曲線と曲面演習

(1)

曲線と曲面演習

担当丹下基生：研究室

(B622) mail([email protected]

）

第

6

^回^（

’13

年

12

月

16

日：

Keywords · · ·

回転面、第

2

基本量、第

2

基本形式、等温座標）

[単位法ベクトル]・・・p∈R³における曲面Sの単位法ベクトルはnp= Su(p)×Sv(p)

||S_u(p)×S_v(p)||として計算される．

[ガウス写像]・・・p∈Sに対して、np∈S²を対応させる写像のこと．

[第2基本量]・・・L=S_uu·n、M =S_uv·n、N=S_vv·n．

[第2基本形式]・・・II =Ldu²+ 2M dudv+N dv².

[法曲率]・・・C(s)を曲面p=S(u, v)上の弧長パラメータをもつ曲線C(s) =S(u(s), v(s))とする．今、C^′′(s)の方向がn_pと一致していたとする．（つまり、n_p=e₂(s)）このとき、C(s)の空間曲線としての曲率κ(s) =||C^′′(s)||

のことをpでのC^′(s) =e1(s)方向の法曲率κn(p)という．求め方は、

e₂(s) =C^′′(s)·n_p= C^′′(s)

||C^′′(s)||, C^′′(s) =κ(s)e₂(s) より、

κ_n(s) =C^′′(s)·n= (

S_uu (du

ds )2

+ 2S_uv (du

ds ) (dv

ds )

+S_vv (dv

ds )2)

·n

=L (du

ds )2

+ 2M (du

ds ) (dv

ds )

+N (dv

ds )2

[主法線方向]・・・空間曲線C(s)において、e2(s)の方向．つまり接ベクトルの微分e^′₁(s)の方向のこと．

[従法線方向]・・・e₁×e2の方向．

例題

-6-1. [

回転面の第

2

基本量

]

平面上の曲線

(f(u), g(u))

で、

x(u) > 0

となるものをとり、回転体

S(u, v) = (f(u) cos v, f (u) sin v, g(u))

とする．このとき、単位法ベクトル

n

を求めよ．また、Sの第

2

基本量を計算せよ．

例題

-6-2. ^{[二葉双曲面]}

回転面

S(u, v) = (sinh u cos v, sinh u sin v, cosh u)

の第

2

基本形式を求めよ．その外形をかき、このパラメータに関する

(

L M

M N

)

の行列式を求めよ．

例題

-6-3. [z = xy]

曲面

S

のパラメータづけ

(x, y, z) = (u, v, uv)

において、

(u, v)-

平面において、原点を通る

直線

(at, bt)

のこのパラメータづけにおける像の成す曲線の主法線方向

(e

₂

(s)

の方向

)

はこ

の

S

の接平面の法方向とは一致しないことを示せ．この曲面

S

の第

2

基本形式を求めよ．

例題

-6-4. [

回転面

]

関数

x = f(z)

の回転面を

S

とする．このとき、

S

_u

, S

_vおよび、第一基本量を求めよ．

例題

-6-5. [

法曲率の計算

]

上の等式

C

^′′

(s) · n = (

S

_uu

( du

ds )

2

+ 2S

_uv

( du

ds

) ( dv ds

) + S

_vv

( dv ds

))

· n

を証明せよ．

例題

-6-6. [

回転面

]

回転面

(f (u) cos v, f (u) sin v, u)

の第

2

基本形式

II = Ldu

²

+ 2M dudv + N dv

²が正定値であるための必要十分条件は

L > 0

であることを示せ．またそのとき、f^′′

< 0

であることと同値であることを示せ．

(2)

例題

-6-7. ^{[トーラス]}

トーラス

((R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sin v, r sin u)

の第

2

例題

-6-8. [

グラフ

]

z = f(x, y)

が

(x

₀

, y

₀

)

において、

f

_x

(x

₀

, y

₀

) = f

_y

(x

₀

, y

₀

) = 0

を満たすとする．

z = f (x, y )

の

(x

₀

, y

₀

)

の近くの関数の振る舞いと、その点での第

2

基本形式はどのような関係にあるか？

例題

-6-9. ^{[曲線の法曲率]}

曲面

S

を

x

²

+ y

²

+ z

²

= 1

なる単位球とする．このとき、空間曲線

C

を

S ∩ {

x = 1 2

}

と定義する．

C

を弧長パラメータ付けをしたとき、

C

^′′

(s) · n

を求めよ．

例題

-6-10. [

ガウス写像

]

トーラス

S : ((R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sin v, r sin u)

を考える．

S →

^φ

S

²をガウス写像とする．このとき、

φ

⁻¹

(S

²

∩ { x + y + z = 0 } )

を求めよ．ただし、

S

²は原点中心の単位球のことである．

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問題

-6-1. [

一葉双曲面

][10pt]

回転面

S(u, v) = (cosh u cos v, cosh u sin v, sinh u)

の第

1

問題

-6-2. [

一葉双曲面

][15pt]

上の問題の回転面

S(u, v)

の第

2

基本形式を求めよ．その外形をかき、このパラメータに関する

(

L M

M N

)

の行列式を求めよ．

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