曲線と曲面演習

(1)

曲線と曲面演習

担当丹下基生：研究室

(B622) mail([email protected]）

第

8

回^（’14^年

¹

^月

⁶

^{日：Keywords}

· · ·

ガウス曲率．平均曲率）

[ガウス曲率]・・・k1, k2を曲面Sの主曲率とする．このとき、K =k1k2とおいて、ガウス曲率という．第1基本量、第2基本量で表せばつぎのようになる．

K= LN−M² EG−F² [平均曲率]・・・H =k1+k2

2 とおいて、平均曲率という．第1基本量、第2基本量で表せばつぎのようになる．

H =GL−2F M+EN 2(EG−F²)

[オイラーの公式]・・・曲面Sの点p∈Sにおいて、e1(s),e2(s)を主曲率k1, k2での正規直交基底からなる主方向ベクトルとする（固有空間は互いに直交するのでこのようなベクトルを取ることができる）．このとき、cosθe1+ sinθe2

の方向の法曲率は、

kn=k1cos²θ+k2sin²θ

である．

[アルファベット]・・・C曲線．E, F, G第1基本量．H 平均曲率．I第1基本形式．Kガウス曲率．L, M, N第2 基本量．T X曲面Xの接平面．

p方向ベクトル、s弧長パラメータ、t一般パラメータ、u, v曲面のパラメータ．

[臍点（せいてん）]・・・主曲率κ1, κ2で、κ1=κ2となる点のこと．

[カラテオドリの予想]・・・コンパクト、有界閉曲面の臍点は少なくとも2つある．

例題

-8-1. [ガウス曲率と平均曲率]

ワインガルテンの公式を用いて、

K = LN − M

²

EG − F

²

, H = GL − 2F M + EN 2(EG − F

²

)

を証明せよ．

例題

-8-2. [球面]

半径

r

の球面のガウス曲率と平均曲率を求めよ．

例題

-8-3. [ヘリコイド（螺旋面）]

S = (v cos u, v sin u, au)

のガウス曲率と平均曲率を求めよ．

例題

-8-4. [オイラーの公式]

オイラーの公式を証明せよ．

例題

-8-5. [主曲率]

λ(ξ, η) = Lξ

²

+ 2M ξη + N η

²

Eξ

²

+ 2F ξη + Gη

² とおく．主曲率

κ

1

, κ

2はそれぞれ、λ(ξ, η)の最大値と最小値であることを示せ．

例題

-8-6. [臍点]

臍点は

H

²

= K

を満たす点であることを示せ．

例題

-8-7. [回転面]

回転面のガウス曲率、平均曲率を求めよ．

(2)

例題

-8-8. [回転面のガウス曲率と平均曲率]

任意の平面曲線の回転面を考える．このとき、適当に座標をとると、

K = LN

EG , H = 1 2

( L E + N

G )

をみたすことを示せ．

例題

-8-9. [グラフのガウス曲率と平均曲率]

グラフのガウス曲率と平均曲率を求めよ．

例題

-8-10. [サルの腰かけ]

曲面

(u, v, u

³

− 3uv

²

)

は原点上の点において

L = M = N = 0

であることを示せ．

例題

-8-11. [ラグビーボール]

ラグビーボールを方程式

x

²

a

²

+ y

²

b

²

+ z

²

b

²

= 1（0 < b < a）によって定義される正則曲面と

する．このとき以下の問題に答えよ．

(1)

この曲面を

(u, v)

によりパラメータ表示せよ．

(2)

ガウス曲率は至る所正であることを示せ．

(3)

この曲面の臍点を全て求めよ．

例題

-8-12. [エンネパーの曲面]

S = (u − u

³

3 + uv

²

, v − v

³

3 + vu

²

, u

²

− v

²

)

の主曲率を求めよ．

例題

-8-13. [航海線の法曲率]

回転面の子午線を一定の角度

θ

で切って進む曲線の法曲率は

κ

_n

= N

G cos

²

θ + L E sin

²

θ

であることを示せ．

例題

-8-14. [トラクトリックスの回転面]

α(t) = (sin t, cos t + log tan t

2 )（ただし ( π

2 ≤ t < π）となる平面曲線の回転面のガウス曲

率を求めよ．

番外例題

-8-15. [カラテオドリの予想]

カラテオドリの予想が正しいことを証明せよ．

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問題

-8-1. [トーラスのガウス曲率と平均曲率][20pt]

トーラス

((R + r cos v) cos u, (R + r cos v) sin u, r sin v)

について以下の各点での値を求めよ．

(1)

ガウス曲率を求めよ．

(2)

平均曲率

問題

-8-2. [グラフ曲面][20pt]

グラフ曲面

z = f(x, y)

のガウス曲率と平均曲率は以下で与えられることを示せ．

(1) K = f

_uu

f

_vv

− (f

_uv

)

²

(1 + (f

_u

)

²

+ (f

_v

)

²

)

²

(3)

(2) H = (1 + f

_v²

)f

_uu

− 2f

_u

f

_v

f

_uv

+ (1 + f

_u²

)f

_vv

2(1 + (f

_u

)

²

+ (f

_v

)

²

)

^3/2

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[参考文献]曲面の幾何学（伊藤光弘著）遊星社

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