博士論文概要 Doctoral Thesis Synopsis

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(1)早稲田大学大学院基幹理工学研究科 Graduate School of Fundamental Science and Engineering Waseda University. 博士論文概要 Doctoral Thesis Synopsis 論文題目 Thesis Theme Families of rational curves and higher-dimensional algebraic geometry 有理曲線族および高次元代数幾何. 申請者 Applicant name. Taku. SUZUKI. 鈴木. 拓. 数学応用数理専攻. 代数幾何学研究. September 2014.

(2) 本論文は以下に述べる二種類の研究から構成される．以下，多様体とは非特異な複素射影代数多様体を表すものとする． 1．高次元の超曲面で覆われる多様体の研究ある射影空間 P N 内に埋め込まれた多様体 X について考える．線形空間や超曲面は，その中でも最も基本的な多様体の類である．それらの自然な一般化として，与えられた自然数 d に対して， d 次超曲面で覆われる（すなわち，一般の点を通る d 次超曲面が X 内に存在する）ようなものについて考察する．ここで，超曲面とはある線形空間内で余次元 1 の非特異射影多様体を意味し，特に線形空間は 1 次超曲面とみなせる．線形空間および d 次超曲面自身はそのような多様体の例として自明なものである．したがって，線形射影空間束（ファイバーが線形空間であるような射  : X  Y を持つもの），および d 次超曲面束（一般のファイバーが d 次超曲面であるような射  : X  Y を持つもの）は， d 次超曲面で覆われることが容易にわかる．それらの他にも多くの非自明な例が存在するが，次数 d が小さい場合には，覆う超曲面の次元が多様体 X の次元と比べてある程度大きければ，自明なものしか存在しないことが知られている（事実 1）．事実 1． X を射影空間 P N 内に埋め込まれた n 次元多様体とする．（1）（E. Sato ’97） X が次元 n / 2  1 以上の線形空間で覆われるならば，線形射影空間束である；（2）（M. C. Beltrametti, P. Ionescu ’08） X が次元 n / 2  2 以上の二次超曲面で覆われるならば，線形射影空間束あるいは二次超曲面束である；（3）（K. Watanabe ’12）X が次元 n / 2  3 以上の三次超曲面で覆われるならば，線形射影空間束あるいは三次超曲面束である．ここで， n / 2 は n / 2 の整数部分を表す．以上の先行研究結果から，次数 d が一般の場合に対して次の予想が自然に立てられる．予想 2．射影空間 P 内に埋め込まれた n 次元多様体 X が，次元 m  n / 2  d の d 次超曲面で覆われるならば，線形射影空間束あるいは d 次超曲面束である． N. 予想 2 は射影空間および超曲面のある種の特徴付けを包含しており，証明されれば多くの応用が期待される有益な予想である．本研究では d  4 の場合および一般次数の場合に関して研究し，以下の定理 3 および定理 5 を得る． No.1.

(3) 定理 3． d  4 の場合，予想 2 は成立する．さらに，R. Hartshorne が予想した完全交叉に関する有名な未解決問題（予想 4）が正しいと仮定したとき，一般次数の場合に関する以下の結果を得る．予想 4（R. Hartshorne ’74）．射影空間 P N 内に埋め込まれた n 次元多様体 X が n  2N / 3 を満たすならば， X  P N は完全交叉である．定理 5．予想 4 および次元に関する強い条件 m  (2n  1) / 3  d を仮定すれば，予想 2 は成立する． 2．四次有理曲線に関して有理連結な多様体の研究一般に，多様体 X とその上の豊富な直線束 H の組 ( X , H ) を偏極多様体と呼ぶ．このとき， X 上の曲線に対して， H との交叉数による次数が定義できる．特に，一次曲線は直線と呼ばれる．与えられた自然数 e に対して，偏極多様体 ( X , H ) で， e 次有理曲線の族 F に関して有理連結である（すなわち， X 内の一般の二点が F に属す有理曲線で繋がれる）ようなものについて考察する．ここで，有理曲線の族とは X 上の有理曲線のパラメータ空間の正規化 RatCurves n (X ) の既約成分を意味する．有理連結な多様体は，有理多様体（射影空間と双有理同値な多様体）のある種の一般化であり，代数幾何学の多くの分類理論において基本的な対象である．そのため，これまでに有理連結性に関する研究が盛んに行われており，特に曲線の次数 e が小さい場合において，分類問題や多様体のピカール数に関する結果がよく知られている（事実 6）．ここで，ピカール数とは，多様体上の曲線の数値的類が成すベクトル空間の次元であり，多様体を特徴付ける値として種々の場面で用いられる重要な不変量である．事実 6． ( X , H ) を e 次有理曲線の族 F に関して有理連結な n 次元偏極多様体とする．（1） e  1のとき， ( X , H ) は ( P n , O(1)) と同型である（特にピカール数は 1）．（2）（S. Kebekus ’02 および P. Ionescu, F. Russo ’10）e  2 のとき，X のピカール数は 2 以下であり，さらに ( P n , O(2)) を除いては直線で覆われる．（3）（G. Occhetta, V. Paterno ’12） e  3 のとき，一般に X のピカール数に上限は存在しない．しかし， F が一般分裂ならば， X のピカール数は 3 以下であり， X は直線で覆われる．また，（ F が一般分裂でなくても） X が直線で覆われていれば， X のピカール数は 3 以下である． No.2.

(4) ここで，曲線族 F が一般分裂（not generically unsplit）であるとは， X の一般の二点を通るような F に属す曲線の変形により可約なサイクルが得られることを意味し，それは F の反標準次数 ( K X .F ) が n  2 以上であることと同値である（  K X は X の反標準直線束を意味する）．本研究では，これまでに知られていない e  4 の場合について研究する．この場合には，曲線族 F が一般分裂かつ X が直線で覆われていても，ピカール数に上限はない．ところが， F の反標準次数が n  3 以上であれば，二つの例外的な場合を除いてピカール数が 4 以下であるという結果を得る．より正確には，次を示す．定理 7． ( X , H ) を四次有理曲線の族 F に関して有理連結な n 次元偏極多様体とする． F の反標準次数が n  3 以上ならば，次のいずれかを満たす：（a） X のピカール数は 4 以下であり， X は直線で覆われる；（b） X は三次有理曲線に関して有理連結である；（c） X の一般の二点は，数値的に F の半分に同値な二つの二次曲線の鎖で繋がれる．これに加えて，定理 7 の仮定の下でも（b）および（c）の条件を満たす場合，ピカール数が上限なく大きくなり得ることを，実例を与えることで示す．また，多様体 X が曲面（ n  2 ）であるとき，より弱い条件である以下の二つの場合において分類を得る．定理 8． ( X , H ) を四次有理曲線の族 F に関して有理連結な偏極曲面とする．（1） X が直線で覆われるとき， ( X , H ) は次のいずれかと同型である：. ( P 2 , O(1)) ； ( P1  P1 , O(1,3)) ； ( P1  P1 , O(1,2)) ； ( P1  P1 , O(1,1)) ； ( F1 , C0  4 f ) ； ( F1 , C0  3 f ) ； ( F1 , C0  2 f ) ；. ( F2 , C0  4 f ) ； ( F2 , C0  3 f ) ； ( F3 , C0  4 f ) ．ここで，F は線織曲面 PP1 (O  O( )) ，C 0 は極小切断， f はファイバーである．（2） X が直線で覆われず F が一般分裂であるとき， ( X , H ) は次のいずれかと同型である：. ( P 2 , O(2)) ； ( P1  P1 , O(2,2)) ； ( S k , K S k ) ， 2  k  8 ． 2. ここで， S k は P の一般の k 点におけるブローアップである． No.3.

(5) Ｎｏ.1. 早稲田大学鈴木. 拓. 博士（理学）. 学位申請. 研究業績書. 印（2014 年. 種類別. 題名、. 発表・発行掲載誌名、. 発表・発行年月、. 11 月. 現在）. 連名者（申請者含む）. 論文. Taku Suzuki, On manifolds swept out by high dimensional hypersurfaces, Journal of Pure and Applied Algebra (掲載決定).. 論文. Taku Suzuki, On the Picard number of rationally quartic connected manifolds, International Journal of Mathematics (掲載決定).. 総説. 鈴木拓, 高次元の超曲面で覆われる多様体, Fano 多様体の最近の進展(2013) ・数理解析研究所講究録 No.1897, pp.83-90.. 講演. 鈴木拓, On the Picard number of rationally quartic connected manifolds, Younger generations in algebraic and complex geometry III, 長崎市松藤プラザ, 2014 年 1 月.. 講演. 鈴木拓, On manifolds swept out by high dimensional hypersurfaces, Fano 多様体の最近の進展, 京都大学数理解析研究所, 2013 年 12 月.. 講演. 鈴木拓 , Rationally quartic connected manifolds, Mini workshop on birational geometry, 東京大学大学院数理科学研究科, 2013 年 11 月.. 講演. 鈴木拓, On manifolds swept out by high dimensional hypersurfaces, 第 12 回アフィン代数幾何学研究集会, 関西学院大学, 2013 年 9 月.. 講演. Taku Suzuki, On manifolds swept out by high dimensional hypersurfaces, Japanese-Spanish Workshop, Imperial College London, 2013 年 7 月.. 講演. 鈴木拓, Characterizations of projective spaces and hyperquadrics, 代数幾何学セミナー, 九州大学大学院数理学研究院, 2012 年 11 月.. 講演. 鈴木拓, Characterizations of projective spaces and hyperquadrics, 代数幾何講演会, 埼玉大学理工学研究科, 2012 年 5 月.. 講演. 鈴木拓, Characterizations of projective spaces and hyperquadrics, 代数幾何学セミナー, 東京大学大学院数理科学研究科, 2012 年 5 月..

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