曲線と曲面演習
担当 丹下 基生：研究室(B622) mail([email protected]
）第
4
回（’13
年12
月2
日：Keywords · · ·
回転数、曲面の初歩）[閉曲線]・・・曲線C(a≤t≤b)がC(a) =C(b)となるような曲線．
[回転数]・・・平面上の閉曲線C = C(s) (a ≤ s ≤ b)における曲率κ(s)（弧長パラメータ表示）とすると、
1 2π
∫ b a
κ(s)dsは必ず整数で、閉曲線の回転数と言われる．
[曲面]・・・3次元空間に埋め込まれた曲面Sは、2変数u, vでパラメータ付けられた空間内の集合である．その各
点の位置ベクトルをp=p(u, v)と表す．
[正則曲面]・・・各点S(u, v)において、法方向（接平面と直交する方向）が定まるような曲面のこと．
[接平面]・・・正則曲面Sの各点p= S(u, v)で、曲面に接する部分空間のこと．TpSとかく．TpSはpu(u, v)と pv(u, v)によって生成される2次元のベクトル空間である．
[法ベクトル]・・・正則曲面の法ベクトルは、pu×pvである．正則曲面であることはこのベクトルが0ベクトルで
ないことと同値である．
例題
-4-1. [
常螺旋]
常螺旋
C(t) = (a cos t, a sin t, bt)
の曲率と捩率を求めよ．例題
-4-2. [
回転数]
半径
r
の円x
2+ y
2= r
2の回転数は１であることを示せ．例題
-4-3. [
アステロイド]
C(t) = (a cos
3t, a sin
3t)
の曲率を求めよ．例題
-4-4. [対数螺旋]
C(t) = (ae
btcos t, ae
btsin t)
の曲率を求めよ．例題
-4-5. [
空間曲線の曲率と捩率]
空間曲線C(t) =
( a
t cos t, a
t sin t, bt
)
の曲率と捩率を求めよ．例題
-4-6. [北半球]
北半球
{ (x, y, z) ∈ R
3| x
2+y
2+z
2= 1, z ≥ 0 }
のパラメータ表示p(u, v) = (u, v, √
1 − u
2− v
2)
において次の問題に答えよ．(1)
ベクトルp
u, p
vを求めよ．また、単位法ベクトルn
を求めよ．(2) E = || p
u||
2, F = p
u· p
v, G = || p
v||
2および、EG − F
2を計算せよ．(3)
∫
u2+v2≤1
√ EG − F
2dudv
を計算せよ．（これは北半球の表面積である．）例題
-4-7. [
回転数]
曲線
C(cos t + cos 2t, sin t + sin 2t) (0 ≤ t ≤ 2π)
の回転数を求めよ．例題
-4-8. [y = sin x]
y = sin x
の各点での曲率を求め、∫
∞−∞
κ(s)ds
を求めよ．ここで、s
は弧長パラメータ．—————————————————————————————————————————————–
問題
-4-1. [
平面曲線であること][10pt]
空間曲線
C(t) = (t, t
2− t, 1 − t
2)
が平面曲線であることを示せ．(Hint:捩率が 0
であることを示せ．)問題
-4-2. [
曲率一定の平面曲線][15pt]
曲率一定
(= k > 0)
の平面曲線C
を考える．この曲線C
を回転と平行移動をすることで、p
′(0) = e
1(0) = (0, 1)
であるとしておく（このパラメータまたは、以下s
は弧長パラメー タとする）．(1) e
1(s) = (x(s), y(s))
とおく．フレネセレの公式から、x(s), y(s)の満たす微分方程式を 書け．(2) 2
階微分方程式z
′′(s) = − k
2z(s)
の一般解がz(s) = a cos(ks) + b sin(ks)
（a, b
は任意定 数）と書けることを用いてx(s), y(s)
をもとめよ．(3) C
は円であることを示せ．またその半径を求めよ．—————————————————————————————————————————————–
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