曲線と曲面演習

(1)

曲線と曲面演習

担当丹下基生：研究室

(B622) mail([email protected]）

第

9

回^（’14^年

¹

^月

²¹

^{日：Keywords}

· · ·

ガウスの公式・ガウスボンネの定理・オイラー数）

[曲面上の曲線の曲率]・・・Cを曲面S上の曲線とする．このとき、曲線の曲率κ(s)は曲面上の法曲率κg(s)と測地的曲率κ_n(s)との間に

κ(s)²=κn(s)²+κg(s)²

の関係がある．κ²_n(s)やκ_g(s)の定義は以前のプリントか教科書をみよ．

[ガウスの公式]・・・

∂²S

∂u² = Γ¹₁₁ ∂S

∂u∂v + Γ²₁₁∂S

∂v +Ln, ∂²S

∂u² = Γ¹₁₂∂S

∂u + Γ²₁₂∂S

∂v +M n, ∂²S

∂v² = Γ¹₂₂∂S

∂u + Γ²₂₂∂S

∂v +N n とおくと、

(

Γ¹₁₁ Γ¹₁₂ Γ¹₂₂ Γ²₁₁ Γ²₁₂ Γ²₂₂

)

= (

E F F G

)₋1

 1 2

∂E

∂u 1 2

∂E

∂v

∂F

∂v −1 2

∂G

∂F ∂u

∂u −1 2

∂E

∂v 1 2

∂G

∂u 1 2

∂G

∂v





となる．Γⁱ_jkのことを接続係数という．

[ガウスボンネの定理]・・・Kを曲面Sのガウス曲率とする．dµ=√

EG−F²dudvとすると、閉曲面Sに対して

以下の等式が成り立つ． ∫

S

Kdµ= 2πχ(S)

ここで、χ(S)を曲面のオイラー数．

[曲面のオイラー数]・・・曲面を3角形で分割しておき、そのとき、その頂点の数をb0(S),辺の数をb1(S)面の数を b2(S)とおくと、

χ(S) =b₀(S)−b₁(S) +b₂(S) と定義する．

例題

-9-1. [曲面上の曲線の曲率]

グラフ

{ z = x

²

+ y

²

}

上の

{ x = 1 }

の部分を考える．この曲線の曲率、法曲率、および測地的曲率を求めよ．

例題

-9-2. [曲面上の曲線の曲率]

グラフ

{ z = x

²

− y

²

}

上の

{ x = 1 }

の部分を考える．この曲線の曲率、法曲率、および測地的曲率を求めよ．

例題

-9-3. [立体射影]

S

²を空間上の単位球とする．立体射影を

(x, y) ∈ R

²

⊂ R

³と

(0, 0, − 1)

を通る直線が

S

²と交わる点を

π(x, y) = (ξ, η, ζ)

と定義する．(ξ, η, ζ

)

を

(x, y)

の式でかけ．

例題

-9-4. [立体射影の第一基本形式]

単位球

( S

²

)

に立体射影からくる座標を入れることで

E, F, G

を求めよ．

（ただし

(0, 0, − 1)

には座標は入らない．）

例題

-9-5. [ガウスの公式]

ガウスの公式を証明するために、以下の式をを

E, F, G

の微分で書け．

(1) Γ

¹₁₁

E + Γ

²₁₁

F

、Γ¹₁₂

E + Γ

²₁₂

F

、Γ¹₂₂

E + Γ

²₂₂

F (2) Γ

¹₁₁

F + Γ

²₁₁

G、Γ

¹₁₂

F + Γ

²₁₂

G、Γ

¹₂₂

F + Γ

²₂₂

G

例題

-9-6. [球面上の曲線]

半径が

1

の球面上の大円（半径が

1

の円）の測地的曲率は至る所

0

であることを示せ．

(2)

例題

-9-7. [球面上の曲線]

半径が

1

の球面上の大円（半径が

1

の円）上の半径が

1/2

の円の測地的曲率を求めよ．

例題

-9-8. [オイラー数]

以下のオイラー数を求めよ．

(1)

トーラス．

(2)

半径

1

の円盤．

(3) { x

²

+ y

²

≤ 4 }

から

{ x

²

+ y

²

≤ 1 }

を除いた領域．

例題

-9-9. [螺旋（らせん）]

円柱

{ x

²

+ y

²

= 1 }

上の螺旋

(cos t, sin t, at)

を考える．この螺旋の各点での法曲率を求めよ．また測地的曲率を求めよ．

例題

-9-10. [可展面]

円錐

{ (x, y, z) ∈ R

³

| z

²

= x

²

+ y

²

}

のガウス曲率は

0

であることを示せ．

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問題

-9-1. [球面のガウス曲率の積分][40pt]

半径

R

の球面

S

²

(R)

において以下の問題に答えよ．

(1)

球面のオイラー数を計算せよ．

(2)

立体射影もしくは

± √

R

²

− x

²

− y

²などを用いて球面全体を表せ．

(3)

球面

S

²

(R)

のガウス曲率

K

を求めよ．

(4)

∫

S²(R)

Kdµ

を計算せよ．

（注意：球面をいくつかのシートで覆った場合、領域上を過不足なく積分すること．ただし、上記の立体射影における南極点などはその限りではない．）

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