早稲田大学大学院 基幹理工学研究科
博 士 論 文 概 要
論 文 題 目
Two geometries arising from Poisson geometry
and their applications
Poisson 幾何学に起因する２つの幾何学と
その応用
申 請 者
Tomoya NAKAMURA 中村 友哉
数学応用数理専攻 幾何学研究
2018 年 9 月
No. 1
P o i s s o n 幾 何 学 は 、(滑 ら か な)多 様 体 上 の H am i l t o n 力 学 に お け る 重 要 な 作 用 素 と し て P o i s s o n カ ッ コ 積 が 導 入 さ れ た こ と に 端 を 発 す る 。 近 年 で は 、 多 様 体 上 の 一 般 の P o i s s o n 構 造( P o i s s o n カ ッ コ 積)の 性 質 や 力 学 系 の 研 究 が 積 極 的 に 行 わ れ 、 P o i s s o n 幾 何 学 は 微 分 幾 何 学 の 一 端 を 担 っ て い る 。加 え て 、P o i s s o n 構 造 に 整 合 的 な N i je n h u i s 構 造 を 付 随 さ せ る P o i s s o n - N i j e n h u i s 構 造( 1 9 8 3)や 、P o i s s o n 構 造 に 類 似 の 性 質 を 持 つ 幾 何 学 的 対 象 、 例 え ば 、J a c o b i 構 造( 1 9 7 8 )、 南 部- P o i s s o n 構 造( 1 9 9 4)、 準 P o i s s o n 構 造( 2 0 0 0 )、 ね じ れ P o i s s o n 構 造( 2 0 0 1)な ど が 様 々 な 文 脈 で 積 極 的 に 研 究 さ れ て い る 。 本 学 位 論 文 で は 主 に 、 準 P o i s s o n 構 造 及 び P o i s s o n - N i j e n h u i s構 造 の 理 論 を 用 い 研 究 を 行 っ た 。具 体 的 に は 次 の 2つ の 内 容 か ら な る 。
1. D e f o r m a t i o ns o f s y m p l e c t i c s t r uc t u r e s b y m o m e n t m ap s 2. Ps e u d o - P o i s s o n - N i j e n h ui s m a n i f o l d s
以 下 で は こ れ ら の 概 要 を 述 べ る 。
1. D e f o r m a t i o ns o f s y m p l e c t i c s t r uc t u r e s b y m o m e n t m ap s
シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 幾 何 に お い て 、「 変 形 同 値 」と い う 仮 定 及 び 条 件 は し ば し ば 現 れ る 。例 え ば 、M o s e r の 定 理 や D o n a l d s o n の 4- 6 予 想 な ど で あ る 。し か し な が ら 、 変 形 同 値 な シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 の 具 体 的 な 構 成 に つ い て は 多 く は 知 ら れ て い な い 。本 学 位 論 文 で は 、H am i l t o n 作 用 を 持 つ シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 に 変 形 同 値 な 、 新 た な シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 の 構 成 法 を 与 え る 。 そ の た め に A l e k s e e v, K o s m a nn - S c hw a r z b ac h に よ っ て 導 入 さ れ た 準 P o i s s o n 理 論 を 用 い る 。 具 体 的 に は シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 に 関 す る H a m i l t o n 作 用 に 対 す る モ ー メ ン ト 写 像 が 、 準 P o i s s o n 構 造 に 関 す る 準 P o i s s o n 作 用 に 対 す る モ ー メ ン ト 写 像 と 見 な せ る と い う 事 実 を 利 用 す る 。 前 者 の モ ー メ ン ト 写 像 に 課 さ れ る 条 件 は 与 え ら れ た シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 た だ 一 つ に 対 す る 条 件 で あ る の に 対 し 、 後 者 の モ ー メ ン ト 写 像 に は ね じ れ と 呼 ば れ る 量 に よ っ て パ ラ メ ー タ ー 付 け さ れ た 準 P o i s s o n 構 造 の 族 の 元 全 て に 対 す る 条 件 が 課 さ れ て い る 。 こ の 差 異 を 利 用 し て シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 か ら 自 然 に 誘 導 さ れ る 準 P o i s s o n 構 造 を ね じ れ0 と み な し た 時 、 付 随 す る 準
P o i s s o n 構 造 の 族 が 得 ら れ る が 、 そ の 中 か ら シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 を 誘 導 す る
も の 、 即 ち 非 退 化 P o i s s o n 構 造 を 見 つ け れ ば 、 そ の よ う な シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 は 元 の も の と 変 形 同 値 で あ る 。本 学 位 論 文 で は 、ね じ れt を 持 つ 準 P o i s s o n 構 造 が( 1) P o i s s o n 構 造 で あ る 条 件 、( 2 )非 退 化 で あ る 条 件 、 を ね じ れt ∈ ∧2 Lie(G) の 言 葉 に よ っ て 表 せ る こ と を 示 し て い る 。 具 体 的 に は 次 が 成 り 立 つ 。
定 理 3 . 1. 1 (𝑀, 𝜔) を シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 多 様 体 、G をM 上 シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク- H a m i l t o n 作 用σ に よ っ て 作 用 す る 連 結 L i e 群 と し 、t に よ っ て 変 形 さ れ た 準 P o i s s o n 構 造 を𝜋𝑡と す る 。 こ の と き 次 が 成 り 立 つ 。
( 1 )ね じ れt ∈ ∧2 Lie(G) が[𝑡, 𝑡]𝑀 = 0 を 満 た す な ら ば 、𝜋𝑡 は P o i s s o n 構 造 で あ る 。 更 に
No. 2
t が r-行 列 な ら ば 、σ は(𝑀, 𝜋𝑡) 上 の P o i s s o n (𝐺, 𝑡𝐿− 𝑡𝑅) -作 用 で あ る 。
( 2 )ね じ れt ∈ ∧2 Lie(G) に 対 し て 、 等 方 部 分 空 間Lie(G)𝑡∗ がμ(M) 上 許 容 さ れ る な ら ば 、 𝜋𝑡 は 非 退 化 2 -ベ ク ト ル 場 で あ る 。
本 学 位 論 文 で は 更 に こ れ ら を 同 時 に 満 た す 、 即 ち シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 に 変 形 す る た め の 十 分 条 件 と し て 次 の よ う な 条 件 を 与 え た 。
定 理 3 . 1. 2 定 理 3 . 1. 1 と 同 じ 仮 定 を 置 く 。 こ の と きX, Y ∈ Lie(G) が[𝑋, 𝑌] = 0 を 満 た す な ら ば 、t =1
2𝑋 ∧ 𝑌 は 定 理 3 . 1 . 1 の( 1 ) , ( 2 )を 同 時 に 満 た す 。 即 ち 、t はω を 別 の シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造ω𝑡 に 変 形 す る 。
本 学 位 論 文 で はℝ2𝑛 上 の 標 準 シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 形 式 、 複 素 射 影 直 線ℂ𝑃1 上 の F u b i ni - S t ud y 形 式 及 び 複 素 G r as s m an n 多 様 体 上 の K i r i l l o v - K o s t a nt 形 式 に 対 し て 具 体 的 に こ の 変 形 を 施 し た 例 を 掲 載 し た 。 特 に 複 素 射 影 直 線 上 の F u b i ni -
S t u d y 形 式 の 変 形 は 、 変 形 前 後 で シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 同 型 と な ら な い こ と が 示 さ
れ る た め 重 要 で あ る 。 更 に 、 あ る 条 件 を 満 た す シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク ト ー リ ッ ク 多 様 体 上 で は 、∧2ℝ𝑛 の 全 て の 元 が シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 構 造 の 変 形 を 与 え 、 且 つ 変 形 前 後 で シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク ト ー リ ッ ク 多 様 体 と し て 同 型 と な る こ と を 示 し た 。 こ れ は 多 様 体 上 で 力 学 を 展 開 す る な ど 正 準 変 換 が 必 要 な 場 合 に 有 用 で あ る 。 先 の 複 素 射 影 直 線 の 例 と 併 せ る こ と に よ っ て 、 こ の 変 形 が シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク 同 型 な も の と そ う で な い も の を 含 む こ と が わ か る 。
2. Ps e u d o - P o i s s o n - N i j e n h ui s m a n i f o l d s
P o i s s o n - N i j e n h u i s 構 造 は M a g r i , M o r o s i に よ っ て 双 H a m i l t o n 系 の 研 究 の た め に 定 義 さ れ た 。P o i s s o n 構 造 と N i j e n h u i s 構 造 の 組(𝜋, 𝑁) が P o i s s o n - N i j e n h ui s 構 造 で あ る と は 、そ れ ら が あ る 整 合 性 条 件 を 満 た す こ と を い う 。P o i s s o n - N i je n h u i s 構 造 は 様 々 な 幾 何 学 的 対 象 と の 関 連 が あ る 。K o s m an n - S c hw a r z b ac h は 、 そ の 中 の 一 つ で あ る P o i s s o n - N i j e n h u i s 構 造 と L i e 双 亜 代 数((𝑇𝑀)𝑁, (𝑇∗𝑀)𝜋) と の 1 対 1 対 応 を 示 し た 。 ま た 、S t i𝑒́no n, X u は P o i s s o n -準 N i j e n h u i s 構 造(𝜋, 𝑁, 𝜙) の 概 念 を 導 入 し 、 そ れ と 準 L i e 双 亜 代 数((𝑇∗𝑀)𝜋, 𝑑𝑁, 𝜙) と の 対 応 関 係 を 示 し た 。 こ の 対 応 は K o s m a nn - S c hw a r z b ac h の 結 果 の 一 般 化 と な っ て い る 。 準 L i e 双 亜 代 数A は 直 和 A⨁𝐴∗上 の C o u r a nt 亜 代 数 構 造 を 定 め る 。C o ur a n t 亜 代 数 は P o i s s o n - Li e 群 の 理 論 に お け る 2 重 L i e 代 数 の 一 般 化 で あ り 、 多 様 体 の 情 報 を 反 映 し て い る た め そ れ 自 体 の 研 究 も 積 極 的 に 行 わ れ て い る 。 そ の た め 、 準 L i e 双 亜 代 数 構 造 を 誘 導 す る 幾 何 構 造 の 研 究 は 重 要 で あ る 。 本 学 位 論 文 で は 、S t i𝑒́n o n, X u が 扱 っ た 準 L i e 双 亜 代 数((𝑇∗𝑀)𝜋, 𝑑𝑁, 𝜙) の”反 対 側” ((𝑇𝑀)𝑁, 𝑑𝜋, Φ) に 注 目 し 、 こ の 準 L i e 双 亜 代 数 に 対 応 す る 多 様 体 上 の 幾 何 構 造 に つ い て 研 究 し て い る 。 こ の 幾 何 構 造 の 決 定 に は 整 合 性 条
No. 3
件 の 再 研 究 が 必 要 で あ る 。 具 体 的 に は 、 先 行 研 究 で あ る P o i s s o n - N i j e n h u i s 及 び P o i s s o n -準 N i j e n h u i s 構 造 の 研 究 で は P o i s s o n 構 造 と( 1, 1 ) -テ ン ソ ル の 整 合 性 が 扱 わ れ て き た が 、 新 し い 幾 何 構 造 決 定 の た め に は よ り 一 般 に 2-ベ ク ト ル 場 と ( 1 , 1 ) -テ ン ソ ル の 整 合 性 を 議 論 す る 必 要 が 生 じ る の で あ る 。 そ こ で 、 一 般 の 2 -ベ ク ト ル 場 及 び( 1 , 1) -テ ン ソ ル の 整 合 性 は 、一 般 化 S c h o u t e n カ ッ コ 積 と い う 作 用 素 に よ っ て 記 述 さ れ る と い う こ と を 明 ら か に し 、 準 L i e 双 亜 代 数((𝑇𝑀)𝑁, 𝑑𝜋, Φ)に 対 応 す る 幾 何 構 造 を 決 定 し た 。 そ れ が 次 の 「 擬 P o i s s o n - N i j e n hu i s 構 造 」 で あ る 。
定 義 4 6 π を 2 -ベ ク ト ル 場 、N をπ と 整 合 的 な N i j e n h u i s 構 造 、Φ を 3 -ベ ク ト ル 場 と す る 。 こ の と き 、3 つ 組(𝜋, 𝑁, Φ) が 擬 P o i s s o n - N i j e n h ui s 構 造 と は 、 次 の 3 条 件 を 満 た す こ と を い う 。
(i ) [𝜋, Φ] = 0
(ii ) 1
2𝜄𝛼∧𝛽[𝜋, π] = 𝑁𝜄𝛼∧𝛽Φ
(iii ) N𝜄𝛼∧𝛽𝐿𝑋Φ − 𝜄𝛼∧𝛽𝐿𝑁𝑋Φ − 𝜄(𝐿𝑋𝑁∗)(𝛼∧𝛽)Φ = 0
こ の 擬 P o i s s o n - N i j e n hu i s 構 造 の 導 入 に よ り 、TM⨁𝑇∗𝑀 上 の C o u r a n t 亜 代 数 構 造 で 2 -ベ ク ト ル 場 と( 1, 1 ) -テ ン ソ ル か ら 誘 導 さ れ る 新 た な 構 造 を 与 え た と い う 事 実 は 特 筆 す べ き で あ る 。 本 学 位 論 文 で は 擬 P o i s s o n - N i j e n h u i s 構 造 の い く つ か の 例 が 紹 介 さ れ て お り 、 誘 導 さ れ るTM⨁𝑇∗𝑀 上 の C o ur a n t 亜 代 数 構 造 を も 掲 載 し て い る 。 し か し な が ら 、 こ の 定 義 の 条 件( i i i )は 一 般 に 成 り 立 つ こ と を 示 す こ と が 困 難 で あ る 。 そ こ で 、 こ の 条 件 が 2 -ベ ク ト ル 場π が 非 退 化 な 場 合 に は 残 り の 条 件 か ら 自 動 的 に 導 か れ る こ と を 示 し た 。π が 誘 導 す る 非 退 化 2 -形 式ω を 用 い て 、条 件 を 書 き 換 え る こ と で 次 の 擬 シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク- N i j e n h u i s 構 造 の 定 義 を 得 る 。
定 義 4 8 ω を 非 退 化 2-形 式 、対 応 す る 2 -ベ ク ト ル 場 をπ と す る 。N をπ と 整 合 的 な N i j e n h u i s 構 造 、ϕ を 閉 3 -形 式 と す る 。 こ の と き 、3 つ 組(𝜔, 𝑁, ϕ) が 擬 シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク- N i j e n h u i s 構 造 と は 、 次 の 条 件 を 満 た す こ と を い う 。
𝜄𝑋∧𝑌𝑑𝜔 = 𝑁∗𝜄𝑋∧𝑌ϕ
明 ら か に 擬 シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク- N i j e n h u i s構 造 は 擬P o i s s o n - N i j e nh u i s構 造 を 誘 導 す る 。 ま た 本 学 位 論 文 で は 擬 シ ン プ レ ク テ ィ ッ ク- N i j e n hu i s構 造 の 例 を 示 す と と も に 、 一 般 に そ れ ら がト ポ ロ ジ カ ル シ グ マ モ デ ル の 研 究( 2 0 0 1)やひ も 理 論 の 量 子 化 問 題( 2 0 02 )に 現 れ る ね じ れP o i s s o n構 造 を 誘 導 す る こ と を 示 し た 。
Ｎｏ.1
早稲田大学 博士（理学） 学位申請 研究業績書
氏 名 中村友哉 印
（2018年 12月 現在）
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
論文[1]
論文[2]
講演[1]
講演[2]
講演[3]
講演[4]
講演[5]
講演[6]
講演[7]
講演[8]
講演[9]
講演[10]
講演[11]
講演[12]
講演[13]
講演[14]
〇T. Nakamura, Deformations of Symplectic Structures by Moment Maps, Journal of Geometry and Symmetry in Physics 47 (2018.5), 63-84.
〇T. Nakamura, Pseudo-Poisson Nijenhuis Mnanifolds, Reports on Mathematical Physics 82 (2018) to appear
中村友哉, Two geometries arising from Poisson geometry and their applications, Noncommutative geometry and Mathematical Physics 2018, 慶応義塾大学, 2018年11月
中村友哉, 擬 Poisson-Nijenhuis 多様体とその性質, 幾何学と大域解析学 2018, 慶応義 塾大学, 2018年7月
中村友哉, Lie 亜代数と関連する幾何構造, 早稲田大学数学若手異分野交流会, 早稲田大 学, 2018年3月
中村友哉, 擬Poisson-Nijenhuis多様体と準Lie双亜代数, 第64回幾何学シンポジウム, 金沢大学, 2017年8月
中村友哉, 擬Poisson-Nijenhuis多様体, 日本数学会2017年度年会, 首都大学東京, 2017 年3月
中 村友哉, The deformations of symplectic structures by moment maps and their
concrete examples, 第63回幾何学シンポジウム, 岡山大学, 2016年8月
中村友哉, The deformations of symplectic structures by moment maps, ライプニッツ 大学サマーセミナー2016, ライプニッツ大学ハノーファー, 2016年7月
中村友哉, モーメント写像によるシンプレクティック構造の変形とその具体例, 新しい 幾何学に向かって-2, 東京理科大学, 2016年2月
中村友哉, モーメント写像によるシンプレクティック構造の変形について, ゲージ・シン プレクティック・ポアソン幾何セミナー, 東京理科大学, 2015年10月
中村友哉, モーメント写像によるシンプレクティック構造の変形, 日本数学会2015年度 秋季総合分科会, 京都産業大学, 2015年9月
中村友哉, モーメント写像によるシンプレクティック構造の変形, 非可換幾何学と数理 物理学, 早稲田大学, 2015年7月
準Poisson多様体について, 日吉幾何学セミナー, 慶応義塾大学, 2015年2月
Lie algebroid, Lie bialgebroid, 及びCourant algebroidについて, 慶応義塾大学, 2014 年6月
The Maximal Totally Isotropic Subspaces on $V¥oplus V^*$ and Courant
Ｎｏ.2
早稲田大学 博士（理学） 学位申請 研究業績書
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
講演[15]
その他[1]
その他[2]
Algebroids, ダルムシュタット工科大学, 2013年11月
自然な内積を備えたV⨁𝑉∗に関する極大全等方部分空間のなす多様体について, 非可換幾 何学と数理物理学, 早稲田大学, 2012年9月
日独共同大学院プログラムによるダルムシュタット工科大学(ドイツ)滞在 2013年10月 から12月
DAAD-早稲田大学 パートナーシッププログラムによるライプニッツ大学ハノーファー
(ドイツ)滞在 2016年7月から8月
