TpS→TpSである．

ガウス写像の微分写像dn:T_pS→T_pSはφ:S_u7→n_u, S_v7→n_vとなる線形写像となる．

[曲面の主曲率]・・・φ=−dnとおくと、φの固有値κ1, κ2のこと．

[曲面上の基底（ダルブー座標）]・・・α(s)を弧長パラメータをもつ曲面S上の曲線とする．このとき、e₁(s) =α^′(s) と置くと、e₁(s)はS上の単位接ベクトル．単位法ベクトルnをe₃(s)とおく．e₂(s) =n×e₃(s)とするとe₂は S上の単位接ベクトル．{e1(s),e2(s),e3(s)}を曲面上の曲線のダルブー座標という．

[曲面S上の曲線の法曲率]・・・S上の曲線のある弧長パラメータ表示をC(s)とするとき、その点での曲面の法線ベクトルをnとしたとき、κn(s) =C^′′(s)·e3(s)と定義する．e3(s)はダルブー座標のe3(s)

[曲面S上の曲線の測地的曲率]・・・S上の曲線のある弧長パラメータ表示をC(s)とするとき、その点での曲面の法線ベクトルをnとしたとき、κg(s) =C^′′(s)·e2(s)と定義する．e2(s)はダルブー座標のe2(s)

例題

-7-1. [

等式

]

n

_u

· S

_v

= n

_v

· S

_uを示せ．

例題

-7-2. [

第

2

基本形式

]

第

2

基本形式

II

は

− dn · dS

とかけることを示せ．

例題

-7-3. ^[第 2

基本形式]

φ = − dn

とおくと、第

2

基本形式

II(v, w)

は

I(φ(v), w)

とかけることを示せ．

例題

-7-4. [

ガウス写像の微分写像

1]

ガウス写像の微分は、dn(S_u

) = n

_u、dn(S_v

) = n

_vを満たすことを示せ．

例題

-7-5. [ガウス写像の微分写像 2]

S

u

, S

vを

T

p

S

の基底としたときの

− dn

の表現行列が

(

L M

M N

) ( − E − F

− F − G )

₋1

であることを証明せよ．

例題

-7-6. [φ

の自己共役性

]

φ = − dn

とおくと、

I(φ(v), w) = I(v, φ(w))

が成り立つことを示せ．

例題

-7-7. [

法曲率

]

曲面

S

の

(u, v, u

²

+ v

²

)

の原点

(0, 0)

における、aS_u

+ bS

_vの法曲率を求めよ．

例題

-7-8. ^[法曲率]

曲面

S

の

(u, v, u

²

+ 2v

²

)

の原点

(0, 0)

における、

aS

_u

+ bS

(2)

例題

-7-9. ^[法曲率]

曲面

S

の

(u, v, u

²

− v

²

)

の原点

(0, 0)

における、

aS

_u

+ bS

例題

-7-10. [

主曲率

]

曲面

S

の

(u, v, u

²

+ v

²

)

の原点

(0, 0)

における、主曲率を求めよ．またその主方向を求めよ．

例題

-7-11. [

主曲率

]

曲面

S

の

(u, v, u

²

− v

²

)

の原点

(0, 0)

例題

-7-12. [

主曲率

]

曲面

S

の

(u, v, u

²

+ 2v

²

)

の原点

(0, 0)

例題

-7-13. [ワインガルテンの公式]

ワインガルテンの公式を証明せよ．

例題

-7-14. [

回転面の平行円の曲率

]

平面

(f (u), g(u))

の回転面

f(u) cos v, f (u) sin v, g(u))

の平行円を

u =

一定の円とする．この平行円の法曲率、測地的曲率を求めよ．

例題

-7-15. [回転面の子午線の曲率]

平面

(f(u), g(u))

の回転面

f(u) cos v, f (u) sin v, g(u))

の子午線を

v =

一定の曲線とする．この子午線の法曲率、測地的曲率を求めよ．

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問題

-7-1. [

ワインガルテンの公式．主曲率

][30pt]

曲面

S

を

S(u, v) = (u, v, uv)

として以下の問題に答えよ．

(1)

第

1

基本量、第

2

基本量を計算し、ワインガルテンの公式がなりたつことを示せ．

(2) 2

つの主曲率を解とする

2

次方程式を求めよ．

(3) (u, v) = (0, 0)

での主曲率

κ

1

, κ

2を求めよ．ただし、

κ

1

> κ

2とせよ．

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[参考文献]曲面の幾何学（伊藤光弘著）遊星社

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